初中学生“函数几何直观能力培养”的教学案例分析

胡燕 汪宏玲

【摘要】几何直观内容贯穿整个初中阶段，对学生数学思维、数学能力的培养起着重要的作用.一方面，几何直观能将抽象的数学知识直观化，让内隐的思维可视化；另一方面，几何直观可帮助学生对事物有所感知，能通过表象抽象出其本质特征，且在头脑中建立事物间的联系，从而分析和理解问题.教师要在平时的教学中注重几何直观能力的培养，从而提高学生的数学核心素养.

【关键词】函数；几何直观；课堂教学

1 研究背景

《数学课程标准（2022年）》中指出：初中阶段，核心素养主要表现为抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识.核心素养的培养有助于学生养成良好的数学学习习惯，引导学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.而几何直观作为核心素养中非常重要的一部分，贯穿了整个初中阶段，在数与代数、图形与几何、统计与概率的教学中均有涉及.下面主要研究在函数教学中几何直观能力的培养，以本人开设的区级公开课“探究函数y＝x＋1x的图象和性质”为例.

2 教学设计过程

2.1 回顾旧知

我们前面学过一次函数和反比例函数，如图1所示，你是如何研究的？请谈谈你的想法.

师生活动 引导学生经历列表、描点、连线画出函数图象，同时根据图象得到函数的性质.让学生知道反比例函数图象被分为两部分是由函数表达式决定的，最后引导学习函数的主要目的是应用.

函数y1＝x

函数y2＝1x

设计意图 表达式是数、图象是形，我们研究函数时要数形结合.从而让学生总结研究函数的一般方法.

2.2 探究活动

活动一：请画出函数y＝x＋1x的图象.（由表达式和图象叠加来分析函数的图象）

问题1：你打算如何研究呢？

师生活动：学生独立思考，师生一起总结.

设计意图：从“表达式、图象、性质、应用”方面来得到研究函数的一般方法.

问题2：观察表达式你得到什么结论？

师生活动：学生独立思考，教师板书学生的猜想.猜想1：x≠0，y≠0；猜想2：函数图象在第一、三象限；猜想3：当x＜0时，x＞y；猜想4：当x＝－1时，y ＝－2；猜想5：在同一象限内，y随x的增大而增大.

设计意图：让学生猜想出函数的一些基本性质.

问题3：通过对表达式的初步研究，我们得到了函数的大致分布和一些性质，到底是否正确，请大家现在拿出学习单画出函数的图象，画图象的一般步骤是什么？

师生活动：学生画图，教师巡视，并批改.

设计意图：让学生通过列表、描点、连线画出函数的大致图象.

追问1：对于这位同学的表格，你有什么样的想法？

师生活动：学生通过讨论得出列表不全面.应该有负数，还有分数.

设计意图：让学生明白列表取值的重要性.

追问2：你们觉得为什么要取负数？为什么要取12？你认为取12必要吗？你是如何想的？

师生活动：学生先思考，再对自己的取值、描点进行集体讨论，得出x取值的重要性.

设计意图：让学生通过实践操作、讨论，明白列表中x取值的重要性.

追问3：第一象限，左边应该是如何走向的呢？

师生活动：先让学生想象，然后再取值画图尝试总结.

设计意图：让学生明白第一象限函数图象左边的走向.

追问4：为什么画到5不画了？图象后面是什么样子的呢？你是如何判断的？

师生活动：先让学生想象，然后再取值画图尝试总结.

设计意图：让学生明白函数的图象右边是无限延伸的.

问题4：列表时，还要注意什么？描点时，要注意什么？连线时，这位同学用折线连接，你认为呢？

师生活动：教师提问，学生回答.

设计意图：让学生总结画函数图象的注意事项.

问题5：展示好的学生作品，这些同学的图象画得都很准确，如果我们要得到更精确的图，应该如何做呢？

师生活动：教师通过几何画板演示让学生更加直观明了.

设计意图：通过加密点来获得精确的图象.

活动二：请写出函数y＝x＋1x的性质.

问题1：你能根据图象说出函数的性质吗？

师生活动：學生思考回答，教师总结.

设计意图：通过图象来验证刚刚学生猜想的函数性质是否正确.

问题2：刚刚前面这些同学所说的这些结论正确吗？我们先看“当x＜0时，x＞y”的想法是否正确？

师生活动：学生判断前面的猜想是否正确，思考回答，教师引导从式结构验证.

设计意图：学生课堂的生成通过图象和式结构来验证.

问题3：刚刚前面这位同学提出“在同一象限内，y随x的增大而增大”的结论正确吗？

师生活动：学生讨论，师生得出结果.

设计意图：强化自变量的取值范围，同时让学生明白该函数图象是两支.

2.3 课堂小结

问题：回顾整个过程，你的收获是什么？

师生活动：学生总结，教师适当点评补充.

设计意图：研究函数，我们先分析函数的表达式，然后得到函数的一些图象特征及性质，然后应用列表、描点、连线得到函数的图象.列表时应注意关键点，描点时要注意函数的走向，连线时要注意用光滑连续的线从左到右依次连接.而且在研究函数的过程中，我们应用了类比的思想方法以及数形结合思想.

2.4 布置作业

函数y1＝x与y2＝1x的图象如图2所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图象关

于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数图象最低点的坐标是（2，4）．其中所有正确结论的序号是_____________．

设计意图：以2017年南京中考题作为作业，考查学生对新函数性质的掌握.

2.5 目标检测设计

请你研究函数y＝1x2.

设计意图：让学生明白研究新函数的一般方法.

课堂上虽然意外很多，但是收获也很多.回顾整个课堂，让我对“函数几何直观的教学”有以下认识：

第一，“函数几何直观的教学”要求课堂以训练学生的思维为载体，层层递进.课堂教学的落脚点要定位到人的发展上，这样的理念与当前提倡的核心素养是不谋而合的.如何让学生的思维落地生根，一句话，就是让学生的思维活跃起来.

例如 对本节课的难点，我采用了如下提问方式：

师：对于这位同学的表格，你有什么样的想法？

生：列表不全面.应该有负数，还有分数.

师：你们同意吗？为什么要取负数？

生：因为x的取值范围是x≠0.

师：为什么要取12？

生：…….

师：请大家尝试画一下看看.

师：你认为取12必要吗？

此时有取12的同学举手.

师：你是如何想的？

生：如果不取12，我们就不知道此时图象的走势.

本节课通过对学生思路一层层地抽丝剥茧，最终达到了很好的效果.

第二，“函数几何直观的教学”要求教师课堂教学以生为本，给予学生自我展示的空间.义务教育《数学课程标准》提出：数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.这样就要求教师要重视学生在学习活动中的主体地位.

例如 课堂上，我让学生回答你能得到什么猜想时，学生说x＜y，当时我就懵了，因为从来没有过预设，也没想到学生会如此猜想，然而我故作镇静，请这位同学坐下，通过画图的时间，让学生考虑，最终从式结构提问让学生获得了突破，此时，班级给予了这位同学雷鸣般的掌声，这也成为本节课的亮点.

第三，“函数几何直观的教学”要求教师注重思想方法的归纳，形成思维的逻辑体系.对于数学思想方法的学习和领悟可以使学生从整体和内部规律上掌握系统化的知识，有助于学生主动的建构，提高学生洞察事物、寻求联系、解决问题的思维品质和各项能力.而本节课，通过教师对对勾函数大致→精致→一致的探索过程，充分体会到了函数探究的一般本質与思想方法，从而为后续的学习打下了坚实的基础.

6 结语

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索，在“函数几何直观的教学”过程中，我们还需继续努力，落实党的教育方针和教育思想，为培养现代化的创新型人才而不懈努力.

【课题项目：江苏省教育科学“十四五”规划专项课题.名称：农村初中学生几何直观能力培养的策略研究.编号：XC-c/2021/23】

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.数学课程标准2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022（01）：7.

［2］杨俊荣，潘小柳.定理教学中运用分类讨论思想方法的案例分析［J］.中学数学教学参考.2019（17）：65-68.