空间向量与立体几何单元测试（A 卷）

■河南省漯河市高级中学 秦晓燕

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

1.已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是( )。

A.α⊥γ,β⊥γ

B.a⊥α,a⊥β

C.a⊥β,a⊂α

D.α∩β=b,a⊂α,a⊥b

3.《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一。该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈。它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π 近似取为3。那么,近似公式V≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )。

4.在正四面体A-BCD中,已知E,F分别是AB,CD上的点(不含端点),则( )。

A.不存在E,F,使得EF⊥CD

B.存在E,使得DE⊥CD

C.存在E,使得DE⊥平面ABC

D.存在E,F,使得平面CDE⊥平面ABF

5.已知平面α//平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且|PA|=6,|AC|=9,|PD|=8,则线段BD的长为( )。

6.已知平面α内有一点A(2,-1,2),平面α的一个法向量为,则下列四个点中在平面α内的是( )。

A.P1(1,-1,1)

7.已知底面半径为r的圆锥SO,其轴截面是正三角形,它的一个内接圆柱的底面半径为,则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为( )。

8.小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图1 所 示。底 面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方 形,△EAB,△FBC,△GDC,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直,则该包装盒的容积是( )。

图1

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5 分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)

9.已知l、m、n为空间中三条不同的直线,α、β、γ为空间中三个不同的平面,则下列说法中正确的有( )。

A.若α∩β=n,α⊥β,β⊥γ,则n⊥γ

B.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,且l//m,则n//m

C.若α//β,l、m分别与α、β所成的角相等,则l//m

D.若m⊥α,m⊥β,α//γ,则β//γ

10.如图2,八面体的每一个面都是正三角形,并且A,B,C,D四个顶点在同一平面内,下列结论中,正确的命题为( )。

图2

A.AE//平面CDF

B.平面ABE//平面CDF

C.AB⊥AD

D.平面ACE⊥平面BDF

图3

A.在该多面体中,|BD|=

B.该多面体是三棱锥

C.在该多面体中,平面BAD⊥平面BCD

12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触。勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体。若用棱长为4的正四面体A-BCD作勒洛四面体,如图4,则下列说法正确的是( )。

图4

A.平面ABC截勒洛四面体所得截面的面积为

B.记勒洛四面体上以C,D为球心的两球球面交线为弧AB,则其长度为

C.该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4

三、填空题(本大题共4 小题,每小题5分,共20分。)

13.如图5,三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的表面上,平面ABD⊥平面BCD,|BC|=|CD|=|AD|=1,|BD|=,|AB|=,则球O的表面积为_____。

图5

14.如图6,在正四棱锥P-ABCD中,|PA|=|AB|,点M为PA的中点,若MN⊥AD,则实数λ=____。

图6

15.浑仪(如图7)是中国古代用于测量天体球面坐标的观测仪器,它是由一重重的同心圆环构成,整体看起来就像一个圆球。学校天文兴趣小组的学生根据浑仪运行原理制作一个简单模型:同心的小球半径为1,大球半径为R。现要在大球内放入一个由六根等长的铁丝(不计粗细)组成的四面体框架,同时使得小球可以在框架内自由转动,则R的最小值为____。

图7

16.如图8,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动。给出下列四个结论:

图8

①D1O⊥AC;②存在一点P,使得D1O//B1P;③若D1O⊥OP,则△D1C1P面积的最大值为;④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等,则P的轨迹为抛物线的一部分。

其中所有正确结论的序号是_____。

四、解答题(本大题共6 小题,共70 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(本小题10分)如图9,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1 的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,|OA|=2,M为OA的中点,N为BC的中点。

图9

(1)求证:直线MN//平面OCD;

(2)求异面直线AB与MD所成角的大小。

18.(本 小 题12 分)如 图10,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平 面ABC,AB⊥AC,|AB|=|AC|=|AA1|=1,M为线段A1C1上一点。

图10

(1)求证:BM⊥AB1;

(2)若直线AB1与平面BCM所成的角为,求点A1到平面BCM的距离。

19.(本小题12分)如图11,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD//BC,|PA|=|AD|=|CD|=2,|BC|=3。E为PD的中点,点F在PC上,且

图11

(1)求证:CD⊥平面PAD;

(2)求二面角F-AE-P的余弦值;

(3)设点G在PB上,且,判断是否存在这样的λ,使得A,E,F,G四点共面。

20.(本小题12分)如图12,P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,E是AB的中点,|AB|=k|AA1|(k＞0)。

图12

(1)求证:A1E//平面PBC;

(2)当k取何值时,点O在平面PBC内的投影恰好为△PBC的重心?

21.(本小题12 分)如图13,在梯形ABCD中,AB//DC,|AD|=|BC|=|CD|=2,|AB|=4,E为AB的中 点,以DE为 折 痕 把△ADE折起,连接AB,AC,得到如图14 的几何体,在图14的几何体中解答下列问题。

图13

图14

(1)证明:AC⊥DE。

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件,求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值。

①四棱锥A-BCDE的体积为2;

②直线AC与EB所成角的余弦值为。

22.(本小题12分)如图15,在圆柱O1O2中,等腰梯形ABCD为底面圆O1的内接四边形,且|AD|=|DC|=|BC|=1,矩形ABFE是该圆柱的轴截面,CG为圆柱的一条母线,|CG|=1。

图15

(1)求证:平面O1CG//平面ADE;