怎样求解与三角形有关的取值范围问题

田钰

与三角形有关的取值范围问题的难度一般不大，常见命题形式有：求三角形的某条边、某个角、某个参数、面积、周长的取值范围.此类问题侧重于考查解三角形、三角函数、基本不等式等知识的综合应用.下面以一道题目为例，谈一谈与三角形有关的取值范围问题的解法.

要求 ΔABC 的面积以及 a+c 的取值范围，需先运用正余弦定理进行边角互化，将 ΔABC 的面积以及a+c 用边或角表示出来；再根据表达式的结构特征选择合适的方法，如利用三角函数的性质、基本不等式，来求目标式的取值范围.

一、利用三角函数的性质

在解答与三角形有关的取值范围问题时，我们可以先运用正余弦定理，将已知关系式、目标式化为关于角的关系式；然后根据三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180 o ，以及诱导公式、辅助角公式、两角和差的正余弦公式等进行恒等变换，将目标式化简为只含有一个角、一种函数名称的函数式；再借助正、余弦函数的图象与性质求目标式的取值范围.

我们先运用正弦定理将边化为角，并用角的三角函数式表示各条边长、S ΔABC 、b+c ；然后根据辅助角公式、二倍角公式、两角和差的正弦公式进行恒等变换，将目标式化简为只含正弦函数和角C的式子，即可运用正弦函数的有界性和单调性，以及正弦函数的图象求得 S ΔABC 、b+c 的取值范围.值得注意的是，在求三角形面积的取值范围时，要将关系式化为关于某个角的正弦函数式，以运用三角形的面积公式 S=1/2absinC解题.

二、利用基本不等式

若 a、b>0 ，则 a+b≥2 ab ，当且仅当 a=b 时等号成立，该式称为基本不等式.基本不等式是求最值、取值范圍的重要工具.在解答与三角形有关的取值范围问题时，可先利用正余弦定理将角化为边，用边表示已知关系式、角、三角形的面积等；然后运用凑项、凑系数、去项、常数代换等技巧，将目标式配凑成两式的和或积，并使其中之一为定值，即可运用基本不等式求得目标式的取值范围.值得注意的是，最后还需检验取等号时是否满足题意.

在解答与三角形有关的取值范围问题时，要注意：（1）根据目标式和已知关系式的特点，运用正余弦定理进行边角互化；（2）关注与三角形边、角有关的隐含条件；（3）需熟练掌握并灵活运用三角恒等变换的技巧和配凑基本不等式的技巧进行等量代换，以运用三角函数的图象与性质、基本不等式解题.

（作者单位：江苏省姜堰中学）