高中数学研究性学习的课例分析

徐伟　彭艳贵

研究性学习是学生以某些特定课题为基础进行探索研究的一种学习方式，在高中数学范围进行研究性学习符合教育目标的基本要求，有助于培养学生的创新精神和创造能力，促进学生核心能力与综合素养的发展，因此，有效开展研究性学习是重要的.从数学研究的传统来看，数学家的研究大体分为纯粹数学理论研究和应用数学研究两个方向.与应用数学研究相应，高中数学新课程标准倡导开展数学建模活动.数学建模在数学应用等方面的教育价值虽得到普遍认可，但从高中教学的实际情况来看，建模活动的开展并不普遍.其中的原因，一方面是教师的指导能力和研究条件等还不能满足需要；另一方面是由于高考应试的原因导致高中教学进度较快，教与学的压力较大，特别的，建模活动对能力的培养对应试能力提高是否有促进作用对于高中师生而言可能还存有疑问.类比于数学家从事纯粹数学理论研究课题的确定方式，可以从教学中的理论知识和例习题中挖掘问题供开展研究性学习用.这样做有几点明显的好处：（1）不需要过多的额外教学资源；（2）有利于理解教学内容；（3）从研究活动所获得的能力有助于常规解题能力的提高，可有效避免大量“刷题”所带来的低效学习；（4）有助于学生了解数学研究传统，理解数学家提出问题的方法和追求不变性、不变量等结果简明的价值判断；（5）提高學生综合的数学素养.

作为教师最好有过数学研究的亲身经历，特别的，有初等数学的研究经历，或者有编拟例习题或试题的经历，如此，教师才能熟悉研究性学习活动中的数学研究方式方法，从而有利于活动的开展.教师需要对所研究的课题有一定的了解，能够初步预见可能的研究结果，从而把研究性学习活动限制在可控的范围内.一般的研究方法：（1）把已有的概念、命题及例习题做出推广，这是常用的数学问题提出的方法；（2）沟通两个知识主题的联系；（3）将一个知识主题所获得的知识应用于其它领域，等等.早期的高中教材中有这样一题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1·y2=－p2.此题在人教B版（2004）高中教材选修2-1（解析几何）中改为：过抛物线y2=2pxp>0焦点的一条直线与这条抛物线相交与A，B两点.求证：这两个交点到x轴的距离的乘积是常数.如此改动是有其深意的，它弱化了问题的代数意义而突出了问题的几何特征.新人教B版（2020）选择性必修一教材中仍原样保留了该习题.

文［1］中一位中学数学教师指出：多数学生做该题时，并没有认识到该题所涉及的结论实质上是抛物线焦点弦的一个几何性质.因此，尽管做了此题，学生也不能从抛物线焦点弦的高度解决一些其他有关问题，更谈不上掌握解决这类问题的规律.按波利亚的说法，一个好题目，解决它，可以打开一道门户，指引我们通向一个完整的数学理论.对于教师而言，在求解问题时不能仅着眼于运用知识方法解决问题，更应在数学问题的数学意义上把握对此问题的理解，并在此基础上开展进一步的理论意义上的探究.从教学和应试意义下考虑，教师应引导学生以此问题为线索，开展专题的研究性学习，挖掘抛物线焦点弦的几何性质，并掌握解决这一类问题的方法和规律.同时，将理论专题研究的结果作为解后反思、题组（变式）训练的出发点.

抛物线焦点弦问题及其推广在教材中及以往的高考试题中都有所体现，这就为研究性学习提供了素材.一方面，研究此类问题从知识、方法的运用角度讲是适当的，难度也合适，也能体现出一定的数学研究方式方法及价值判断；另一方面，探究活动所获得的题型知识和解题能力对应试的支持作用也是显而易见的.

1.以抛物线焦点弦问题的探究为例看研究课题的提出文［2］给出了抛物线焦点弦的一个性质：

命题1 过抛物线焦点弦两个端点的切线的交点必在准线上，反之亦成立.

推广1 将命题1中的焦点换作一般的定点，即将命题1的推广作为研究课题，再看看命题2所得结论能否在推广的命题中被继承下来.已知抛物线x2=2pyp>0，过点M（0，m）（m>0）的直线l交抛物线于A、B两点，过A、B的抛物线的切线交于点P，当直线l绕M点转动时，证明：动点P的轨迹为直线y=－m.反之亦成立.再进一步研究直线PM与AB可能的位置关系.

推广2 已知抛物线x2=2pxp>0，如果将y轴上定点进一步改为一般的定点Mm，n（M点在抛物线内部），过点M的直线l交抛物线于A、B两点，过A、B的抛物线的切线交于点P，当直线l绕M点转动时，看动点P的轨迹是否仍是直线及直线位置如何？反之，给定一条直线，由直线上的点向抛物线作两条切线，问题是切点的连线是否过定点.

2.探究椭圆和双曲线的焦点弦问题

推广3 将抛物线焦点弦几何性质命题1、命题2及课题1、2的结果移植到椭圆和双曲线上，可引导学生提出下列命题并探究这些命题是否成立.再进一步将下面命题当做研究对象，以此为基础展开新的课题探究.

命题3 过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）弦的两个端点A、B的切线的交点P在准线x=a2c上，同时PF⊥AB，PA⊥PB.

命题4 过M（m，0）（0b>0）的弦AB，则过A、B的切线的交点P在直线x=a2m上.

命题5 过双曲线x2a2－y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）弦的两个端点A、B的切线的交点P在准线x=a2c上，同时PF⊥AB，PA⊥PB.

命题6 过M（m，0）（m>a）作双曲线x2a2－y2b2=1（a>b>0）的弦AB，则过A、B的切线的交点P在直线x=a2m上.

考虑到椭圆、双曲线的焦点坐标与准线位置的特殊关系，即有c·a2c=a2，可联想到平面几何的反演问题.参阅文［3］知：所谓反演，就是对于固定点O，若有点P′与P，恒有一常数k，使OP′·OP，则称P′与P互为反演点，进而定义反演图形；只考虑k>0情形，可用圆（基圆）作为反演变换的几何解释；反演的一条性质是：过反演中心O的圆（半径小于基圆的半径）的反演图形是直线.

推广4 将圆的反演变换问题与前述命题1-6结合起来，研究利用椭圆、双曲线及抛物线实施反演变换的问题.具体提出以下命题作为研究的素材.

命题7 对于椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），椭圆中心为O，右焦点为F（c，0），P′为以OF为直径的圆上任一点（除F点），过F作弦AB⊥P′F，过A、B的切线的交点为P，则P点在准线x=a2c上，且有OP′·OP=a2.

命题8 对于双曲线x2a2－y2b2=1（a>b>0），雙曲线中心为O，右焦点为F（c，0），E为右顶点.P′是以EF为直径的圆上任一点（除F点），过F作弦AB⊥P′F，过A、B的切线的交点为P，则点P在准线x=a2c上，且有OP′·OP=a2.

命题9 对于抛物线y2=2px（p>0），焦点为F，P′是以OF为直径的圆上任一点（除F点），过F作弦AB⊥P′F，过A、B的切线的交点为P，则P点在准线x=－p2，且有FP′·FP=p22.

推广5 对命题7的进一步思考，教师可引导学生提出下列命题.

命题10 对于椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），椭圆中心为O，过M（m，0）（0

命题11 对于双曲线x2a2－y2b2=1（a>b>0），双曲线中心为O，过M（m，0）（m>a）的弦AB两个端点的切线的交点为P，连结OP与弦AB交于P′，当点P的轨迹为直线x=a2m时，P′的轨迹是以OM为长轴，离心率同样为e=ca的双曲线（右支）.

高中数学研究性课题的确立除了考虑与教学内容的联系及课题的难易程度与学生能力的匹配之外，还要考虑研究结果的创新性问题.我们认为，对课题研究结果的创新性不宜以学术意义上的创新为标准，相对于学生所接触的数学理论知识、方法和实际能力而言有新意即可.

参考文献

［1］李建才.中学数学教师教学基本功讲座［M］.北京师范学院出版社，1991.

［2］王增生.抛物线焦点弦的性质［J］.数学通报，2000（7）：2.

［3］梁绍鸿.初等数学复习及研究（平面几何）［M］.人民教育出版社，1979.