充分条件、必要条件、充要条件题型解析

■朱 珠

充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的内容。下面就这方面的题型进行举例分析。

一、充分条件、必要条件、充要条件的判断

充分条件与必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件。一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,则p是q的充分必要条件,简称充要条件。概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件。判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p这两个命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p真,则p是q成立的必要条件。要否定p与q不能相互推出时,举出一个反例即可。

例1(1)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),则下列结论正确的是( )。

①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4ac=0 是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4ac＞0 是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件。

A.③④ B.②③

C.①②③ D.①②④

(2)若p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA,则p是q的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

分析：对于(1),利用Δ=b2-4ac判断方程根的情况,当Δ=0时,一元二次方程有两个等根;当Δ＞0时,一元二次方程有两个不相等的根;当Δ＜0时,一元二次方程没有实数根。对于(2),画出Venn图(如图1),结合图形,可帮助求解。

图1

解：(1)Δ≥0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,①正确。Δ=0⇒一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,②正确。Δ＞0⇒一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,但ax2+bx+c=0(a≠0)有实根⇒/Δ＞0,③错误。Δ＜0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根,④正确。应选D。

(2)结合图1可得A∩B=A⇔A⊆B⇔∁UA⊇∁UB,即p是q的充要条件。应选C。

充分条件与必要条件的两种判断方法:直接利用定义判断;集合法,将命题p,q分别看作集合A,B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当A=B时,p,q互为充要条件。

二、充分条件、必要条件、充要条件的应用

利用充分条件、必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,最后求出参数的取值范围。

例2已知集合A={x|a＜x＜a+2},B={x|x＜-1或x＞3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围。

分析：由A是B的充分不必要条件,说明集合A是B的真子集,即AB,由此可得实数a满足的条件,从而得到实数a的取值范围。

解：因为A是B的充分不必要条件,所以AB。又因为A={x|a＜x＜a+2},B={x|x＜-1 或x＞3},所以a+2≤-1或a≥3,解得a≥3或a≤-3,所以实数a的取值范围是{a|a≥3或a≤-3}。

充分条件、必要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系来解答的。

三、充要条件的证明

充要条件的证明,可分为充分性和必要性的证明,证明时要注意两种叙述方式的区别:①p是q的充要条件,由p⇒q是充分性,由q⇒p是必要性;②p的充要条件是q,由p⇒q是必要性,由q⇒p是充分性。

例3求证:方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等实根的充要条件是

分析：先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立。

综上可得,方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是

证明p是q的充要条件,既要证明命题“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性。证明充要条件,即证明原命题和逆命题都成立。要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,要分清哪个是条件,哪个是结论。

1.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0。

提示:先证明p⇒q,即证明必要性,再证明q⇒p,即证明充分性。设命题p:方程ax2+bx+c=0有一个根是1,命题q:a+b+c=0。先证明p⇒q,即证明必要性,由x=1是方程ax2+bx+c=0的根,可得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0。再证明q⇒p,即证明充分性,由a+b+c=0,可得c=-a-b,因为ax2+bx+c=0,所以ax2+bx-a-b=0,即a(x2-1)+b(x-1)=0,也即(x-1)(ax+a+b)=0,所以x=1是方程的一个根。综上可知,方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0。

2.已知三个不等式:ab＞0,bc-ad＞0,(其中a,b,c,d均为实数)。用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则可组成的正确命题的个数是( )。

A.0 B.1 C.2 D.3