中学数学课堂中数学素养与思维能力的培养

【摘 要】 从数学教育的目标、价值与功能分析数学课堂如何提升学生的数学素养与数学思维能力；阐述了课堂教学如何围绕问题展开，在发现问题的过程中培养数学直觉能力，在分析问题的过程中培养数学思辨能力，在解决问题的过程中培养逻辑演绎与计算能力；以勾股定理为案例说明课堂教学中如何实现问题驱动的课堂教学理念.

【关键词】 数学直觉;数学思辨;逻辑演绎;核心素养

随着教育改革的进一步深化，对课堂教学与考试都提出了新的要求，不仅考试的课程结构发生了变化，考试的内容也发生了变化.例如新高考对学生的数学思维能力提出了更高的要求，仅仅靠刷题、练熟练度已经很难适应新的高考模式了.

考試面向的不仅是学生，更是对教师日常教学的检验，教师在课堂教学中教给了学生什么，或多或少在考试中能够体现出来.检验学生数学思维能力的有效手段是什么？毫无疑问，是解决问题的能力，这个能力并非通常意义上的逻辑推理与计算能力，而是分析问题与解决问题的能力.分析问题与解决问题能力的要素不仅仅包括逻辑演绎与计算，还包括更多.本文试图从数学教育的目标、价值与功能等角度阐述中学数学教学中数学素养与数学思维能力培养的重要性.

1 数学教育的目标、价值与功能

教育目标是指教育应达到的标准，目标依据培养人的方向和需要有高有低.教育目标有多种分类方法，美国著名心理学者布鲁姆将教育目标分为三个领域，分别为认知领域、情感领域和动作技能领域 [1] .

所谓教育价值是指教育对于人和社会的意义或作用.它既具有工具意义上的价值，也具有其内在的价值.所谓工具性价值指通过教育可以达到的价值，其自身并不直接满足主体的需要，需要通过其他价值的实现才能得到体现.所谓内在的价值指教育本身固有的价值.关于教育价值也有很多种分类方法，每种分类方法都有其合理性，这里不准备详细展开讨论.从教育的结果看，教育的根本价值体现在两个方面：一是传播知识，掌握一定的技能；二是教人思考，具备独立思维能力.

教育功能是指教育活动与系统对个体发展和社会发展产生的作用与影响，分为社会功能和个体功能两个大的方面.

教育目标、价值与功能密切相关，教育价值涉及培养什么人的问题，教育功能是教育客观存在的内在属性，满足特定社会所需的教育功能对于特定的群体便是有教育价值的，从这个意义上说，教育价值决定了教育功能的选择.教育需要培养什么样的人，决定了教育的目标，教育目标则决定了教育的价值取向.由此可见，教育目标决定了教育价值，教育价值决定了教育功能，教育功能决定了教育的品质.

数学教育的目标、价值与功能是什么？这是首先需要清楚的问题，只有清楚了这些问题才有可能探索实现数学教育目标与价值的有效途径.

1.1 数学教育的目标

教育部课程标准对九年制义务教育三个学段所要达到的教育目标是有所区别的.限于篇幅，这里不拟详细介绍三个不同学段的具体目标.简而言之，三个学段的目标分别从知识技能、数学思考、问题解决以及情感态度四个方面做了详细阐述.高中阶段在九年制义务教育目标基础上对数学素养的提升有了新的要求，具体地说，即六大核心素养.

我们的教育目标经过了“双基”“三维目标”到“核心素养”的演变.从课程标准的要求看，“核心素养”的提出从单纯的强调学科知识的“双基”模式转变成知识、能力与素养的综合发展，更加强调对学生思考能力、解决问题能力与创新能力的培养.新课程标准更加符合新时代社会主义现代化建设对人才培养的要求.

1.2 数学教育的价值

教育分启蒙与启智两个阶段，启蒙又叫开蒙，指的是“开发昏昧无知的心智，使明白事理、掌握知识”.

启智与启蒙并非很多人认为的同义词，他们有着本质的不同.启蒙如同“垦荒”，是去除愚昧，启智则是开发智力，教人学会思考，使其具有独立的思想与独立的判断能力.数学的教育价值包括工具价值（解决问题的方法）、认识与思维价值（对事物的认知能力与思考辨析能力）、实践价值（数学应用能力）、美学价值（数学的鉴赏与审美能力）以及德育价值（形成正确的科学观与世界观）.就数学教育而言，实现教育的价值涉及教什么与怎么教的问题.是教知识还是教思维？教理论还是教应用？学界对前者的认识趋于一致，但对后者的认识并不统一.徐利治先生在一次访谈中说道：“教材要力求‘纯.现在我看解放后的书，我翻一翻，杂质太多.理论联系应用是对的.但是很多应用题联系到社会生活、工厂车间的实际，联系到股票市场.那专门的名词要弄懂以后才能做数学题目.为了做这个题目，就要去了解那些与数学无关的东西.那些东西我觉得放在教材中就变成数学教材的杂质.杂质多有什么坏处呢？分散精力，分散注意力.我听说中学老师对那些名词都弄不明白，要解释半天.这种联系实际是让学生学经济科学呢，还是学生产实际呢？所以不应该有杂质.我们以前学的数学，大代数也好，平面几何也好，没有杂质.所以，第一要纯，让青少年学很纯的数学.有的人说数学枯燥无味，其实不见得，数学本身是优美的.几何形式、对称性、统一性、普遍性.杂质太多，把数学美都冲淡了、瓦解了、分散掉了.不应该让青少年在数学学科里分散注意去搞那么一堆与数学无关的名词、概念.” [2] 徐先生的意思是中学阶段最好纯粹一点，不一定强调生活化，我们姑且把徐利治先生的中学数学教育观称之为”数学化”的数学教育观.这里的“数学化”指的是数学教育的出发点，是教育理念层面上的，与弗赖登塔尔认知层面上的“数学化”是不同的概念.

另一种观点认为，数学教育应该在解决实际问题的过程中完成数学知识体系的建构.弗莱登塔尔认为：“应该在数学与现实的接触点之间寻找联系.” [3] 或许很多人误解了弗莱登塔尔的观点，他还有另一句话：“数学教育要结合学生的数学现实与生活体验.”寻找数学与现实的接触点无疑是正确的，在恰当的现实情境中建立数学模型，在分析问题的过程中寻找到解决问题的方法，这对于提高学生分析问题、解决问题的能力是有帮助的.但情境应该浑然天成，让人感觉真实可信，不能人为生造一个情境.恰当的情境或来自现实生活，或来自自然科学与社会科学，亦或来自数学，不一定非现实不情境.此外，情境的创设要体现数学建模的思想，需要学生透过情境发现数学，寻找情境中蕴含的数学关系，而非直接告知学生现成的数学，那样就失去了情境的真正意义与价值.

学习数学如同修习武功，需要先练好体能，具备学习武功招式的基本功.没有扎实的基本功，练出来的必然是花拳绣腿，有些招式还可能无法做到位.基本功可以保证有足够的体能完成武功的修习，武功招式除了强身健体，还可以用来搏击.数学的基本功是什么？数学的招式又是什么？基础教育阶段是练基本功还是基本功与招式并举？这是值得教师细细品味的问题.

1.3 数学教育的功能

数学教育功能是达成数学教育目标的保证，通过数学教育功能体现数学教育的价值，进而达到数学教育的目标.数学教育功能涵盖很多方面，不同的教育功能体现了不同的教育价值.

数学是一门完整的知识系统，包括数学问题、数学知识、数学思想与方法，这些知识纵横交错互相联系，构成了一个复杂的网络结构.数学的这一特征决定了教师需要从整体上去认识和把握教材内容，并努力让学生掌握数学各知识点的内在联系，掌握其思想方法，养成全局观，形成整体意识.

逻辑推理是数学基本的论证工具，贯穿于数学的整个知识系统.数学中的逻辑推理包括演绎推理、归纳推理、类比推理以及辩证逻辑推理，这些推理适用于不同的数学问题.数学是严谨的，这种严谨性正是通过特定的逻辑结构来体现的，逻辑推理是有条理地分析事物来龙去脉的必要手段，没有特定的逻辑系统作为基础，很难想象如何建立一门数学理论.即使自然科学、社会科学以及现实生活也需要按照合适的逻辑进行思考，否则对研究与思考的问题将一筹莫展，纠缠于一些纷乱复杂的表象中，辨别不清事物的本质与发展规律.数学是培养学生逻辑思维能力的重要载体，通过数学学习，可以让学生懂得尊重客观规律、服从真理，养成实事求是的科学态度，形成良好的个性品质.

数学是抽象的，这种抽象性决定了数学的普适性与应用的广泛性.数学是反映现实世界中各种数量关系与空间结构的模型，这种模型反映的不是某个特定现象的数量关系或结构，而是某一类现象的客观规律.这就决定了数学模型的解决不仅可以解决由某个现实问题抽象出来的问题，还可能解决更广泛的实际问题.培养数学抽象思维的重要方法是引导学生掌握由特殊到一般、由具体到抽象的概括能力以及透过现象看本质的能力，并能将抽象的理论应用到具体的问题.数学的这种抽象性可以让学生的思维更有深度，更具有概括性，解决的问题更具有广泛性.

众所周知，解决数学问题的常用方法是转化，一个复杂的問题可以转化为简单问题或若干简单问题形成的问题链，也可以把一个不规则问题转化为规则问题.这种转化的思想可以让学生的思维变得更具有灵活性，增强复杂环境下的应变能力，数学的这一重要思想方法对于培养学生处理复杂问题的能力无疑是有帮助的.

数学追求简洁与优美，无论是数学概念还是定理与公式都充分展现了数学的这一典型特征.如何从纷繁复杂的现象中寻找共性特征从而提炼出数学概念？如何从一些特殊结论中发现一般规律从而发现一个定理？如何在逻辑演绎与计算的基础上发现不同量之间的内在关系从而建立一个数学公式？要解决这些问题需要学生具有敏锐的洞察力与数学直觉能力，并在发现规律的基础上将结果最优化，形成数学上简洁优美的概念、定理或公式.这是培养学生优化意识的重要教育功能.2 实现数学教育目标的有效途径

数学课程标准将六大核心素养作为数学教育的目标，它包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.数学素养是一个整体概念，其各个方面相辅相成，很难严格将其区分开来.如何在操作层面上促进数学核心素养的形成与提升，这是一线教师面临的一个大问题.如前所述，教师需要解决两个基本问题：教什么？怎么教？

2.1 数学课堂的核心与灵魂

教学需要面对教材、知识与课堂三个方面.教材是知识的载体，教师在课堂上的任务是什么？也许很多人认为，数学课堂自然是传播数学知识.传播数学知识固然是数学课堂应有之意，但这仅仅是数学课堂教学的一个方面，甚至不是最重要的方面.因为知识并非教育的终极目标.怀特海说：“把学校学到的知识忘掉，剩下的那一部分才是教育.” [4] 据说爱因斯坦在一次演讲中引用了怀特海的这句话，以至于有人误以为这句话出自爱因斯坦.知识忘掉了，还剩下什么？这可能有些令人困惑.要回答这个问题，首先要清楚课堂教学除了传播知识，还需要做什么.

要解决数学课堂需要做什么的问题，首先需要清楚知识对于课堂是不是终极目标的问题.学习知识的目的是什么？自然是解决问题，特定的知识面对的可能是不同的问题，或者是从特定的角度考察某些问题.任何学科无一例外地都是因为问题而生，因为问题而发展，正如希尔伯特所说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡.”G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要.”哈尔莫斯也曾说过：“问题是数学的心脏.”由此可见问题对于数学的重要性.

数学课堂自然也离不开问题，问题是数学的心脏，也是数学课堂的核心.这个核心对于数学课堂的重要性体现在哪里，它正是数学课堂传播数学知识之外的另一项重要任务，这就是数学思想的传授.换言之，数学教师的任务不仅仅是传播数学知识，还需要传授数学思想.数学知识是显性的，数学思想是隐性的，教师的任务是透过数学知识的表象深入挖掘隐藏在知识背后的思想.关键问题是如何挖掘，这就需要教师搞清楚教材、课堂、知识及思想等各要素之间的关系.

既然问题是课堂的核心，它在课堂教学中发挥了何种作用？如果不清楚这个问题，就无法理解为什么问题是课堂的核心.知识不是教育的终极目标，它本身也是一种载体，承载着丰富的数学思想，但这种思想是蕴藏于知识内部的，要将这种内蕴的思想展现出来，需要在知识与思想之间架设一座桥梁，这座桥梁就是问题.一节高水准的数学课应该围绕着问题展开，通过问题提出、问题分析、问题解决等环节完成数学知识体系的建构.正是在分析问题、解决问题的过程中展现数学火热的思考，散发出数学思想的光芒.如果说问题是数学课堂的核心，那么数学思想则是数学课堂的灵魂，如果一节数学课不能引导学生体验数学思想的魅力，这节课便如同行尸走肉般失去了灵魂.

问题在知识与思想之间是如何发挥桥梁作用的？这就需要考察问题在数学课堂教学中如何体现数学的教育功能.核心素养的本质无非是培养学生三个方面的能力：直觉能力、思辨能力与演绎能力，这里的演绎既包括运算演绎也包括计算演绎.这三种能力如何通过问题来得到提升？数学思想的光芒又是如何散发出来的？这就需要分析问题的价值与意义.如果说传授数学思想属于教什么的问题，那么如何通过问题提升数学素养与数学思维能力则是怎么教的问题.

面向问题的课堂教学需要经历三个环节：问题提出、问题分析、问题解决.这三个环节的教育价值不尽相同，提出问题的过程是培养数学直觉的过程，教师通过创设合适的情境，将问题嵌入到情境中形成问题情境，引导学生对情境进行深入分析，直观感知其中所存在的数学问题，这种直观感知便是数学直觉.数学直觉通常需要学生充分发挥想象力，正如德摩所说：“数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥.”爱因斯坦也说过：“想象比知识更重要.”数学的想象力是数学直觉的基础与源泉.卢卡斯说：“多数的数学创造是直觉的结果，对事实多少有点儿直接的知觉或快速的理解，而与任何冗长的或形式的推理过程无关.”由此可见，直觉对于数学创造有多么重要.提出问题既涉及直观想象也有可能涉及数学建模，还可能涉及数据的初步分析以及数学抽象化过程.

学生的思维能力与数学素养是在分析问题的过程中逐步提升的.在明确了问题之后，对问题的分析过程则是个思辨过程，思辨是数学研究与学习永恒的主题，到任何时候都不会过时，问题的最终解决需要思辨提供思路，数学思想正是在分析问题的思辨过程中展现出来的.分析问题的过程既是“将数学冰冷的美丽转化为对数学火热的思考” [3] 过程，也是大胆猜测的过程.这个过程中通过对问题的分析抓住问题的本质，寻找到解决问题的初步方案与思路.虽然这个过程并非严格的解决问题过程，但也可能涉及初步的逻辑演绎与数学计算.

问题解决的过程是锤炼逻辑演绎能力与计算能力的过程.在分析清楚问题的数学本质并找到解决问题的初步方案后，需要经过严谨的逻辑演绎或计算来验证解决问题的方案是否可行，这是训练学生基本功必不可少的环节.如果把问题分析比喻成驱动数学思维向前发展的发动机，那么逻辑演绎与计算则是机器的润滑剂，没有一定的逻辑演绎能力与计算能力，再好的解决方案也会让你寸步难行.问题解决过程也是建构知识体系的过程，在问题分析的基础上发现数学概念与数学定理或公式，通过合适的方法检验概念的合理性与定理或公式的正确性，在检验过程中不断纠偏，寻找正确的解决问题的方向，最终完成相应知识系统的建构.

2.2 由勾股定理看问题在教学中的重要性

综上所述，驱动课堂教学的动力是问题，一节成功的数学课首先要明确解决什么问题，阐明问题的重要性，然后才是情境的创设，并将问题巧妙地嵌入到情境中.这里不妨以勾股定理的教学为例，说明问题的重要性以及如何通过问题引领课堂教学.

传统的勾股定理教学通常以两种方式引入，一种是从毕达哥拉斯的故事开始，另一种是从赵爽弦图作为切入点.但这两种方法都没有揭示出勾股定理需要解決的问题是什么，更没有阐述清楚这个问题的重要性以及勾股定理所蕴含的思想方法.

从数学的角度看，勾股定理是为了解特殊三角形——直角三角形.此前学生已经修习了全等三角形，清楚全等三角形的判定定理.教学的可行方案之一是开门见山揭示如何求解直角三角形，通过全等三角形的判定定理可知：如果已知直角三角形的两条边的边长或者已知一条边的边长及一个锐角，这个直角三角形是唯一确定的，理论上就是可解的.两种情形下得到的分别是勾股定理与锐角正弦比概念.

创设一个生活化的情境作为勾股定理的切入点，例如，可以创设图1所示的生活化情境（图片来自网络）：

一架2.5米梯子AB，斜靠在一竖直的墙上OA上，这时梯足B到墙底端O的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足外移多少米？

类似的生活化情境可以有很多.这里要强调的问题是：

（1）勾股定理蕴藏了什么科学问题？

（2）勾股定理体现了什么思想方法？

勾股定理解决的问题并不复杂，即解特殊的直角三角形.它反映的是什么科学问题？我国西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度.”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五.”即我们常说的勾三股四弦五.这段话便蕴藏着勾股定理所要解决的科学问题：计算不可测之量.

从勾股定理的众多证明可以看出，无一不是与面积有关，换言之，勾股定理的证明展现了化长度为面积的思想方法.具体到课堂，如何引导学生去发现勾股定理而不是直接告知学生赵爽弦图？这里不妨提供一种方案以资参考.既然问题已经清楚了，不妨从问题的分析开始.

问题1 设AB的长为a，BC的长为b，AC的长唯一确定吗？如果唯一确定，它是多少？如

第一问不难回答，但第二问涉及问题的本质，教师不宜直接让学生从赵爽弦图中发现证明，而应该引导学生自主发现求AC长度的方法.既然三角形两边的长度已知，最自然的思路是通过面积将斜边与两个直角边联系起来.然而，斜边上的高也是未知的，为了寻找合适的方法，不妨先从特殊的直角三角形开始，即等腰直角三角形，如图3. 图4

如果在斜边上作三角形的高，假设AB=c，则由AC=CB=a及CD=AD=12AB，知

△ABC的面积： S △ABC =12 a2 =12c·12c=14 c2 ，故

c2 = 2a2 ，如图4.图5

问题2 如何从几何上实现上述等式？

学生很容易观察发现 c2 是以三角形斜边为边的正方形面积， a2 是以直角边为边的正方形面积，这样自然建立了等腰直角三角形斜边为边的正方形与直角边为边的正方形面积之间的关系，如图5.

从这个图形不难发现，斜边为边的正方形由四个已知的等腰直角三角形构成，这个发现是发现解一般直角三角形思路的关键.

问题3 问题2对于解一般的直角三角形带来何种启示？

通过对问题2的分析，学生不难想到如何尝试解一般直角三角形的方法，即利用四个已知的直角三角形拼凑，这时可以充分调动学生的主观能动性，让学生自行探究拼凑的方法，例如，下面的两种拼凑方法并不难想到，如图6.

事实上，曾经有学生独立拼凑出了上述图形，通过两幅图面积的比较不难发现勾股定理，甚至不需要进行文字证明.

赵爽弦图也是由四个已知直角三角形拼凑而成，但要从赵爽弦图中发现勾股定理还需要运用代数公式进行计算，不如上述两幅图更加直接.

上述三个问题分别揭示了勾股定理的意义，发现证明的基本思想方法以及最终的解决途径.课堂教学也可以从生活情境出发，比上述方案多了一个将实际问题数学化的过程.教师可以根据需要选择是否从生活化情境出发.

参考文献

[1]安德森，克拉思沃尔，艾拉沙恩，等.布卢姆教育目标分类学（修订版）[M].北京：外语教学与研究出版社，2018.

[2]徐利治.谈谈我青少年时代学习数学的一些经历和感想[J].数学通报，2007（12）：1-5.

[3]弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.

[4]阿尔弗雷德·诺斯·怀特海.教育的目的[M].张亚琴，鲁非凡，译.太原：山西教育出版社，2022.

作者简介 曹广福（1960—），男，教授，博士生导师;首届国家高等学校教学名师奖获得者，入选第二批国家特殊人才支持计划领军人才教学名师;主要从事数学研究与数学教育研究.