一类含限制条件的三角形问题解法探究与拓展

黄永生　杨丹

解三角形問题中经常会遇到含附加条件的三角形问题，例如锐角三角形、钝角三角形等.由于此限制，此类试题的难度陡增.本文以锐角三角形为例，从极限思想、函数思想、边角互化等角度总结此类问题的一般解题思路，希望对读者有所帮助.

1 试题呈现

在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=3b.

（1）求角A的大小；

（2）若a=6，求△ABC面积的取值范围；

（3）若bc=28/3，求a的取值范围.

2 试题分析

依题意，易得A=π/3.第（2）问中，常用的方法是引入变量，构造面积函数求值域.其一：可引入“角”为自变量，通过正弦定理建立面积函数，并在“锐角三角形”限制条件下，缩小角的范围，通过三角恒等变换求得面积的取值范围；其二：可引入“边”为自变量，通过余弦定理，结合基本不等式求得三角形面积的上界.同时，还需在锐角三角形限制条件下找到关于边的不等关系，进一步求得面积的下界.当然，选题填空中还可以利用极限思想快速解决此类问题.

5 新题编制

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S=3（b2+c2－a2）/4 ，且b2+c2=a2+2a，求△ABC面积的取值范围.

解答过程与例题相似，答案为［3，33/2）.

（本文是2021年泉州市基础教育教学改革专项课题《基于数学运算能力的高中质优生培养的有效教学策略研究》（编号：QJYKT2021-068）；福建省教育科学“十四五”规划2021年度课题《自媒体环境下基于数学建模素养培养的微课研究》（课题编号：FJJKZX21-490）的研究成果之一.）