“数的认识”小初衔接教学探索

摘要：基于教学内容分析，对“数的认识”小初教学衔接提出建议：辨析分数与小数的关系，预埋有理数、无理数的概念；突出正数与负数的对应，铺垫正负数的运算法则；漫话数系扩充史，构建“数的认识”知识网络；完善“数的运算”内部逻辑，提升数学思维水平。

关键词：小初衔接；数学教学；数的认识；数系扩充

一、 教学内容分析

“数的认识”是小学数学和初中数学共同的知识板块。小学阶段主要学习自然数（零与正整数）、正的有限小数和无限循环小数、正分数等；初步接触负数，学会用负数表达与正数具有相反意义的量；并且学习小数和分数的转化（不包括将无限循环小数转化为分数）。初中阶段系统学习有理数、无理数和实数，强调用数轴上的点表示实数，并且进一步研究它们的性质（如相反数、绝对值、倒数等）、运算和应用。同时，“数的认识”的学习在小学阶段几乎贯穿始终，在初中阶段则比较“短平快”。

考虑到学生的年龄特征，虽然整数的认识从一年级就开始了，但是真正给出整数的定义则要到后期。分数和小数的认识更是跨越了两个学段：三年级先初步认识，五年级再系统认识。漫长的学习过程中，学生在同一个数概念的版块内不断强化，很容易将整数、小数、分数三者分开来考虑，从而削弱了认识数概念发展脉络的整体性考虑。

小学教材在分数的初步认识之后，安排小数的初步认识。分数的学习对小数意义的理解有着直接的影响。学生普遍能理解小数是十进分数的另一种表达形式，但也有部分学生会因此认定所有的小数都可以转化成十进分数。事实上，无限小数是不能用十进分数来表示的。这在一定程度上会成为初中生认识有理数的障碍。

另外，小学生在学习数的概念时，往往依托大量的生活实例（具体情境）来理解其意义，思维方式以具体形象为主。以“负数的认识”为例，小学主要是从负数的意义和负数的表示这两个方面来认识负数的；而初中在简单复习小学阶段关于负数的认识以后，主要研究负数参与的加、减、乘、除等运算。小学阶段，学生是在大量生活实例的背景下理解和应用负数的；而初中阶段则以静态、抽象、规定性的方式呈现负数概念，因此学生正确理解和应用负数是存在困难的。

二、 衔接教学建议

从小学到初中，学生的年龄特征决定了教学内容的选择与教学目标的设计。不同年龄阶段下设定的不同教学内容与目标有时难免存在知识之间的漏洞与缝隙。同时，学习内容与目标的变化，包括学习重点的转移、学习方式的改变，都会给衔接阶段学生的学习带来一系列的影响。作为小初数学衔接教学的重点，教师应该帮助学生建构新旧知识的联系。基于以上内容分析，建议“数的认识”小初衔接教学着力于“分数与小数的关系”“负数的认识”“数系的扩充”以及“运算的内部逻辑”这几个方面。

（一） 辨析分数与小数的关系，预埋有理数、无理数的概念

分数与小数，是小学阶段“数的认识”的重要内容。部分学生对分数与小数关系的认识存在误区，这些错误的认知可能会让学生在初中学习有理数和无理数时产生困难。

具体来说，苏教版小学数学五年级上册《小数的意义和性质》单元有这样的表述：“分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……”这个表述没有问题，但会有人误读。第一句话正着说成立，反着说就不成立了：十进分数可以用小数表示，但小数表示的不只是十进分数。第二句话其实仅指有限小数，虽然有省略号，但不能理解为所有小数。苏教版小学数学教材中，小數的认识是在学习了小数的除法之后逐渐完善的。有限小数与无限小数的概念是在《小数乘法和除法》单元的《你知道吗》栏目中介绍的，这使得小数分类的受重视程度被削弱。无限不循环小数则一直要到圆周率的学习中才真正涉及，这使得学生对小数分类的认知结构会出现偏颇。不少学生认为：绝大部分小数是有限小数，只有一小部分特殊的小数是无限循环小数，其中还有极少数的无限不循环小数。显然，这样的认识是与事实不符的。

初中学习有理数和无理数时，有限小数和无限循环小数因为能化成分数，被归为有理数；而无限不循环小数因为不能化成分数，被归为无理数。换句话说，如果把有理数和无理数都改写成小数，则有理数能改写成有限小数（包括整数）和无限循环小数，而无理数只能改写成无限不循环小数。

有理数的概念是建立在分数与小数的关系上的，而分数与小数的互化是小学学习的。分数转化成小数，是建立在分数是“两个整数相除的商”的定义上的，因此，每个分数皆能化成小数。而小数化成分数，只是根据小数的意义中“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……”这句话推理：先将小数改写成十进分数，再化简。小初衔接教学，不是教给学生无限循环小数化成分数的技巧——这会增加学生的学业负担，而是在教学分数与小数的互化时引导学生进一步思考，从而使学生日后学习有理数时思路变得更加清晰。

例如，把分数化成小数（除不尽的保留三位小数）：2/3、3/5、5/2、7/8、11/9、9/16。虽然解答这道题只是练习了分数化小数的技能，但在教学中，教师不妨做个有心人，让学生联系小数的分类观察结果，把化得的小数分一分类，并通过讨论明晰几个道理：（1） 所有的分数都可以转化成小数；（2） 分数转化成的小数有的是有限小数，有的是无限小数（有条件的班级，可以继续深入：化成有限或无限小数，与分数的分母有关，若分母只含有2或5的质因数，则能化成有限小数；若分母含有2或5以外的质因数，就只能化成无限小数）；（3） 分数化成的无限小数都是无限循环小数（此时学生还未学习圆，对无限不循环小数缺少具体的实例，建议不涉及）。最后留一个悬念：有限小数都能化成十进分数，那么，无限循环小数也能化成十进分数吗？建议学生课后自主研究。

这样的教学处理，解答一道题的收获就远不止一个技能得到练习了。有了这样的基础，日后遇到像圆周率这样的小数，可以通过回忆分数只能化成有限小数和无限循环小数的例子倒过来推理，“无限不循环小数不能化成分数”这个结论就相对容易接受了。分数与小数之间的关系，从看似一一对应到“一部分小数没有相等的分数与之对应”，可以得到结论：分数的个数小于小数的个数。这样，学生对分数与小数关系的认识就比较完整了。

（二） 突出正数与负数的对应，铺垫正负数的运算法则

负数引入后，数的范围扩大了，扩充到了有理数。从正、负数这一分类角度看，有理数是由符号和绝对值两部分组成的。尽管学生在小学初步认识了负数，到初中理解负数概念时依然存在困难，尤其是当负数加入运算中时。究其原因，是没有正确理解负号的三种意义：运算、性质、相反数。对学生而言，几种意义的符号同时出现时特别容易出错。

七年级学生不能很好地区分“＋”“-”在算式中到底是运算符号还是性质符号，这与学生不把负数看作一个整体也有关系。对正、负数的概念，苏教版小学数学教材和苏科版初中数学教材都采用了描述性定义，前者为“像+20、+8844.4这样的数都是正数（正数前面的‘+可以省略不写），像-20、-155这样的数都是负数”，后者与之类似。而人教版小学数学教材这样定义：“为了表示两种相反意义的量，如零上温度和零下温度、收入与支出等，需要用两种数。一种是我们以前学过的数，如3、500、4.7、3/8，这些数是正数；另一种是在这些数的前面添上负号‘-的数，如-3、-500、-4.7、-3/8等，这些数是负数……正数前面的‘+可以省略不写。如果为了与负数对比，也可以加上正号……”人教版教材的处理，更好地揭示了负数的主要内涵：正数和负数表示两种相反意义的量，在正数前面添上一个负号的数就是负数。

因此，教学小学阶段“负数的认识”时，教师可以设置一个认知冲突：要求学生利用“一个数”简约地描述買入与卖出、上车与下车等数据，促动学生联系生活经验，聚焦符号表示，突出“创生”，体会可以用“＋”“-”表示相反意义。接下来，让学生理解每个情境中“＋”“-”被赋予的实际意义，进一步体会负数的本质：负数与正数是相对的。从而帮助学生加强对负号的理解：“-”和后面的正数连在一起，形成的是一个整体，是“一个数”，是与那个自然数（正数）量相同、意义相反的数。

利用对应的方法认识负数，数轴这一形象、可视的手段必不可少。在数轴上比较一组正、负数与0点的距离，可以让学生充分感悟、理解负数和相应的正数是一一对应的。通过对比，学生能感受到正、负数之间“数量相等”“方向相反”的关系。这也能为今后初中学习相反数和绝对值打下基础。

此外，小学阶段并不要求学生学习负数的运算，体会负数对有理数系减法的封闭性——这些是初中的教学任务。小学阶段，学生的抽象思维水平还不足，教师不能人为拔高教学要求，增加学生的学习负担，但是可以在认识正、负号的环节，有意识地将之与以前学过的加、减号加以区分，使学生初步体会到正、负号与加、减号是同一种符号的两种不同意义；还可以通过在数轴上的描点运动练习，借助情境中的事理（如：某地白天某时气温为-3℃，晚上某时降温5℃，变为多少摄氏度？），初步渗透正、负数加、减法的直观运算……这些都可视作为将来学习负数的运算做铺垫。［1］

（三） 漫话数系扩充史，初步构建“数的认识”知识网络

从自然数出发，对数和数系进行持续的扩充，是人类生产发展和社会进步的需要，也是数学自身发展的需要。根据数系的形成过程可知，数概念的形成过程是一个数概念外延多次扩张的过程。数系扩充的主要途径是元素添加：在自然数集合中添加“负整数”就得到整数，在整数集合中添加“分数”就得到有理数，在有理数集合中添加“无限不循环小数”就得到实数……

相比于在小学用六年时间完成自然数、正小数、正分数的数概念扩充，学生进入初中后，很快就会经历数系的第一次扩充：在小学非负有理数知识的基础上引进负数，对数的了解扩充到有理数范围。学生如果对数系的扩充认识不足的话，则很有可能对接下来的学习产生障碍：只能以死记硬背的方式记住新的数概念，硬生生地将其纳入自己的认知结构。如果教师能引导学生从整体的角度理解数系的扩充，基于已有的经验贯通各类数概念，让学生真正体会到“人类生产发展和社会进步需要”的意义，学生接受一个新的数概念就不会被动了。

所以，在小学阶段“数的认识”总复习教学中，从数系扩充的角度梳理小学阶段学过的数就显得十分必要了。教师在与学生交流完学过的数以后，不妨接着提问：数数的时候，有自然数就够用了，为什么还需要那么多数呢？让学生畅所欲言。例如，分数的扩充是人们在分东西时，需要对一个物体进行切割与配对，而整体中的“部分”无法用自然数表示，就需要有刻画“部分”的方式，即分数是“刻画整体与部分关系”的产物。再如，小数的产生是十进位值制记数法扩展完善的需要，也是分数书写形式的优化改进；小数的出现标志着十进位值制记数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一；将十进分数改写成不带分数形式的数就得到小数，将分母是100的分数改写成带有百分号形式的数就得到百分数……

教师可以在学生解释的基础上讲解数的发展史，配以之前的教材图片，帮助学生回忆学习这些数产生的历程，进而辅以树状图，借助数轴，将各种数分类，初步构建“数的认识”知识网络……这样，学生在了解历史活动的过程中进一步完善“数的认识”知识结构，逐渐理解：正是为了解决实践中出现的问题，人们才不断将数的领域加以扩充；小学只学习了其中的一部分，初中还将继续学习，今后要学习的新数是人类生产生活的需要，是十分有意义的。

（四） 完善“数的运算”内部逻辑，提升数学思维水平

数系的扩充最初源于现实生活的需要，后来随着数学体系的发展，也成了数学内部运算封闭性的必然要求。简单地说，就是数的范围被扩充了，数的运算更方便了。因此，“数的认识”与“数的运算”关系密切，数系的扩充也是为数的运算服务的。［2］

从小学到初中，数系每扩充一次（比如整数到分数、分数到小数），都会先学习相关数概念，再讨论在新数系中如何进行运算。算术数及其运算是小学阶段数学学习的主要内容。然而，从数的运算的角度理解数系的扩充，在小学教材中是一条较为隐蔽的线索。从运算需要的角度重新认识小学阶段的数概念，也可以作为小初数学衔接教学的一个方面。

教师可以抓住适当时机，引导学生思考如下问题：如果数学中只讨论加法和乘法，那么以前学过的数就够了，但是如果要讨论减法呢？显然，负数的产生就立即成为必要，即负数的产生是为了解决“不够减”的实际问题。同样，如果要讨论除法，也非常有必要引入新的数。两个整数相除，有时不能得到整数商；在结果唯一的前提下，为了保证除法运算通行无阻，分数便应运而生。到了初中，用小数定义有理数和无理数：用小数来表示无理数，才能进行无理数的加法运算。由此，学生也不难理解：在数系从正整数扩充到有理数，再扩充到实数的过程中，“实践需要”所起的推动作用显得更小，而更多的是数学运算的需要。

这样梳理，学生对数的认识，不仅能立足于生活实践的角度，而且能扩展到数学背景的角度。研究视角发生了变化，思维从具体形象水平上升到了抽象逻辑水平，学生的数学素养也将在一定程度上得以提升。

参考文献：

［1］ 魏光明.“负数的初步认识”的深度解读与教学重构［J］.江苏教育研究， 2020（28）：61.

［2］ 李念文.数为什么会不够？——从运算封闭性的角度谈数系的扩充［J］.湖南教育（数学教师），2007（5）：28.

（汪莹，江苏省苏州市姑香苑小学校。苏州市优秀教育工作者，苏州市指导自学先进教师，姑苏区教坛精英。）