一道椭圆三点共线问题的探究

孙丕训　潘欣桐

在我们研究一个数学问题本质或探索某问题的内在规律时，适当地对题目条件进行弱化是一种非常有效的方法.本文从2021年朝阳区二模解析几何解答题出发，将其条件进行适当弱化，得到该问题背后的规律，并将得到的规律推广到双曲线中.

猜想1 已知圆锥曲线C：mx2+ny2=1（mn≠0），直线l经过定点B（x0，y0）且与曲线C交于不同的两点M，N.E（s，t）是过点B且與直线mx0x+ny0y=1垂直的直线上的定点.设直线EM，EN分别与直线mx0x+ny0y=1交于两点P，Q，线段MN，PQ的中点分别为G，H，则直线GH必过定点.

猜想2 已知抛物线C：y2=2px（p>0），直线l经过定点B（x0，y0）且与曲线C交于不同的两点M，N.D（s，t）是过点B且与直线y0y=p（x+x0）垂直的直线上的定点.设直线EM，EN分别与直线y0y=p（x+x0）交于两点P，Q，线段MN，PQ的中点分别为G，H，则直线GH必过定点.