对2022年全国新高考Ⅰ卷22题Ⅱ问的探究

严豪东　刘成龙

一、试题再现

（2022年全国新高考Ⅰ卷22题）已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2－y2a2－1=1（a>0）上，直线l交C于两点P、Q，直线AP、AQ的斜率之和为0.

（Ⅰ）求l的斜率;

（Ⅱ）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积.

本题以双曲线为载体，主要考查解析几何中的设线、解点与面积计算.该试题内涵丰富，解答入口宽，是考查学生运算能力、推理能力等学科素养的良好载体.

二、试题立意

试题的立意是指试题所包含的主要思想.［1］本例立意深刻，下面从基础知识、思想方法、核心素养三个方面进行分析.

（1）基础知识立意：命题者在遵循课程标准的前提下，以双曲线为载体，考查了高中数学的主干知识：双曲线方程、诱导公式、两直线夹角公式、三角形面积公式等，这有导向高中数学教学夯实基础、着力主干之意.

（2）思想方法立意：本题涉及函数与方程思想、化归转化与思想、数形结合思想等多种数学思想，对引导数学学习重视数学思想方法具有积极意义.

（3）核心素养立意：本题解答涉及较为复杂的运算和推理，充分考查数学运算素养和逻辑推理素养;解答（Ⅱ）问建构“两直线夹角”模型，考查数学抽象素养和数学建模素养;整个解答过程中建立了形与数间的联系，利用图形描述问题，借助几何直观理解问题，考查直观想象素养.

三、试题解法

从系统论来看，一个数学问题就是一个相对独立的系统，对系统的处理（解题）就是把系统中一个个零散的信息按照一定顺序串在一起形成一个有机整体.一题多解是解法研究的基本形式，体现的是信息组合的多样性和思维策略的灵活性［2］.下面给出本题（Ⅱ）的解答.

分析：解答分為三步：求斜率kAP、kAQ，求三角形的各点坐标，求面积.

参考文献

［1］刘成龙，余小芬.研究高考试题的视角与案例［M］.成都： 四川大学出版社，2018.

［2］严豪东，刘成龙.研究高考试题的视角与案例—以2019年高考全国卷I理科为例［J］.数学教学通讯，2020.6.

［3］刘成龙，余小芬.数学推广：概念、特征及教育价值［J］.数学通报，2021.5.

（基金项目：内江师范学院本科生教学研究能力培养模式探索与实践（YLZY201902），内江师范学院基础教育研究与实践专项“聚焦数学核心素养的大概念教学研究”（JG202125）.刘成龙系本文通讯作者. ）