巧用方程和不等式求解函数问题

■何秀月

方程是利用相等的数量关系构建而成的数学表达式,利用方程可以求出未知数的值或通过消元来减少未知数的个数;不等式是利用不相等的数量关系构建而成的数学表达式,利用不等式可以确定变量的取值范围。下面以一道浙江省台州市高一年级期末统考题为例,阐述巧妙利用方程和不等式求解函数问题的具体方法,以期达到抛砖引玉的效果。

题目已知函数f(x)=ax2+4x+b(a＜0,a,b∈R),设关于x的方程f(x)=0的两个实根为x1,x2,f(x)=x的两个实根为α,β,且|α-β|=1。

(1)若a,b均为负整数,求f(x)的解析式。

(2)若α＜1＜β,求(x1+a)·(x2+a)的取值范围。

分析：题设给出的f(x)是一元二次函数,f(x)=0是函数f(x)对应的方程,利用关于x的方程,求出未知数a和b,再利用待定系数法求出f(x)的解析式;利用不等式α＜1＜β,确定实数a的取值范围,进而确定(x1+a)·(x2+a)的取值范围。

解：(1)由题设得f(x)=x的两个实根为α,β,即方程ax2+3x+b=0 的两个实根为α,β。由|α-β|=1,结合韦达定理得|α-,所以a2+4ab=9。

结合a,b均为负整数得所以f(x)的解析式为f(x)=-x2+4x-2。

(2)由已知条件可知,关于x的方程f(x)=0 的两个实根为x1,x2,即ax2+4x+b=0 的两个实根为x1,x2,所以已知方程f(x)=x的两个实根为α,β,由|α-β|=1,结合韦达定理得a2+4ab=9,所以

已知α＜1＜β,a＜0,令g(x)=ax2+3x+b,结合二次函数的图像与性质得