MATLAB在管理运筹学教学中的研究与实践

岳芳 吴振华 周清华 肖吉军

摘要 管理运筹学是研究对人力、物力等资源进行合理筹划和运用，寻找管理及决策最优化的综合性学科，在经济、管理、社会等领域得到了广泛的应用。然而，该课程知识概念和方法相对较多且抽象，导致学生难学。文章首先分析了管理运筹学的特点，总结了教学过程中存在的不足，探讨了引入MATLAB的必要性。然后通过一些实例，介绍了该软件在线性规划、指派问题、图论中的应用，充分体现了MATLAB在求解运筹学问题上的优势，达到激发学生学习兴趣、增强学生实践能力、培养学生创新思维的目的。

关键词 管理运筹学；MATLAB；教学

中图分类号：G424文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.15.039

随着市场竞争的加剧，企业所面临的经营环境具有很大的不可预测性，管理问题也越发复杂。这就需要企业转变传统的经验式决策模式，利用科学的方法，帮助其进行决策。而针对特定的管理场景，管理者可以利用模型分析所面临的决策问题，并寻找模型的最优解。而运筹学为管理者决策提供了方法论的支持。目前管理运筹学在人力资源规划与调度、财务规划、市场营销组合规划、生产运营管理、供应链管理、投资组合管理、系统调度、定价策略、服务系统规划与调度、风险管理等方面都得到了广泛的应用[1]。

管理运筹学是依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳决策方案的应用科学。该课程逐渐成为高校工业工程、信息管理与信息系统、数字经济、物流管理、人力资源等专业的基础课程之一。

1基于MATLAB管理运筹学教学的必要性

管理运筹学包含线性规划、对偶规划、运输问题、整数规划、目标规划、图与网络分析、决策论、對策论、排队论等内容。管理运筹学解决问题的一般过程是：①提出问题；②建立模型；③进行求解；④解的检验；⑤解的实施。在这些过程中，“提出问题”是关键，即将现实世界中的实际问题抽象成数学模型，然后再选择对应的方法进行求解。

该课程需要学生学习和掌握的方法非常多。一些方法，例如单纯形法、表上作业法和割平面法等原理比较复杂，求解过程比较烦琐，有时需要迭代多次。而在运筹学授课过程中，传统教学方式比较注重算法原理的讲解，同时一些问题的求解过程比较复杂、运算量大，因此降低了学生学习的积极性，导致其实践能力较弱[2]。

针对管理运筹学的教学重点，教师结合目前学生在学习中存在的问题，在课堂教学中引入相关软件。在教学过程中，尽可能利用软件去完成管理运筹学中大量且烦琐的计算工作。这样既能缓解学生对复杂计算的畏难情绪，又能集中精力攻克“数学建模”的难关和进行决策优化分析[3]。不但可以提高运筹学的上课效率，使课堂生动、活泼，而且也有助于提高学生的动手能力和创新能力。

目前能够求解运筹学问题的软件有很多，例如MATLAB、Excel、Lindo、Lingo、Python等，这些软件特点各有不同。由于管理运筹学中很多方法涉及矩阵运算，例如求逆运算、转置运算等。MATLAB的很多运算都是直接针对矩阵的。各种矩阵操作，在MATLAB中只需要一个简单的命令就可以完成，在此选择MATLAB软件求解运筹学问题。

2 MATLAB软件介绍

MATLAB是一种适合多学科、跨平台的大型实用科学计算软件[4]。MATLAB语言的特点：①使用简洁直观。它可以进行矩阵运算和实现算法等。在MATLAB中矩阵运算变得非常简单。②功能强大。其库函数十分丰富。MATLAB针对许多专门的领域，将一些重要的问题通过软件制作成工具箱。

MATLAB软件功能强大、应用广泛，已成为21世纪最为重要的科学计算语言。近些年，国内的很多高校也将MATLAB列为本科生的必修课程。运筹学教学中的许多问题可以应用MATLAB的内置函数通过简单的编程进行求解。

3应用实例

利用MATLAB软件求解运筹学问题的步骤如下：首先，根据教学目标有针对性地设计相关实例[5]；其次，建立相应的运筹学模型；然后，利用MATLAB软件编写相关程序；最后，利用软件求解模型并分析结果。

3.1 MATLAB在线性规划中的应用

该标准型与线性规划问题定义的标准形式不同。式（1）中，目标函数求极小。x为n维的决策变量。约束条件分为不等式约束和等式约束两种类型，不等式约束有m1个，等式约束有m2个。不等式约束形式为“≤”。对应的，b为m1维列向量；beq为m2维列向量；A为m1×n维矩阵；Aeq为m2×n维矩阵。c、x、lb和ub均为n维列向量。

因此，需要将实际应用中不同类型的非标准型化为MATLAB要求的标准型，操作方法如下：①如果遇到对目标函数求极大的问题，需要在函数前面加一个负号，转化为对目标函数求极小的问题。②如果出现“≥”形式的不等式约束，则需要在两边乘以（-1），使其转化为“≤”形式。③将不等式约束和等式约束均转化为矩阵形式。

实例：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的损耗，如表1所示。单位产品Ⅰ和产品Ⅱ的利润分别为2元和3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多[6]？

以上模型的求解结果是属于唯一最优解的情况。若求解结果是无穷多最优解，MATLAB则只能给出其中一组最优解，无法给出其他最优解。若求解结果是无界解，MATLAB给出的结果是x=[]，fval=[]。若求解结果是无可行解，MATLAB则给出的结果是“No feasible solution found”。

3.2 MATLAB在指派问题中的应用

在现实生活中，有各种类型的指派问题。例如，有一些工作需要分配给一些员工来完成；一些班级需要安排在一些教室上课等。这些问题都需要满足一定的指派要求，并使指派方案的总体效果最好[7]。

实例：某汽车公司拟将四种新产品安排到四个工厂进行生产，四个工厂生产单位产品的成本如表2所示。求最优生产配置方案。

需要注意的是，该指派问题属于特殊的0-1整数规划问题。MATLAB工具箱中没有提供相应的函数，因此需要提前准备好整数规划的函数intprog，再进行调用。该函数的调用格式为[x，fval]=intprog（c，A，b，Aeq，beq，lb，ub，M， TolXInteger）。其中，输入参数M为有整数约束条件限制的变量的序号；输入参数TolXInteger为判定整数的误差限，其他参数的含义与线性规划命令linprog中的参数基本一致。

运行上述程序后，得到该指派问题的最优解，x=（1，0，0，0，0，0，0，1，0，0，1，0，0，1，0，0）T，fval=513。即最優方案是工厂1生产产品1，工厂2生产产品4，工厂3生产产品3，工厂4生产产品2。此时生产总成本为513元。但实际上这个问题有两组最优解，另一组最优解是工厂1生产产品1，工厂2生产产品3，工厂3生产产品4，工厂4生产产品2。需要注意的是，MATLAB计算得到的是其中一组最优解。

3.3 MATLAB在图论中的应用

运筹学在实际中应用非常广泛，除了以上所提到几个方面的问题外，还有图论中的最小树问题、最短路问题和最大流问题等，这些问题也都可以利用MATLAB进行求解。

在各种各样的图中，有一类简单又十分重要的图，就是树。树在电路网络分析、管理决策、计算机算法等许多领域都有着广泛的应用。

实例：某办公大楼连接情况图1所示（p124），试求最佳的网络布线方案。

MATLAB工具箱中没有求解最小树的命令，因此需要提前准备好函数kruskal再进行调用。函数kruskal设计的原理是基于避圈法。kruskal函数的调用格式：[T，v，c]= kruskal（b），其中，输入参数b为所有边及其权数组成的矩阵。输出参数T为最小树的边，v为最小树的邻接矩阵，c为最小树的总权数。

4结论

通过以上实例说明，利用MATLAB可以方便地求解生产计划等各种管理运筹学问题。MATLAB的优点在于，第一，语法规则简单，便于学生理解和使用。第二，MATLAB提供了很多计算函数，提高了学生计算的效率和准确性。第三，该软件灵活度高，对于一些有特殊要求的模型，可以靠自己编写程序实现。但需要注意的是，第一，如果原问题有最优解，利用MATLAB只能给出其中一组最优解。第二，MATLAB直接给出结果，无法展示求解的具体步骤。

本文把MATLAB软件引入管理运筹学的教学，通过有针对性地设计相关实例，引导学生动手编写相关程序，使学生可以直观地看到算法的实现过程，从而提高学生的学习兴趣，培养学生的创新能力，为将来科研素养的培养打下基础。

*通讯作者：肖吉军

基金项目：广西高等教育本科教学改革工程项目“融入课程思政的工业工程专业课程教学改革与实践”（2021JGB188）；广西高等教育本科教学改革工程项目“工程教育专业认证背景下机械类专业基础课程混合式教学的考核方式改革与实践”（2023JGA208）；广西“四新”研究与实践项目“新文科视阈下地方高校新型工业工程专业建设研究与实践”。

参考文献

[1]肖勇波.运筹学：原理、工具及应用[M].北京：机械工业出版社，2021.

[2]张明，王文文.Matlab在经管类运筹学教学中的探索与实践[J].大学教育，2012，1（7）：81-82，89.

[3]吴睿，陈鹏.“管理运筹学”课程教学改革思路探索[J].辽宁工业大学学报（社会科学版），2009，11（6）：137-139.

[4]李明.详解MATLAB在优化计算中的应用[M].北京：电子工业出版社，2017.

[5]王怡.经管类专业运筹学实验课程优化改革探讨[J].科教导刊（中旬刊），2015（32）：49-50.

[6]运筹学教材编写组.运筹学（第四版）[M].北京：清华大学出版社， 2015.

[7]李军.管理运筹学[M].北京：中国轻工业出版社，2016.