数学史视角下的四点共圆问题探究

张可新

摘要：四点共圆问题同时出现在初、高中几何中，有着悠久的历史渊源和丰富的解题技巧.考查该问题的历史脉络和证明技法，不仅有益于提高学生的学习兴趣和积极性，更能锻炼学生的理性思维.本文运用文献研究法、文本分析法，比较国内外几何教材的异同，致力于数学教育取向的数学史研究.

关键词：数学史；初中数学；四点共圆

近十年来，国内学者在数学史、数学文化与数学教育（History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）的研究领域内取得了丰硕的成果.其中，最受数学教育者关注的两大主题是数学史融入数学教学的价值和数学史的教学实践.作为数学史在教育中的研究准则，汪晓勤教授在《HPM研究的内容与方法》一文中所提到的“数学教育取向的数学史研究”理论指导着数学教师在浩如烟海的数学史中选取有益于数学教学的历史材料.［1］数学教育取向的数学史研究理论包括两种方法，分别是“对数学史上经典著作的研究”和“对早期数学教科书的研究”［2］，本文基于“对数学史上经典著作的研究”，通过梳理四点共圆问题的发展历史，为数学教学提供史料，体现数学史在数学教育中的实践价值.

1四点共圆问题的解题方法

在初中，判断四点共圆问题多倾向于运用纯粹的几何方法，以下5种方法为纯粹的几何方法的常见证明思路.

1.1定义法

根据圆的定义——“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”证明四点共圆.运用圆的定义证明四点共圆的方法又有很多，具体可以参考《关于联圆四边形的充分必要性质》一文［3］.本文只介绍国内常见的两种方法：在四点组成的四边形中，“如果四条边的垂直平分线交于一点，那么这四个点共圆”或者“如果三条边的垂直平分线交于一点，那么这四个点共圆”.

1.2对角互补法

判断四点组成的四边形的对角是否互补，进而判断四点是否共圆.具有同一原理的还有“具有公共边的两个三角形，若在公共边同侧则对应角相等，若在公共边异侧则对应角互补”和“四点组成的图形是矩形和等腰梯形等对角之和为180°的特殊四边形”等证明方法.

1.3圆幂定理

圆幂定理为相交弦定理、切割线定理和割线定理的统称.以相交弦定理为例，设四点组成的四边形ABCD的对角线AC和BD的交点为P，如果AP·PC=BP·PD，那么四点共圆.

1.4托勒密定理

设四点组成的四边形ABCD的对角线为AC和BD，如果四边形的对角线和边满足：AB·DC+AD·BC=AC·BD，那么四点共圆.

1.5婆罗摩笈多公式

2四点共圆问题的历史脉络

2.1对角互补法与《几何原本》

四点共圆问题的起源可以追溯到古希腊数学家欧几里得的名著《几何原本》中.这本书的第三卷第22个命题（简称：命题22）写到 “内接于圆的四边形，其对角的和等于两直角之和”［4］.欧幾里得对该命题的描述如下：如图1，设ABCD是同一个圆上的四点，四边形ABCD是该圆的内接四边形，该四边形的对角之和等于180度.他的证明思路如下：分别连接AC和BD，可知在任何三角形中，三个角之和等于180度.所以，在△ABC中∠CAB+∠ABC+∠BCA＝180°.又因为同弧所对应的圆周角相等，所以∠CAB=∠BDC，∠ACB=∠ADB.因此，∠ADC=∠BAC+∠ACB.所以∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°.同理可得，∠BAD+∠DCB=180°.

欧几里得的证明给解决四点共圆问题带来了启发，在初中阶段证明四点是否共圆的常见方法就是证明“对角互为补角的四边形内接于圆”，这种方法和命题22互为逆定理［5］.和对角互补法的证明原理相同，“具有公共边的两个三角形，若在公共边同侧则对应角相等，若在公共边异侧则对应角互补”等方法也综合了“同弦的圆周角相等或互补”和“反证法”来证明四点共圆.可见，有关于四点共圆的数学史对数学的学习起到了引导作用.

在欧几里得的影响下，四点共圆问题的历史发展脉络延展到了联圆四边形（Cyclic quadrilateral）的研究中.联圆四边形，又称为圆的内接四边形，是四个顶点都在同一个圆上的几何图形.在联圆四边形的研究中，数学家们发现联圆四边形的一些性质和“四边形是联圆四边形”互为充分必要条件，如前文所介绍的对角互补法、相交弦定理和婆罗摩笈多公式以及在中学数学中不常见的西姆松定理都是数学家在研究联圆四边形性质（如角度关系、长度关系、面积关系后）的过程中发现的还可以用于解决其他问题，如四点共圆问题的方法.

而有别于在联圆四边形的框架内研究四点共圆，一些数学家是因为其他几何问题或者生产生活需要提出了一些理论，后人发现他们所研究的理论可以用于解决四点共圆问题，这其中就有第一个系统研究“圆幂理论”的瑞士几何学家施泰纳和记载“托勒密定理”的古希腊天文学家托勒密.

2.2圆幂定理与圆幂理论

与对角互补法的起源相同，相交弦定理最早也出现在欧几里得的《几何原本》中.在这本几何著作的第三卷第35个命题（简称：命题35）中，欧几里得提出了“如果在一个圆内有两条相交的弦，把其中一条分成两线段使其构成的矩形面积等于另一条分成两线段构成的矩形面积”［4］.

意大利数学家斐波那契在他的著作《几何实践》中的第45个命题是这么解释欧几里得提出的命题35：“如果在一个圆内有两条相交的线，那么第一条线的第一部分与另一部分的乘积等于另一条线的第一部分与另一部分的乘积.如欧几里得的《几何原本》描述如下：如图2，在圆ABCD中，两条直线AC和BD相交于某个点E.AE和EC的乘积等于BE与ED的乘积.”［6］

欧几里得和斐波那契所提出的命题正是如今所谓的相交弦定理.相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理.圆幂定理在解决极化恒等式、米勒问题和四点共圆问题中均有不俗的作用.［7］和相交弦定理一样作为圆幂定理的形式之一的切割线定理被欧几里得编为第36个命题（简称：命题36），出现在《几何原本》的第三卷中：《几何原本》第三卷

“如果圆外的一点向圆作两条直线，其中一条与圆相切另一条过圆心，则由圆截得的整个线段与圆外定点到凸弧之间的线段构成的矩形面积，等于切线所构成的正方形面积.”如图3，在第三卷的第36个命题中，欧几里得提出AD·CD=BD2.虽然相交弦定理和割线定理出现在古希腊，然而系统的研究有关“幂”的理论的提出却是由瑞士著名数学家、几何学家雅各布·施泰纳（Jakob Steiner）开始的.

1826年，施泰纳在数学领域第一份纯数学期刊《纯粹与应用数学期刊》的创刊卷纯粹数学的几何章节发表了几何学上的重要论文《若干几何考察》（如图4）.在这篇论文中，他致力于解决阿波罗尼奥问题、马尔法蒂问题和古希腊数学家帕普斯的《数学汇编》第四卷第15个定理的证明.从内容上划分，这篇论文主要分为四个部分，其中第一部分便是關于解决这些几何问题的数学基础.在这一部分中，他介绍了幂理论.延承欧几里得的命题35和命题36，施泰纳将两条线段的乘积称为点关于圆的幂.［8］而关于幂理论的引入，他是这样做的［9］：

其次，根据点关于圆的幂理论，按照点与圆的位置关系，施泰纳把点关于圆的幂分为外部幂（《若干几何考察》图编号9）和内部幂（《若干几何考察》图编号10），对应着在欧几里得的命题35和命题36基础上发展的“相交弦定理”和“切割线定理”.在圆幂定理的基础上，施泰纳将点到圆心的距离和点到圆的幂联系起来.他提出“到圆心相等的点关于该圆的幂相等”，进而他将圆周上的点关于圆的幂的大小定义为0.

2.3托勒密定理与弦表

与施泰纳系统研究圆幂理论是为了解决其他几何问题相同，古希腊数学家、天文学家托勒密运用托勒密定理是为了制作 “弦表”（table of chords）.弦表被誉为《天文学大成》中最重要的工作之一，它反映了圆弧与其对应弦的关系，是现代正弦函数的萌芽和发端.在《天文学大成》的第一卷第10章中，托勒密解释了如何在一个圆中构造一张弦表的详细过程，并在第11章中给出了完整的弦表.托勒密的弦表是现存最早的弦表样本，并且他关于弦表的构造的解释是我们知道的关于早期三角学的最早的文献.［12］

在美国数学史家图默（G. J. Toomer）的翻译著作《托勒密的天文学大成》中托勒密写到：“我认为第一个应该确定的是黄道和赤道的两极之间弧的大小.但是，在此之前，需要解释确定弦的大小的方法.”［13］特勒密通过以下三步计算不同角度对应的弦长，进而构建弦表：

首先，他根据《几何原本》的第十三卷的命题10：“如果有一个内接于圆的等边五边形，以其一边为边的正方形等于以内接于同圆的正六边形一边为边的正方形与以内接同圆的正十边形一边为边的正方形的和”计算出了在直径为120单位长度下的弧度为36°和72°的弦长分别为37;4，55和70;32，3.

3结语

解决四点共圆问题的方法横跨平面几何的数个分支：除了联圆四边形研究下的对角互补法、圆幂理论下的圆幂定理、三角函数下的托勒密定理，还有共圆点问题的研究.在高中阶段解析几何的视角下，虽然四点共圆问题和退化二次曲线联系在一起，但是证明的关键往往还是在初中阶段所提供的方法.而在高等数学视角下，非退化二次曲线的四点共圆问题又可以和矩阵是否有解联系起来.可见，学习和了解四点共圆解题方法的历史，不仅加强了初中数学整体的内部联系，也使得学生可以沿着数学史这棵参天大树向着更高等的数学进发.参考文献：

［1］ 汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法［J］.数学教育学报，2006（1）：1618.

［2］ 沈中宇.数学史与数学教育研究的现状、特征与展望——基于ICME14的分析［J］.中学数学月刊，2021，463（12）：13.

［3］ Fraivert D， Sigler A， Stupel M. Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral［J］. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology， 2020， 51（6）： 913938.

［4］ 欧几里得，著.兰纪正，朱恩宽，译.几何原本［M］.西安：陕西科学技术出版社，2003.

［5］ 刘薰宇.初级中学课本平面几何［M］.北京：人民教育出版社，1953.

［6］ Hughes Barnabas. Fibonaccis De practica geometrie［M］. New York， NY： Springer New York， 2008.

［7］ 朱成万.圆幂定理与著名几何问题的联系及解题妙用［J］.中学数学研究，2021，478（19）：4346.

［8］ Lorenat J. Synthetic and analytic geometries in the publications of Jakob Steiner and Julius Plücker （1827—1829）［J］. Archive for History of Exact Sciences， 2016， 70（4）： 413462.

［9］ Steiner J. Einige geometrischen Betrachtungen［J］. Journal für die reine und angewandte Mathematik， 1826， 1（2）： 161182.

［10］ Johnson R A. Advanced Euclidean Geometry （formerly Titled： Modern Geometry）［M］. Dover Publications， 1960.

［11］ 范瑞喜，邓博文.平面几何［M］.上海：华东师范大学出版社，2011.

［12］ 邓可卉.托勒密《至大论》研究［D］.西北大学，2005.

［13］ Toomer G. J. Ptolemys almagest［M］. Princeton： Princeton University Press， 1998.

［14］ 王辉.托勒密体系之数学基础研究［D］.西北大学，2001.