对一道期末质量检测题的探究

郑剑伟

题目 （2022年1月厦门市高二期末质量检测试题）已知椭圆Γ：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），焦点F（1，0），A，B是Γ上关于原点对称的两点，ΔABF周长的最小值为4+23.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线FA与Γ交于点M（异于点A），直线FB与Γ交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点.

本题的答案是：（1）椭圆Γ的方程为x2/4+y2/3=1；（2）直线MN过定点（8/5，0）. 本题（2）内涵丰富，具有探究价值，可以引导学生对其进行探究.

命题2.3 已知双曲线Γ：x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），定点E（0，λb）（λ≠0，λ≠±1），A，B是Γ上关于原点对称的两点，若直线EA与Γ交于点M（异于点A），直线EB与Γ交于点N（异于点B），则直线MN过定点（0，2λb/1+λ2）.

以上是对上述试題第（2）小题的探究和推广，引导学生对一些典型试题进行适当的探究，得到一般性结论，这对激发学生的探究欲望，提高学生的探究意识和探究能力，提升学生的数学学科核心素养无疑是有益的.