一元二次函数、方程和不等式常见典型考题赏析

■欧阳亮

一元二次函数、方程和不等式是高中数学的重要内容,也是高考的重要考点。下面就一元二次函数、方程和不等式问题的常见典型考题举例分析,供大家学习。

题型一：利用不等式的性质判断不等式的真假

此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以利用特殊值法求解。

例1若a＞b＞0,m＜0,则下列不等式成立的是( )。

跟踪训练1：下列命题正确的是( )。A.若a＞b,c＞d,则ac＞bd

B.若ac＞bc,则a＜b

C.若a＞b,c＞d,则a-c＞b-dD.若,则a＜b

提示：A 中,若a＞b＞0,c＞d＞0,则ac＞bd成立,否则,如2＞1,-1＞-2,可得-2＞-2,显然错误,A 不正确。B 中,若ac＞bc,c＜0,则a＜b,否则,如a=-2,b=-3,c=2,则(-2)×2＞(-3)×2,可得-2＞-3,即a＞b,B 不正确。C 中,如3＞2,2＞1,可得3-2＞2-1,即1＞1,显然错误,C不正确。D 中,由,可知c≠0,则c2＞0,由不等式的性质知不等式两边同乘一个正数c2,不等式不变号,即a＜b,D 正确。应选D。

题型二：利用不等式的性质证明不等式

利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的等价条件,利用不等式的性质时要注意性质适用的前提条件。

例2(1)已知a＜b＜0,求证

(2)已知a＞b,, 求证:ab＞0。

题型三：利用不等式的性质求代数式的取值范围

根据不等式的性质求代数式的取值范围,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但要注意不等式不能相减,如求a-b的范围,只能先求-b的范围,再与a的范围相加。同理,不等式也不能相除,如求的范围,只能先求的范围,再与a的范围相乘。当不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负。

例3设2＜a＜3,-4＜b＜-3,求a+b,a-b,,ab的取值范围。

跟踪训练3：已知30＜x＜42,16＜y＜24,求x+y,x-3y的取值范围。

提示：因为30＜x＜42,16＜y＜24,所以30+16＜x+y＜42+24,即46＜x+y＜66。

因为16＜y＜24,所以48＜3y＜72,所以-72＜-3y＜-48,所以-42＜x-3y＜-6。

题型四：基本不等式的直接运用

在理解基本不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件。运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,如a+b≥成立的条件是a＞0,b＞0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b。

例4(1)若0＜a＜,则a(1-2a)的最大值是( )。

(2)已知x＞-1,则函数的最小值是( )。

A.4 B.3

C.2 D.1

跟踪训练4：若a＞1,则的最小值是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

提示：由a＞1,可得a-1＞0,所以a+,当且仅当a=2时取“=”。应选C。

题型五：条件不等式的证明

条件不等式的证明,要将待证不等式与已知条件结合起来综合考虑,这是不等式证明的一种常见题型。

例5已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,求证:

证明：由a,b,c∈R+,且a+b+c=1,可

题型六：利用不等式求函数的最值

求函数的最值的常用方法是不等式法,解题时,要注意不等式取等号时的情况。

例6已知函数(x＞0),则f(x)的最小值是_____。

题型七：不等式恒成立中的含参数问题

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值,a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值。

题型八：解含参数的一元二次不等式

解含参数的一元二次不等式的常用方法是因式分解法,解题时,要注意对二次项系数(参数)进行讨论。

例8解关于x的不等式:ax2-(a2+2)x+2a＞0(a∈R)。

由ax2-(a2+2)x+2a＞0,可得(ax-2)(x-a)＞0。

已知a∈R,结合a的取值情况,进行分类讨论求解集。

当a=0时,则-2x＞0,所以x＜0,可得不等式的解集为{x|x＜0};

当a=-时,可得不等式的解集为∅。

跟踪训练8：求关于x的一元二次不等式x2-x-a(a+1)＞0的解集。

提示：因为x2-x-a(a+1)＞0,所以(x+a)[x-(a+1)]＞0。令(x+a)[xa+1]=0,所以两根为x1=-a,x2=a+1。

题型九：三个“二次”的关联问题

一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。二次函数y=ax2+bx+c的图像在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c＞0 的x值构成的;图像在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c＜0 的x值构成的,三者之间相互依存、相互转化。

例9已 知 方 程x2+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2,则实数m的取值范围是( )。

A.（- 5,-4]∪[4 ,+∞）

B.（-5,-4]

C.（-5,+∞）

D.[- 4,-2）∪[4 ,+∞）

因为方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2,所以二次函数y=x2+(m-2)x+5-m的图像与x轴的两个交点都在x=2的右侧(图略)。根据图像可知,方程的判别式Δ≥0;当x=2时,函数值y＞0;对称轴为

跟踪训练9：已知关于x的不等式x2-ax-b＜0 的解集是(2,3),则a+b的值为( )。

A.-11 B.11

C.-1 D.1

提示：因为关于x的不等式x2-axb＜0的解集是(2,3),所以2,3 是方程x2-ax-b=0的根,所以a=5,b=-6。故a+b=-1。应选C。

题型十：一元二次不等式的恒成立问题

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x)＞0恒成立⇔a＞0 且Δ＜0;f(x)≥0恒成立⇔a＞0且Δ≤0;f(x)＜0恒成立⇔a＜0 且Δ＜0;f(x)≤0 恒成立⇔a＜0 且Δ≤0。若f(x)在定义域内存在最大值m,则f(x)＜a恒成立⇔a＞m;若f(x)在定义域内存在最大值m,则f(x)≤a恒成立⇔a≥m;若f(x)在定义域内存在最小值m,则f(x)＞a恒成立⇔a＜m;若f(x)在定义域内存在最小值m,则f(x)≥a恒成立⇔a≤m。在定义域D上,不等式f(x)＜m恒成立,则m＞f(x)max;不等式f(x)＜m能成立,则m＞f(x)min;不等式f(x)＞m恒成立,则m＜f(x)min;不等式f(x)＞m能成立,则m＜f(x)max。

例10(1)已知关于x的不等式ax2-2x+3a＜0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是( )。

(2)若关于x的不等式2x2-8x-4+a≤0在1≤x≤3内有解,则实数a的取值范围是( )。

A.a≤12 B.a≥12

C.a≤10 D.a≥10

(2)不等式2x2-8x-4+a≤0 在1≤x≤3内有解等价于a≤-2x2+8x+4 在1≤x≤3 内有解。设函数f(x)=-2x2+8x+4,x∈[1,3],则 原 问 题 等 价 于a≤f(x)max。又当x=2 时,f(x)max=12,所以a≤12。应选A。

跟踪训练10：若命题“存在x∈R,x2+(a-3)x+4＜0”为假命题,则实数a的取值范围是_____。

提示：由题意可知,“对任意的x∈R,x2+(a-3)x+4≥0”为真命题,所以Δ=(a-3)2-16=a2-6a-7≤0,解得-1≤a≤7。故实数a的取值范围是[-1,7]。

1.将一根铁丝切割成三段,做一个面积为2m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )。

A.6.5m B.6.8m

C.7m D.7.2m

2.某公司一年需要购买某种原材料400t,计划每次购买xt,已知运费为4万元/次,一年总的库存费用为4x万元,为了使总的费用最低,每次购买的数量x为____。

提示:由题意得总的费用y=×4+,当且仅当x=20时取“=”。答案为20t。

说明：河南省教育科学规划2023年度立项课题编号:2023YB0633 ;课题名称:数学生成性教学对学生批判性思维能力的影响研究。