在数学教学中正确把脉“错误”资源

☉钱 尧

数学是理性的，数学是建立在逻辑思维基础上的抽象学科。很多小学生在学习数学时，会出现错误。错误是客观的、无法避免的。但对于错误的态度，教师更要认真对待。学生在解题中出现了错误，反映出学生对数学问题的理解存在偏颇，教师要将这些“错误”看作宝贵的资源，正确、合理、有效地利用这些“错误”，让学生知“错”能改。［1］教学中，笔者着力激发学生对“错误”的反思意识，点燃学生数学思维的火花。

一、挖掘错题资源，正确对待解题“错误”

在平时学生解答数学题时，因粗心、对知识点理解偏差、思维定势等诸多原因，一些“错误”会反复出现。面对这些“错误”，教师应该怎么做？

（一）正确对待“错误”，促进师生教学相长

面对“错误”，很多教师感到着急。对于学生不认真等出现的错误，一些教师可能会斥责学生；对于学生不理解、不懂的问题而出现错误，一些教师可能会不管不问。事实上，由于学生年龄小，在解题时出现“错误”，是难免的。教师不应该为此而斥责或惩罚学生，而是要认真反思，为什么学生会出现解题“错误”？为什么学生一再犯“错”？如何才能让学生减少解题“错误”？在新的教育观下，学生的错题现象，反映了学生对数学知识的掌握情况，更重要的是这些“错误”是宝贵的“资源”，教师要深入探究学生出错的原因，给予学生理解和宽容，针对学生的不同错误，改进教法，促进师生教学相长。教师只有正确面对学生的“错误”，反思并纠正学生的不良解题习惯，学生才能获得二次学习、成长的机会，数学课堂自然充满活力。

（二）选择科学方法，增进学生数学信心

在数学教学中，一些教师认为，学生出现错误会对成绩带来不良的影响，于是，在整理数学知识点、探索不同数学解法时，会仔细推敲，确保无误后再给学生授课。这种严于律己的教法固然不错，但对于学生的一些解题“错误”，教师会感到手足无措，不敢正视学生的错误。事实上，教师在平时，要多留心学生错误的问题，多深入探究出现错误的原因。科学选择教学指导方法，让学生能够从中分析原因，主动改正。

例如，在教学《两位数与两位数退位减》时，结合课例讲解后，我们可以设计如下减法题：“51 － 13 ＝（ ）”，让学生自己去解，并对解题结果进行交流、探讨。有学生在讲解自己的解题思路时，受到一些学生的嘲笑。原因是，该学生用减数个位上的“3”，去减被减数个位上的“1”，得到“2”。这时，教师如果直接纠正该学生的解法，或许课堂效率会提高，但却有可能阻碍学生求异思维的发展。教师在面对该学生的解法时，给予鼓励，并让该生将解题思路完整表达出来。于是，学生讲解了自己的思路。在面对被减数上的数字不够减数减时，该生认为，用“1－3”不够减，可以用“3－1”来减，说明被减数个位上缺“2”。为此，向被减数借“2”，被减数变为“49”，这时，再用“49－11”得到“38”。这一完整的解题思路，也是很有创意，且易于理解。教师应该给予赞赏，鼓励学生主动思考、乐于创新的精神。

（三）妙用“错误”引探，促进学生建构知识

“学源于思，思源于疑”。在数学教学中，对于“错误”要多反思，多引导学生参与错误原因的探究，帮助学生获得真切的数学学习体验，最终完成数学知识的自主建构。例如，在学习《小数除法》时，我们给出一道题“248÷16”，有学生在面对该题时，所得结果为“155”，显然，该题是解错了。教师并未直接指明这一解法是错误的，而是以“商×除数＝被除数”这一验证法则，让学生对自己的计算结果进行验算。学生在验算后发现，155×16 的结果不等于248。教师这时引导学生进行思考，为什么验算时会出错？通过对比分析，在248÷16 时，被除数直接添“0”，会改变被除数的大小，只有在“248”和“0”之间增加小数点，被除数的大小才能不改变。原来，该学生的错误是忘记增加“小数点”，导致计算错误。利用学生的“错误”，让学生深刻体会到增加小数点的重要性，也让学生能够从中领悟到数学知识的严谨性。

二、正确对待学生的“错误”，探析数学错因

在学习数学时，出现错误是常有的。如粗心、不认真、没有正确理解题意等等，导致解题错误。面对学生的错误，一些教师会责骂学生，而不能正视学生的“错误”，学生会感到数学难学，甚至产生消极的心态。

（一）对概念理解偏差，积极反思教学不足

数学课堂上，概念是基本内容。数学中的概念，多反映数量关系、空间形式的本质属性。小学生还处于形象化思维阶段，面对抽象的数学概念，易混淆，搞不清其数学内涵，导致出错。举例来讲，对于“百分数”的教学，通过解释和说明“百分数”概念，一些学生却将“百分数”看作两个具体的数量。在解题中，漫画书比科学书多25%，一些学生认为漫画书的数量，比科技书的数量多25 本。25%是个百分数，其本质是一个数是另一个数的百分之几，是两个数量之间的关系，不能将之等同于两个具体的数量。由此，在讲解“百分数”时，可以通过实例对比的方式，让学生辨析其概念，避免理解偏差。

（二）受原有经验影响，导致思维定势

在数学学习中，数学知识之间具有一定的逻辑关系。一些学生在面对数学问题时，习惯于利用自我的认知经验来思考问题，导致思维定势，反而干扰正常的数学思维。举例来讲，860÷40，观察该题，属于“除数是两位数的除法”，在解析该题时，需要学生关注商的变化规律。有学生将之解为860÷40 ＝21……2。显然，学生在理解该题的余数时出现了错误。请学生思考：“860÷40”这个算式中，被除数、除数都是整十数，这时我们在求解时会怎样？学生想到都去掉一个零再计算。很好，但请同学们思考，运用“商不变性质”，当被除数、除数都缩小10 倍，其商不变。对该题在求余数时，与86÷4 ＝21……2 相同吗？我们可以通过验算来判断结果是否正确。通过计算，除数乘以商，再加上余数，是否等于860？显然是不等的。问题错在哪里？原来，余数为“2”是错误的，应该是“20”。

（三）缺乏数学认知力，导致数学解析错误

解数学题，需要具备一定的数学知识、方法和能力。一些学生数学认知力薄弱，缺乏数学分析、数学想象能力，对问题的解决缺乏正确思路。举例来讲，某题中，有120cm 的铁丝，想做长方体框架，长、宽、高的比为3∶2∶1，问该长方体的长、宽、高是多少厘米？题意条件有总长度120cm，长、宽、高的比为3∶2∶1。该题考查的是对“比的意义和性质”的认识。很多学生在解题时，解法如下：对于长，表示为120×3／（3＋2 ＋1）＝60 厘米，同理，得到宽为40 厘米、高为20 厘米。分析学生的解题思路，学生认为，既然是长、宽、高的比为3∶2∶1，则可以将棱长总和看作“3 ＋2 ＋1 ＝6”份，计算出每一份的长度为20 厘米，则可以得到长、宽、高。学生的思路看来很清晰，但如果将之进行计算棱长总和，得到的结果为（60 ＋40 ＋20）×4＝480（厘米），看来与题意中的120 厘米是不符的。问题出在哪里？通过剖析和梳理，对于长方体的长、宽、高，各个棱长总和是4 倍的“长＋宽＋高”，还需要再除以4，才能计算正确。学生对立体图形缺乏空间想象力，导致解析错误。

三、把握学生数学“错误”，关注数学思维的发展

针对学生数学中的错误，对错因进行分析，教师要全面地把握学生的“错误”，学会容错、用错、诱错，立足数学思维的培养，发展学生数学思辨力。［2］

（一）学会容错，激活学生对数学的好奇心

对待学生的错误，教师要学会包容。小学生心智不成熟，面对数学题目，无论是哪种错误，教师都要理性对待，要包容学生的错误。举例来讲，认识“圆柱体”，对于圆柱体，我们先准备两张相同的长方形纸板，让学生思考，能否将之折成圆柱体，有几种折法？接着，鼓励学生以分组方式开展“圆柱体”制作活动。学生在动手中，尝试不同的折法。对折好的圆柱体，我们再延伸问题：请同学们思考，这两个圆柱形容器，如果来装沙子，它们所装沙子的容量是否相等？很多学生认为，这两个不同的圆柱体所装沙子的量是相同的。理由是，这两个圆柱，都是由完全相等的长方形纸板做出的。对于学生的推论，教师并不直接下结论，而是鼓励学生自己动手操作，来验证自己的猜测。事实上，学生在验证结果时，却得到不同的答案。为什么？带着学生的疑问，我们展开话题讨论，抓住了学生数学学习注意力。同样，在学习“平行四边形的面积”时，对于“底与高相乘”与“底与邻边相乘”两种不同的计算方法，请同学思考，为什么有两种不同的计算方法，哪种方法是错的？请找出原因。通过探究发现，在“底与邻边相乘”条件下，平行四边形必须是长方形时才能成立；否则，“底与邻边相乘”，不能作为平行四边形的面积，必须是“底与高相乘”。从学生的常见错误中，让数学思维自然发生。

（二）学会用错，引领学生开启数学智慧

对于错误，心理学家贝恩布里奇提出：“错误人人皆有，教师要善于把握学生思维过程中出现的错误，巧妙地利用这些错误，促进学生纠正错误，迈入知识的殿堂。”也就是说，对于学生的错误，教师要巧加利用，开启学生的数学心智。在数学解决问题中，对于行程问题的讨论，一些学生会理解为1÷（1／x ＋1／y）。从A 地到B 地，大客车走完行程需要1／2 小时，小汽车需要1／3 小时。如果两车同时从A、B 两地相对开出，问什么时候相遇？对于该题的求解思路，一些学生的解法为：1÷（1／2 ＋1／3）＝6／5。这一结果显然是不当的。为什么两车相对而行，时间比单独走完全程还要多？由此，通过剖析学生的错误解法，找准错因，让学生正确理解行程问题，掌握解题的方法。

（三）尝试诱错，让学生从错误中洞开心智

很多时候，教师担心学生出现错误。很多学生在解题时，也担心自己出错。面对错误，师生不能浅层地认为“错误是不对的”，而是要将错误看作发展学生数学思维、提升学生数学解题力的资源。从学生的错误表现中，粗心、不认真、空间想象力不够等原因都不是关键，关键是教师要让学生能够认识到自己的“错误”，能够从“错误”中学会改正。

在教学分数乘法时，学生已经掌握一些简便的计算方法。如，（1／3 ＋3／8）×24，可以对题目进行变形。对于算式（8／7 ＋3／5）×7×5，有学生会这样解题，将8／7×7 ＋3／5×5，显然，这一解法是错误的，错在因数与括号内的数，分别相乘。重新剖析乘法分配律，让学生认识“7×5”，可以看作是一个“数”，再进行乘法分配律计算。同样，对于“能被3整除数的特征”探讨时，当个位是“0、2、4、6、8”的数时，能被2 整除；当个位是“0、5”的数时，能被5 整除；对于个位是哪些数时，能被3 整除？很多学生张口就来“3、6、9”的数，能被3 整除。我们列出“23”“16”“29”等数，请学生验证自己的推测。显然，这几个的个位符合“3、6、9”要求，但却不能被3 整除。再观察能够被3 整除的数，例如“30、42、36、45”等，通过讨论发现，各个数位上的和能够被3整除，那么这个数也能被3整除。

总之，在小学数学学习中，出错是正常的。面对错误，教师和学生都要正确对待。教师要立足学情，反思学生的错误，找准错因，有的放矢，才能让学生从“错误”中获得数学综合能力的提升。教学中，教师要正确对待学生的错误，反思学生错误的原因，将错误看作资源，改进教法，促进教学相长。