关于勾股定理在折叠问题中的应用探究

张浩

【摘  要】  勾股定理广泛应用于折叠问题中，求解时根据题干信息题理解折叠过程，提取或构建直角三角形，利用勾股定理来推导其中的线段长.本文结合实例探究三种类型问题，剖析解题过程，总结方法策略.

【关键词】  勾股定理；折叠；最值

折叠问题是初中数学重点问题，该类问题求解时需要理解折叠过程，利用折叠特性解析.同时勾股定理也常用于线段长推导中，思路构建时，需要提取其中的直角三角形，再结合勾股定理来开展线段推导或构建线段方程求解.下面結合实例探究，分情形进行应用探究.

类型一  图形翻折求最值

例1  如图1-（a），在边长为4的菱形ABCD中，，M是AD边上的一点，且，N是AB边上的一动点，将沿MN所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是___________.

解析  过点M作交CD延长线于点H，连接CM，

菱形ABCD中，，.

已知，

则AM=1，MD=3.

由于，

则，

可推知，

则，

所以，

.

在Rt△MCH中，由勾股定理可得.

由题干可知将沿MN所在直线翻折得到，

所以，

则点在以M为圆心，AM为半径的圆上，

分析可知：当点在线段MC上时，长度有最小值，

可求得最小值为.

评析  上述为图形折叠求线段最值问题，求解时提取其中的Rt△MCH，利用勾股定理求解线段MC.后续确定动点的运动轨迹，结合圆性质和共线定理求解.其中勾股定理应用时，有两个关键点：一是作辅助线构建直角三角形；二是确定线段对应长度.

类型2  双折叠求面积

例2  如图2所示，将梯形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点G重合，直线AE为折痕；点C也与AD边上的点G重合，直线DF为折痕.已知，，CF=4，则的面积是__________.

解析  根据折叠的性质可得BE=GE，，

，，

所以，.

过G作于H，如图2所示.

由于，

则是等腰直角三角形

，结合勾股定理可得.

由于，

则，

从而可求得的面积.

评析  上述为双折叠求面积问题，涉及两个三角形折叠，需要分别理解其中的折叠过程，再结合特性求解.而使用勾股定理时，涉及了特殊情形，即对于等腰直角三角形，可灵活运用勾股定理直接获得线段关系，即三角形的腰长为斜边的.

类型三  折叠中的多情形讨论

例3  如图3，将长为4，宽为3的矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点A，B的对应点分别为E，F，当点E为CD三等分点时，MN的长为______.

解析  如图3所示，过点M作于H，

则四边形ABHM，CDMH均为矩形，

设EF，BC交于T，

则.

由折叠的性质可知，

.

情形1  当点E是CD靠近点D的三等分点时，

，.

设，

则.

在中，，

由勾股定理得，

则，解得，

所以，.

角度推导可得，

，

所以.

设，

则，

已知，，

则，则有，

所以，

可解得，则，，

由勾股定理可得；

情形2  同理：可知当E为CD靠近点C的三等分点时，；

综上所述，或.

评析  上述为图形折叠中的多情形讨论问题，讨论的关键是根据点E的位置分两种情形.而在使用勾股定理时，需要注意两点：一是根据矩形及折叠性质提取其中的直角三角形；二是合理设定参数，结合勾股定理构建关于参数的方程.

结语

综上可知，上述对勾股定理在折叠问题中的应用进行了具体探究，分为了三种情形，涉及了折叠求最值、双折叠求面积、折叠中的多情形讨论.问题的综合性较强，探究解析需要理解折叠过程，提取其中的直角三角形，灵活运用勾股定理或变形式直接求线段或Q构建关于线段参数方程.