巧设数学变式 凸显思维进阶

吴湘芸

高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.精心设计例题及变式，由表及里、由浅入深、由易到难，循序渐进.例题与习题是教材的重要组成部分，要准确把握习题的容量、难度.提供具有不同层次要求的习题，关注知识的发生过程，展示学生的思维过程，沟通知识内在联系，促进知识迁移，形成知识网络，帮助学生掌握知识，提高课堂效率，锻炼学生思维.

一、变换条件，培养思维灵活性

题目看似不同，实则本质相同.把握知识类型，分析水平层次.可以更改条件的不同表述，转换问题呈现形式，也可变换条件与结论，寻求不同之处.启发学生比较异同点，复习各类知识点，挖掘深层含义，抓住问题实质，掌握每种题型的相关解法.

例1 （1）若关于x的不等式4x2+ax+4>0的解集是R，求实数a的取值范围；

（2）对任意的实数x，若不等式4x2+ax+4≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若函数y=4x2+ax+4的图像都在x轴的上方，求实数a的取值范围；

（4）若关于x的不等式ax2+4x+4>0的解集是，求实数a的取值范围.

设计说明：二次函数有关的恒成立问题，也是二次函数对应的一元二次不等式恒成立的问题.如果二次项系数中含有参数，不要忘记对参数进行分类讨论.解题中注意数形结合思想的合理运用.强化条件中字母的适用范围，培养严谨思维.启发引导学生分析异同点，能够及时抓住问题的本质，培养思维的灵活性.

例2 （1）对x∈R，若关于x的不等式mx2－mx+m－6<0恒成立，求实数m的取值范围.

（2）对m∈－2，2，不等式mx2－mx+m－6<0恒成立，求实数x的取值范围.

设计说明：第一问根据m=0与m≠0两种情况分类讨论，结合两次函数图象及性质求解；第二问将y=mx2－mx+m－6看成以m为自变量的函数，研究新函数在给定区间的端点处的函数值符号即可.本题在解决不等式恒成立问题时渗透函数思想，根据变量合理构造函数.不等式中变换主元，函数发生改变，既呼应例1中的恒成立问题，又体现了转化与化归思想.

二、设置阶梯，培养思维深刻性

变换问题的思考角度，由浅入深、由易到难，层层铺垫，在条件的难度进阶中总结题型方法以及分析思路，帮助学生，感悟数学思想，积累思维经验，逐步提高解题能力.

例3 （1）求函数f（x）=x2+2x+2的最小值.

（2）求函数f（x）=x2+2x+2（x>－2）最小值.

（3）求函数f（x）=x2+2x+2（x≥a）的最值.

（4）若函数f（x）=x2－2ax+2在－1，1上的最小值为－1，求实数a的值.

设计说明：第一、二小问中将二次函数配方画图，属于基础题，学生求解并不困难.第三问由定量改为变量，需要分类讨论，考查定轴动区间，难度进阶.第四问已知最值，求参数范围，考查动轴定区间.问题不断转换，从初中的二次函数求最值进阶为高中角度的分类求参数，让学生自己真正理解为何分类、如何分类.例题涵盖高中二次函数求最值的各类解法，通过层层设计让学生注意到解题方法上的差异.

三、由点及面，培养思维发散性

一题多变，由一道题目复习多个知识点，寻找解题规律，将知识融会贯通.引导学生思维由浅显引向纵深，获得更高层次的认识.在变式的层层转化下发现知识的共同性，解决一类问题从而解决多种问题，激发学生的学习热情.

例4如图1所示，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上的点，Q是PA的中点，G为ΔAOC的重心，AB是圆O的直径，且AB=2AC=2.

（1）求证：QG∥平面PBC；

（2）求点G到平面PAC的距离．

变式1 求点A到平面PAC的距离．

变式2 求点G到平面PBC的距离.

變式3 取AC中点M，求MQ到平面PAC的距离.

变式4 求平面MQO到平面PAC的距离.

设计说明：本题考查线面平行的判定、平面与平面平行的判定与性质、点到平面距离的计算.第一问由线线平行推出线面平行.变式1利用“G为ΔAOC的重心”这一条件，发现距离的关系转变，是第二小问的深化，可以直接作出距离，也可用等积法进行转换.变式2就可用等体积法求解距离.变式3利用MQ∥平面PAC，发现线面之间的距离其实就是点到面的距离.同样，变式4中，若能发现平面MQO∥平面PAC，那么就能将面面之间的距离也转化为点面之间的距离了.通过不断分解，持续探究，逐步递进就再追溯本源，最后引导思维从发散走向收敛，促进学生主动获取知识，对复习的知识有全面而深刻的认识.

四、判别对错，培养思维严谨性

古人云：“疑为思之始，学之端.”在教学中鼓励学生提出质疑，引导启发学生独立思考，找出解法中的错误，并剖析原因，改错后给出正解，通过判断对错找出缺失，纠正错误思维，养成科学思考习惯的同时，让学生在辨析中加深对知识的理解，向数学思维的更深处漫溯.

例5有一道题“若函数f（x）=24ax2+4x－1在区间－1，1内恰有一个零点，求实数a的取值范围”.某同学给出了如下解答：由f（－1）f（1）=（24a－5）·（24a+3）<0，解得－1/8

设计说明：例5中考查根据函数在区间内的零点个数求解参数的取值范围.当零点不满足所在区间左右端点值异号时，无法用零点存在性定理完成.方法一，首先要对字母a是否为0进行讨论，当a不为0时，容易遗漏端点值同号的情况；方法二，将参量变量分离，x=0时单独讨论，x≠0时转化为y=a与新函数在区间上只有一个交点.

例6 已知=（cosx，sinx），=（3，－3），∥，x∈0，π，求x.

解：因为=（cosx，sinx），=（3，－3），∥，所以－3cosx=3sinx.所以x=5π/6.上述解答是否正确，若不正确，请说明理由，并给出正确解答.

设计说明：利用向量共线的条件列式，在求角之前先要求出三角函数值.法一可求出tanx的值，注意正切公式的应用条件以及角的范围，常有学生漏写；法二利用配角公式得到sinx+π/6=0或cosx－π/3=0，同样需要求出角的范围.

五、自选条件，培养思维开阔性

特定设计的问题（非常规问题、开放性问题、结构不良问题），问题的条件或目标不确定，需要探究.要尝试引导学生展示数学理解力，从不同角度思考条件之间的关系，体会各种方法的适用特点.对结论的有效性进行预估，满足学生自主探索的欲望，拓展学生的数学视野.

例7 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S.现有以下三个条件：①2c+bcosA+acosB=0；②sin2B+sin2C－sin2A+sinB.sinC=0；③a2－b2－c2=43/3S.请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解.已知向量=4sinx，43，=cosx，sin2x，函数f（x）=·－23，在△ABC中，a=fπ/3，且，求2b+c的取值范围.

设计说明：先用向量数量积公式得出f（x）=·－23=4sin2x－π/3.

条件①，選用正弦定理及两角和的正弦公式化简得到角A的大小；也可利用射影定理bcosA+acosB=c，从而求出角A.

条件②，选用余弦定理得到角A的大小；

条件③，选用余弦定理及三角形面积公式化简得到等式3sinA+cosA=0，可用配角公式或化为tanA=－3，得到角A的大小.此时可求得A=2/3π，则a=23.再利用正弦定理化简2b+c，采用消元的方式，如，2b+c=43cosC或2b+c=43sinB+π/6，求出2b+c∈23，43.

本题的三个条件分别考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，穿插向量及三角函数求解取值范围，但三个条件得到的结论相同，都是为了求出角A的大小.

六、自主编题，培养思维创造性

自主出题，打破常规，触碰知识内核，建构知识的内在结构.在编题过程中凸显逻辑思维，体现创造性、敏捷性、多项性.题目千变万化，要让学生真正理解知识，才能运用自如.平时可让学生根据自己的能力水平自己设计不同类型、不同层次的练习，激活创新思维.

例8 设椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的右焦点为F，右顶点为A，|AF|=1，离心率为1/2.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，O为坐标原点，若BF⊥HF，且∠MOA≥∠MAO，求直线l的斜率的取值范围.

设计说明：本题第一问考察椭圆的标准方程，属于容易题.由a－c=1，e=c/a=1/2，求得a=2，c=1，b=3.所以椭圆的方程为x2/4+y2/3=1.

第二问考察椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.由题意设出直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为y=k（x－2）.联立直线方程与椭圆方程，得（4k2+3）x2－16k2x+16k2－12=0，Δ=256k4－4（4k2+3）（16k2－12）=144>0.利用根与系数的关系列式，解得x=2，x=8k2－6/4k2+3，则B8k2－6/4k2+3，－12k/4k2+3.因为F（1，0），设H（0，y0），由BF⊥HF，得BF·HF=0，求得y0=9－4k2/12k.直线MH的方程为y=－1/kx+9－4k2/12k，与y=k（x－2）联立，解得xM=20k2+9/12（k2+1）.由∠MOA≥∠MAO，得|MA|≥|MO|，得xM≤1，解得k∈［－6/4，6/4］.

本题涉及向量数量积的坐标运算以及三角形中大角对大边的运用，体现了“整体运算、数形结合”的思想方法，考察运算能力.

选择题目时要关注情境和问题的创设，关注数学内容主线之间的关联以及六个数学核心素养之间的协调.设置题目时要对知识点进行深度分析，对学生可能想到的问题充分预设，利用题目的改变促进学生的深度参与，逐渐培育学生的高阶思维，以促进学生可持续发展和终身学习为价值旨归.

参考文献

［1］卞志荣.利用变式教学 促进学习高端进阶［J］.物理教师，2017（12）：36-39.

［2］王家裕.“变式教学”在高中数学教学中的应用［J］.数理天地（高中版），2022（4）：56-58.

［3］李健.基于“导问”的高中数学变式教学［J］.江苏教育，2022（67）：23-26.