积累用“份”度量的经验 发展单位化思想

【摘   要】除法的本质是平均分。开展基于“份”的操作活动，有助于学生理解除法的意义。以浙教版教材“认识除法”单元为例，教师从目标引领、任务驱动和量规层次三个维度设计表现性任务，从“操作每份数，初步感知单位化；经历等分除，建立单位化具象；比较倍关系，建立单位化表象；分出余数，运用单位化概念”四方面建立评价准则，从而分析学生对除法意义的理解水平，体现单位化思想在解决问题过程中的价值，为学生单位化思想的发展奠定基础。

【关键词】深度操作；表现性评价；单位化思想

除法意义的本质是平均分，平均分的结果——“每份数”，就是单位量。每份数既是平均分的结果，又可以作为平均分的标准，获得每份数的过程（等分除）以及将每份数作为标准进行平均分（包含除）都蕴含着单位化思想。［1］33学生通过操作“份”的数学活动，积累用“份”度量“总数”的经验，像这样定义与操作单位的过程称之为“单位化”［1］30，有助于学生理解除法意义。但是，要让学生将等分除理解为“求总数里面有几个几”并不容易，这是除法运算意义教学的难点。［2］如图1的题目，全班约25.6%的学生看图列式的答案为18÷3=5……3，这是因为他们混淆了每份数和份数，没弄清楚“除数3”究竟表示什么。

可见，学生未能很好地在用算式表示和实际理解的除法意义之间建立关系。那么，如何将除法的意义转化为可视化的操作行为，帮助学生具象化理解“份”呢？本文采用基于问题驱动，让理解可见化的深度操作学习模式［3］，从目标引领、学习任务和量规层次（将学生的行为、认知、态度与结果作为评价的标准）［4-5］三个维度设计表现性评价方案，依据浙教版教材二年级上册的安排，按照“除法的认识—倍的认识—带除除法的认识”的序列展开，在学生操作水平和除法意义的理解之间建立评价准则。

一、基于“份”的操作，设计表现性任务

（一）操作每份数，初步感知单位化

教师创设“装盒出售水果”的现实情境，让学生自主选择不同类型的水果盒，通过拿2个、3个小方块，在操作活动中建立单位量的具象。（如表1）

（二）经历等分除，建立单位化具象

教师引导学生交流多种等分的方法，经历调整分的操作过程，学会用数学语言表达一次分几个、分了几次也表示被除数里包含了几个几。像这样获得每份数的过程就是“单位化”的抽象过程。（如表2）

（三）比较倍关系，建立单位化表象

倍的认识源于比较。学生通过操作两个量，建立1份数和几份数之间的关系，学会用数学语言表达一个数是另一个数的几倍就是有这样的几份，形成倍的表象，抽象倍的概念。（如表3）

在实践操作的过程中，有的学生把9个方块看作1份，再摆3份，表示27是9的3倍；有的学生把3个方块看作1份，再摆3份，表示9是3的3倍；有的学生则把1个方块看作1份，再摆3份，直接表示它们的3倍关系。教师接着引导学生思考：“6是2的几倍，18是6的几倍”等可以用哪种摆法来表示？这种摆法还能表示哪些數之间的关系？逐步抽象用“每份数”度量“多份数”的过程。

（四）分出余数，运用单位化概念

学生通过参与有余分物的活动，经历均分后有剩余的过程，将抽象的数学规律转化为形象的语言表达，运用单位化概念，以数解形［6］，理解余数问题，发展单位化思想。（如表4）

二、基于“份”的操作，分析学生单位化水平

通过操作活动，能否提升学生对除法意义的理解与应用？学生操作水平的差异能反映出他们思维层次的高低吗？笔者选取两个水平相当的二年级班级作为实验对象，以表4中的学习任务的第2题为测试题进行对比实验。对照班进行常规教学后采用纸笔测试；实验班先让学生利用小方块开展操作活动，再采用纸笔测试。

（一）除法意义理解水平分析

为用除法意义解决问题的结果赋分，并进行独立样本T检验，结果如表5所示。

表5显示，实验班与对照班的前测均值分别为0.84分和0.93分，T值为-0.653，显著性P值>.05，说明实验班和对照班的前测数据不存在显著差异。实验班与对照班的后测均值分别为6.11分和4.30分，T值为3.822，显著性P值<0.05，说明实验班和对照班的后测数据存在显著差异。具体差异表现在对“等分”意义的理解和应用上（如图2），即经历再“等分一次”这一单位化水平的差异。

实验结果还表明，让学生经历操作活动，不但有利于他们理解除法意义，还能为进一步发展他们的单位化思想奠定基础。第（1）小题，实验班同时用包含和等分两种方法来解决问题的人数明显高于对照班。第（2）小题，说明“39÷5=6……9错在哪里”时，实验班学生能将等分的意义迁移到余数与除法的关系中，实施 “从9中取出5个再分一次” 的实践操作，并说明理由。而对照班学生基本没有出现将余下的9个再分一次的情况。

（二）单位化水平层次分析

笔者采用分析记录单、视频切片、访谈等形式还原学生的操作活动，对实验班学生的单位化水平作了进一步分析（如表6）。

访谈发现，如何根据已知信息将研究问题转化为操作行为，如何根据操作过程进行数学化表达，是基于“份”的操作活动中应重点关注的环节。

三、基于“份”的操作的教学思考与启示

在对比实验中，实验班学生基于实际问题的解决，利用可视化学具的操作活动理解“每份数”“份数”之间的关系，经历“几个一份”“一次分几个”这一单位化的操作过程，这有利于他们用数学语言表征“除法就是总数里包含了几个几”的本质。其中，调整均分的操作能有效帮助学生理解“等分”的意义。笔者对实验班第（2）题出错的15名学生进行访谈（如图3）：“图中的5表示什么意思？”除1名学生外，其他学生均回答平均分成5份，并能正确操作“从9中取出5个再分一次”的动作，将算式改写成39÷5=7……4。而对照班学生基本没有出现将余下的9个再分一次的情况。

类似地，小数、分数的除法运算也可以基于单位化操作，其运算意义的本质都是可以从单位化角度理解算理［8］。所以在后续学习中，还可以继续开展基于“份”的操作活动，让学生通过操作“小数块”“分数块”，理解以“小数”“分数”为单位来度量总数（如图4），或以“多份数”为单位来度量“1份数”，如“1”是“3”的[13]等，进一步发展单位化思想，提升以单位化的方式认识世界的能力。

参考文献：

［1］刘加霞，孙海燕.单位思想视角下小学数学内容本质与结构［J］.湖北教育（教育教学），2021（12）：30-32.

［2］朱国荣.把握运算的整体性与一致性：以“除法运算的意义和算法”教学为例［J］.小学教学（数学版），2022（7/8）：71-75.

［3］张君霞.深度操作，提升高阶思维能力：《分数基本性质》教学实验研究［J］.教学月刊·小学版（数学），2021（1/2）：94-97.

［4］周文叶.表现性评价：指向深度学习［J］.教育测量与评价，2018（7）：1.

［5］钟志贤，王觅，林安琪.量规：一种现代教学评价的方法［J］.中国远程教育，2007（10）：43-46.

［6］吕立峰.以数解形，让数形结合思想更加丰满：以人教版教材六年级上册《数与形》为例［J］.教学月刊·小学版（数学），2022（10）：32-36.

［7］李经宇.余数在小学除法体系中存在的必要性［J］.中小学数学（小学版），2022（1/2）：69-70.

［8］刘加霞，孙海燕.单位化思想视角下的除法运算本质与教学建议［J］.教学与管理，2021（26）：56-58.

（浙江省杭州市胜利小学）