提前规划 平稳过渡

汪莹

“数与代数”是义务教育阶段学生数学学习的重要领域。2011年版义务教育课程标准把“数与代数”分列为“数的认识”和“数的运算”两个板块，而2022年版义务教育课程标准则将两个板块合并为“数与运算”一个整体，进一步体现了“数的认识”是“数的运算”的基础。对比目前的小初教材，在整个小学阶段占据了大半篇幅的“数的认识”这一板块，会在初中阶段以“短平快”的节奏进行学习。学习内容和目标的变化、学习侧重点的转移、学习方式的改变，都将会给处于小初衔接阶段的学生带来一系列的影响。为了让小学毕业生更好地适应初中学习，笔者认为，教师可以将衔接教学的着力点放在分数和小数关系、负数的认识、数系的扩充、运算内部的逻辑这几方面，为学生初中阶段的数学学习打下坚实基础。

一、辨析分数和小数的关系，预埋有理数和无理数的种子

小数和分数是小学数学教学中的重要内容，但部分学生对小数与分数关系的认识还存有误区，这些错误的认知可能会对学生初中阶段时学习有理数和无理数产生影响。

关于小数的定义，在苏教版五年级上册的数学教材上是这样写的：“分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……”总有学生对这个定义误读。这个定义正着读成立，反过来读就值得推敲了。也就是说：十进分数是可以用小数表示的，但小数不一定能用十进分数来表示。这个定义其实仅指有限小数，虽有省略号，但不能理解为所有小数。在目前的苏教版教材中，有限小数与无限小数的定义是放在“你知道吗”板块中的，这也使得小数分类的受重视程度下降。无限不循环小数的定义则一直到圆周率的学习中才真正涉及，这也使得学生对小数分类的认知出现了偏差。不少学生会认为“小数中的大部分是有限小数，只有一小部分非常特殊的小數才是无限循环小数，至于无限不循环小数，那是少数中的少数”。很显然，这样的认知是不符合事实的。

在初中阶段学习有理数时，教材中引入了新的数的分类标准，即把能否实现与分数的转化作为分类标准，有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数则属于无理数。有理数的概念建立在分数和小数的关系上，而分数和小数的互化是在小学学习的。初中仅在一堂课的时间内便要学生完成新的数的概念的建立，这与学生在小学阶段的学习节奏是大不相同的。因此，在小学阶段教学分数和小数的互化这一知识点时，教师要做个有心人，借助一些例题，帮助学生提前了解有理数的概念，为学生日后升入初中学习有理数的概念奠定基础。

比如，在苏教版小学五年级下册的数学教材中有这样一道题：将、、、、、化成小数（除不尽的保留三位小数）。为了帮助学生提前了解初中的知识，教师可以让学生联系小数的分类，观察结果，给化得的小数分类，使其最终认识到：一是所有的分数都可以转换成小数；二是转换后的分数，要么是有限小数，要么是无限小数（此处还可以更进一步：是否可以转换为有限小数或无限小数与分数的分母有关。如果分母的质因数只含有2或5，则可以转换为有限小数；如果分母的质因数包含2和5以外的，则只能转换为无限小数）；三是由分数转换而来的无限小数是无限循环小数。教师还可以设置问题“如果有限小数都可以转换成分数，那么无限循环小数是否可以转换成分数？”，让学生在课后独立探索研究。

有了这个铺垫，学生将来再遇到无限循环小数，对于它究竟能不能化成分数，就会有自己的判断了。通过这种方式，学生也可以充分地理解分数和小数之间的关系，从而为初中的数学学习做好准备。

二、突出正、负数对应，铺垫正负数运算法则

小学生的思维方式以具体形象为主，他们在学习一个新的数的概念时，往往会依托大量的生活实例。以“负数的认识”的教学为例，小学阶段主要是在大量的实例背景下引导学生学习负数的含义和负数的表示，而初中阶段主要是以静态、抽象的方式呈现负数概念，这与小学阶段的数学教学是有区别的。

尽管学生在五年级已经初步认识了负数，但部分学生在初中阶段学习负数概念时依然存在理解困难，究其原因是没有正确理解“-”号的三种意义（运算、性质、相反数）。部分七年级学生无法区分公式中的“+”（正号）和“-”（负号）是作为运算的符号还是作为属性的符号，这也与学生没有将负数作为一个整体有关。在苏教版小学数学五年级上册中，有关正数和负数的定义都是描述性定义：像+20、+8844.4这样的数都是正数（正数前面的“+”可以省略不写），像-20、-155这样的数都是负数。人教版小学数学六年级下册中对正负数的定义为：“为了表示相反意义的量，如零上温度与零下温度、收入与支出等，需要用两种数。一种是我们以前学过的数，如6、500、4.7、，这些数是正数；另一种是在这些数的前面添上“-”（负号），的数，如-6、-500、-4.7，这些数是负数。”这样的处理更好地展示了负数的基本内涵：正数和负数代表两个意义相反的数量，前面带有负号的数就是负数。

为了让学生更好地理解负数，给学生初中阶段的学习奠定基础，在小学阶段教学负数时，教师可以利用数轴这一形象、可视化的手段，通过在数轴上比较一组正、负数与0点的距离，让学生充分感悟、理解负数和相应的正数是一一对应的。通过对比，学生能够感受到正、负数之间“数量相等”“方向相反”的关系，这也为其今后在初中学习绝对值和相反数打下了坚实的基础。

对比现行的教材，小学阶段并没有要求学生学习负数的相关运算，这些是初中阶段的学习任务。小学生的抽象思维水平仍然不高，教师不能人为地增加学生的学习负担。笔者认为，教师可以有意识地将正、负号与以前学过的加、减号加以区分，以便学生了解加减符号和正负号是同一符号的两种不同含义。同时，教师可以借助数轴，把正、负数和加、减法的运算以直观的形式渗透到小学阶段的教学中，这些都可以为学生将来学习负数运算作铺垫。

三、了解数的发展史，绘制数的认识网络图

数的认识，一直是小学数学中的重要内容之一。自然数、整数、小数、分数等，都是小学数学中最基本的概念。这些概念是绘制数的认识网络图、学习数的运算、研究数量关系的重要基础。从自然数开始，对数和数系的不断扩充是人类生产发展和社会进步的需要，也是数学本身发展的需要。

考虑到小学生的年龄特征，他们虽然从小学一年级就认识了整数，但一直到高年级才真正了解整数的定义。相比在小学阶段学生要用六年时间完成对整数、分数、小数等数的概念的扩充，在初中阶段，刚进入初中，学生就会经历数系的第一次扩充。如果学生对数系扩充认识不足的话，那么这就很有可能影响其接下来的学习。部分学生会用死记硬背的方式记住新的数的概念，硬生生将其纳入自己的认知结构。但如果教师能在小学阶段引导学生从整體的角度去理解数系扩充，基于学生的已有经验，帮助学生贯通各类数的概念，学生接受一个新的数的概念就不会很被动了。

因此，在小学六年级的复习课上，从数系扩展的角度带领学生了解数的发展史也是非常必要的。在数学课堂上，教师可以提问：“当数数时，自然数就足够了，为什么人类还需要发明这么多数？”教师可以让学生畅所欲言，并根据学生的解释带领他们回顾数的发展史，或借助课本上的图片帮助学生回忆这些数的概念的产生过程，还可以辅以树状图、数轴等将各种数进行分类，最终使学生绘制数的认识网络图。

比如，分数的扩充有两个原因，其中一个原因是人们在划分事物时必须切割和分配一个对象，那么整体的“部分”就不能用现有的自然数表示，需要有一种方法来描述“部分”，因而分数是“描述整体和部分之间的关系”的产物。小数的产生也有两个原因：一是对十进制计数法的扩展和完善的需要；二是对分数书写形式的优化和改进。根据十进制的位值原则，把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数。小数的出现标志着十进制记数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。

学生在了解数的发展史的过程中可以进一步完善数的认识结构，逐渐理解：正是为了解决人们在生产生活中出现的问题，人们才不断将数的领域加以扩充。

四、了解数的运算的内部逻辑，提升学生的数学素养

数系的扩充最初是源于现实生活的需要，后来，随着数学体系的发展，数系扩充也成了数学内部体系运算封闭性的必然要求。简单来说，就是数的范围被扩充了，人们的计算也就更方便了。因此，“数的认识”是为“数的运算”服务的。

从小学到初中，数系每扩充一次，比如整数到分数、分数到小数，学生都会先学习相关的数的概念，然后再进行数的运算。数及其运算是小学阶段数学学习的主要内容。然而，从数的运算的角度去理解数系的扩充，在小学教材中是较为隐蔽的一条线，所以从运算需要的角度去重新认识小学阶段的数的概念，也可以作为小初衔接的一个主要内容。

教师可以抓住适当时机，引导学生思考如下问题并给出解释：如果在数学中只讨论加法和乘法，那么以前学过的数就足够了，但如果要讨论减法呢？显然0和负数的产生就十分有必要，负数的产生也是为了解决“不够减”的实际问题。同样，如果要讨论除法，也非常有必要引入新的数的概念。在整数除法中，当两个数相除，有时不能得到整数商。在结果唯一的前提下，为了保证除法运算的顺利进行，分数应运而生。到了初中，可以用小数定义有理数：有限小数或无限循环小数称为有理数。进一步，可以用小数定义无理数：无限不循环小数称为无理数。还可以由此来定义实数：有限小数、无限循环小数和无限不循环小数统称为实数。由此，学生也不难理解：数系扩展到正整数和有理数，然后扩展到实数。在扩展的过程中，“实际需要”在促进方面的作用较小，更重要的是对数学运算的需要。

通过这样的梳理，学生对数的认识，不仅能立足于生活实践的角度，还能扩展到数学背景的角度。当学生的学习视角发生了变化，思维从具体形象水平上升到了抽象逻辑水平时，他们的数学素养也将得以提升。

（作者单位：江苏省苏州市姑香苑小学校）