一道运动学竞赛题的多种解法探究

李彦琦 王智秀 白雪 郑勤红

摘 要：以第37届全国中学生物理竞赛预赛第12题为例，分析题目的考查点，展示题目原解，依据不同物理原理和方法求解该竞赛题，帮助学生学习领会同一问题分别运用牛顿运动定律、图像法、动能定理、动量定理进行求解的思路和方法，培养和提高学生解决问题的能力，培养学生的科学思维。

关键词：图像法；动能定理；动量定理

Research on Multiple Solutions to A Kinematics Competition Problem

—Taking the 12th Question of the Preliminary Round

of the 37th National High School Physics Competition as an Example

Li Yanqi Wang Zhixiu Bai Xue Zheng Qinhong

College of Physics and Electronic Information，Yunnan Normal University YunnanKunming 650500

Abstract：Taking the 12th question of the 37th National Physics Competition for Middle School Students as an example，this study analyzes the examination points of the question，displays the original solution of the question，solves the competition question based on different physics principles and methods，helps students learn and understand the ideas and methods of using Newton's laws of motion，image method，kinetic energy theorem，and momentum theorem to solve the same problem，cultivates and improves students' problemsolving ability，and cultivates their scientific thinking.

Keywords：image method;Kinetic energy theorem;Momentum theorem

1 原题

潜艇从海水高密度区域驶入低密度区域，浮力顿减，潜艇如同汽车那样掉下悬崖，称之为“掉深”，曾有一些潜艇因此沉沒。某潜艇总质量为3×103t，在高密度海水区域水下200m沿水平方向缓慢潜航，如图1所示。当该潜艇驶入海水低密度区域时，浮力突然降为2.4×107N；10s后，潜艇官兵迅速对潜艇减重（排水），此后潜艇以1.0m/s2的加速度匀减速下沉，速度减为零后开始上浮，到水下200m处时立即对潜艇加重（加水），使其缓慢匀减速上浮，升到水面时速度恰好为零。取重力加速度为10m/s2，不计潜艇加重和减重的时间和水的黏滞阻力。求：（1）潜艇“掉深”达到的最大深度（自海平面算起）；（2）潜艇为阻止“掉深”减重后的质量以及升到水面时的质量［1］。

2 试题分析

本题考查学生对于牛顿第二定律和运动学公式的掌握情况，准确地选择和使用相关公式解决问题是解决该题的关键。根据题意可知，潜艇从水下200m的深度“掉深”后，通过改变自身质量的方法最后实现到达水面时速度为零，整个运动过程并不是一个简单的匀变速直线运动过程，而是多段匀变速直线运动的组合，过程清晰、列式准确就可以解决这道题。

3 答案解析

（1）由牛顿第二定律，潜艇刚“掉深”时加速度a1满足：

m0g－F=m0a1（1）

式中，按题给数据，此时潜艇所受浮力F=2.4×107N。解得a1=2m/s2，方向竖直向下“掉深”历时t1=10s时，潜艇下落高度为：

h1=12a1t12=100（m）（2）

潜艇速度为：

v1=a1t1=20m/s（3）

减重后，潜艇以加速度a2=1m/s匀减速下落，直至其速度为零，潜艇下落的距离为：

h2=v122a2=200（m）（4）

潜艇“掉深”达到的最大深度为：

h=h0+h1+h2=500（m）（5）

（2）潜艇在减重后减速下降过程中，由牛顿第二定律有：

F－m1g=m1a2（6）

解得m1≈2.2×106（kg）。

设潜艇从水面下200m处升到水面的过程中加速度为a3，按运动学公式有：

v2h－h0=2a2（h1+h2）=2a3h0（7）

解得a3=1.5m/s2，方向竖直向下。

在潜艇从水面下200m处升到水面的过程中，由牛顿第二定律有

m2g－F=m2a3（8）

解得m2≈2.8×106（kg）。

参考答案给出的解题思路是将潜艇从开始下沉到浮出水面的整个运动过程分解成几段简单的匀变速直线运动，再运用相关公式进行计算，得到题目要求的各物理量。该解法符合学生的基本认知，是大多数同学会采用的方法。考虑到该题过程较多，还可以采用图像法、运用动能定理、动量定理来解决问题。

4 其他解法探究

4.1 利用图像法求解总位移和相关质量

图像法是更加直观地解决运动学问题的方法［2］。通过构建运动图像，利用图像面积和斜率所代表的物理意义可非常简单地求解相关物理量，尤其是v－t图像法，是中学生熟悉的方法。

（1）由牛顿第二定律，潜艇刚“掉深”时，加速度a1满足：

m0g－F=m0a1（9）

潜艇所受浮力F=2.4×107N，解得a1=2m/s2（方向竖直向下）。

假设加速度方向向上为正方向，则潜艇从刚“掉深”到速度为零所对应的a－t图像和v－t图像如图2所示。

由图1（a）和图1（b）的图像面积，可求得速度和位移分别为：

面积S1=OA×AB=v1=20（m/s）（10）

面积S2=12HJ×JI=h1=100（m）（11）

潜艇从速度v1减速到0的过程中，加速度a2=1m/s2（方向向上），即图1（b）中线段IK斜率k1=1。

面积S3=12JI×JK=h2=200（m）（12）

潜艇“掉深”的总深度为：

h=h0+h1+h2=500（m）（13）

（2）潜艇在减重后减速下降过程中，由牛顿第二定律得：

F－m1g=m1a2（14）

解得m1≈2.2×106（kg）。

画出“潜艇”完整的v－t图像，如图3所示。

潜艇减速到零，在浮力作用下向上加速，上升到距离水面200m的深度（回到最初的深度），此过程中加速度不变，即MN段斜率仍为1。

面积S4=S2+S3=12MO×ON=300（m）（15）

MO=ON=10 6（16）

解得Δt1=10 6s，Δv1=10 6m/s，

面积S5=12ON×OP=200（m）（17）

解得OP=20 63，

线段NP的斜率k2=ONPO=－1.5，即物体运动的加速度a3=－1.5m/s2，由牛顿第二定律得：

m2g－F=m2a3（18）

解得m2≈2.8×106（kg）。

4.2 运用动能定理求解总位移和相关质量

对于高中物理来说，如果遇到相对复杂的问题时，就会使用动能定理来解答多个物体之间相互作用的问题［3］。这样可以避开物体复杂的运动过程，将分析重点落在运动物体的初、末状态，以此来简化整个过程，从某种角度来讲这是一种将多个不同的运动过程进行“累加（求和）”的思想。基于这种思想，可以利用比值的方法来求不同的运动过程物理量之间的比值关系。

（1）潜艇向下运动的过程分为两个匀变速直线运动过程，分别对每一段列动能定理方程设加速度方向向下为正，

（m0g－F）h1=12m0v12（19）

（m1g－F）h2=－12m1v22（20）

v1=v2（21）

h1h2=－m0（m1g－F）m1（m0g－F）（22）

由牛頓第二定律得：

m0g－F=m0a1（23）

解得a1=2m/s2

h1=12a1t12=100（m）（24）

m1g－F=－m1a2（25）

由题可知a2=1m/s2，方向向上，代入（25）式得m1≈2.2×106（kg），

h1h2=12（26）

h2=2h1=200（m）（27）

h=h0+h1+h2=500（m）（28）

（2）潜艇从最深处上升到距水面200m处的速度，

v32=2a2（h1+h2）（29）

解得v3=10 6m/s。

潜艇从200m上升到水面的运动过程列动能定理：

（F－m2g）h0=－12m2v32（30）

解得m2≈2.8×106（kg）。

4.3 运用动量定理求解总位移和相关质量

面对复杂的受力情况及变力做功问题时，一般优先考虑用能量或动量观点，因为其求解过程往往比用动力学方法更简捷［4］。根据动量定理公式推导计算出与所求物理量有关的各物理量即可。

（1）将潜艇向下运动到最大深度的过程分为两段运动过程，分别对每一段列动量定理方程，

（m0g－F）t1=m0v1（31）

题中给出t1=10s，代入（34）式得：

v1=（m0g－F）t1m0=20m/s（32）

潜艇减重后列动量定理方程：

（m1g－F）t2=－m1v2（33）

t2=m1v2m1g－F（34）

根据牛顿第二定律：

m1g－F=－m1a2（35）

由题可知a2=1m/s2，方向向上，代入（35）式得m1≈2.2×106（kg），

v1=v2（36）

将各数据代入（34）式得t2=20s，

h1=v12t1=100（m）（37）

h2=v22t2=200（m）（38）

h=h0+h1+h2=500（m）（39）

（2）从最深处升到距离水面200m的过程中，

h1+h2=12a2t32（40）

解得t3=10 6s，此時对应潜艇速度

v3=a2t3=10 6m/s（41）

从水深200m上升到水面的过程中：

h0=v32t4（42）

（m2g－F）t4=－m2v3（43）

解得m2≈2.8×106（kg）。

5 小结

对比分析各种解题方法可以发现，运用图像法、动能定理和动量定理解题时，需要利用不同的运动学公式，需要根据所用方法使用相应的公式简化计算过程。因此，要求学生对运动学相关公式的掌握非常准确且熟练。本文所选例题既体现了当下试题侧重在实际情景中运用物理知识解决问题的趋势，又体现了以多种方法、多个角度来解决复杂过程物理问题的思路，有助于学生拓展解题思路，培养科学思维。

参考文献：

［1］第37届全国中学生物理竞赛预赛试题.

［2］陈卫国.图像法解一类“子弹打木块”模型［J］.物理教师，2021，42（08）：6669.

［3］章启贤.在动量定理解题中微元法的巧妙应用［J］.中学物理教学参考，2020，49（12）：7173.

［4］袁刚.高中物理问题中动能定理的效用［J］.考试周刊，2018（A0）：164.

基金项目：教育部教师队伍建设示范项目“4+2卓越中学教师培养模式”（编号：06156PY）

作者简介：李彦琦（1998— ），女，汉族，甘肃白银人，硕士研究生，研究方向：物理学科教学研究。

*通讯作者：郑勤红（1962— ），男，博士，教授，博士生导师，主要从事物理教学、计算物理等研究。