求解复合函数单调性问题的技巧

吴金桥

若 f （x）=g （h （x） ），则称该函数为复合函数.复合函数的单调性由外函数 g（x） 与内函数 h （x） 的单调性决定.复合函数的单调性问题侧重于考查简单基本函数以及复合函数的单调性.很多同学在遇到复合函数的单调性问题时束手无策，那么如何破解这类问题呢？下面举例说明.

一、外函数为对数函数的复合函数

判断复合函数的单调性应遵循的原则：同增异减，即若内外两个函数的增减性相同，则复合函数为增函数，若内外两个函数的增减性不同，则复合函数为减函数.当外函数为对数函数时，应确保内函数必须恒为正数.那么在解题时要先考虑原函数的定义域；再根据对数函数的单调性，讨论内函数的单调性.

二、外函数为指数函数的复合函数

当指数函数的底数确定时，指数函数的单调性也就确定了，即底数大于0时，指数函数单调递增，当底数小于0时，指数函数单调递减.因此解答外函数为指数函数的复合函数单调性问题，应特别关注内函数的单调性.

三、三重复合函数

当一个函数由三个函数复合而成时，应分清外、中、内三层函数，判断出每个函数在定义域内的单调性；然后根据“两增一减为减，两减一增为增，三增为增，三减为减”的原则，判断出复合函数的单调性.

可见，求解复合函数的单调性问题，关键是判断复合函数的性质，这就需要一层层讨论各个函數的单调性，“化整为零”，各个击破，才能“化难为易”，判断出复合函数的性质，求得问题的答案.

（作者单位：江苏省泰兴市第三高级中学）