攫取本质，方能关联一切

【摘 要】 问题解决需要有关联的视角，关联一道题的多种解法寻觅其一致性，关联一类题的相同解法寻找其通性通法，再基于一致性与通性通法追本溯源攫取本质.轴对称的本质是对称轴上任意一点到对称点的距离相等，基于这一本质解决问题，建构知识体系，培养结构化思维，提升直观想象与逻辑推理的能力.

【关键词】 角平分线；轴对称；本质；关联

1 提出问题

轴对称的本质是什么？回到轴对称的定义——把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（Symmetric Points）.改变对称轴，两个图形仍旧重合.全等是基于重合所得，与变换要素对称轴没有关系，因此全等不是轴对称的本质.

如何作对称轴？比如，作角的对称轴，先作一对对称点，再作一个到对称点距离相等的点，连接角的顶点与这个点即可得到对称轴.其本质就是先构造对称点，再构造到对称点距离相等的两点，这两点都在对称轴上，根据两点确定一条直线得到对称轴.

如何作一个图形的轴对称图形？作軸对称图形皆可化归作对称点，如何作对称点？方法如下：

三种方法均充分体现了对称轴上任意一点到对称点的距离相等，这就是轴对称的本质.因此，轴对称图形需作出对称轴，才能体现轴对称的本质，同时对称轴只有构造出对称点才有价值.下面基于本质解决系列问题. 图1

2 解决问题

问题1 如图1，OC平分∠AOB，∠OAC＋∠CBO＝180°.求证：AC＝BC.

分析条件

条件关联的方向

角平分线

直接应用两角相等

构造轴对称图形（轴对称），

构造对称点得轴对称图形

间接应用，将等角转化，

即用平行、旋转或弧进行转化等角关系

将两个等角关系转化成新的等角关系，构成新的轴对称图形

∠OAC＋∠CBO＝180°

图中互补角

等角的补角相等、四点共圆

等角、等弧、等圆心角

分析问题

证明两条线段相等的方法：全等、等角对等边、等弧或等圆心角所对的弦相等.

证明两条线段相等的策略：直接证明或间接证明（等量代换）.

思路方法

方法一：如图2，构造OA′＝OA→△AOC≌△A′OC→AC＝A′C，BC＝A′C→AC＝BC.

方法二：如图2，构造OB′＝OB→△BOC≌△B′OC→BC＝B′C，AC＝B′C→AC＝BC.

方法三：如图2，构造CH⊥OA、CH′⊥OB→CH＝CH′→△ACH≌△BCH′→AC＝BC.方法四：如图2，构造CD＝OC→等腰三角形△COD→△OAC≌△DBC→AC＝BC.

方法五：如图3，构造四边形AOBC的外接圆→∠APC＝∠BPC→AC＝BC.

反思提炼

首先，角平分线是什么？角平分线所在的直线是角的对称轴，有对称轴就要构造对称点，得到轴对称图形，再基于轴对称的性质解决问题.其次，如何证明两条线段相等？把两条线段分别放在一对全等三角形中，利用全等三角形对应边相等；放在一个三角形中，利用等角对等边；放在一个圆中，通过等圆心角或等弧证等弦.最后，再思考是否可以直接证明，若不能，应进行等量代换.角的关系如何转化为边的关系？通过本题可以利用轴对称全等将等角关系转化为等边关系，或将两个等角转化成新的等角关系，比如通过旋转得到等腰三角形、通过平行转角得到等腰三角形、通过等弧转角得到等圆心角. 图4

问题2 如图4，已知点A，B，C，D在⊙O上，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，AB＝3，AC＝5.求AD的长度.

分析条件

（1）AD平分∠BAC→∠BAD＝∠CAD→∠BOD＝∠COD→BD＝CD；

（2）四边形ABDC是⊙O的内接四边形→∠ABD＋∠ACD＝180°→问题1→BD＝CD；

（3）△ABC确定→BC确定、⊙O半径确定、△ABD、△ADC确定.

分析问题

如何求弦长？将AD放在一个确定的三角形中，即此三角形可解.特殊的方法就是将AD放在一个直角三角形中，这个直角三角形可解.

思路方法

方法一：如图5，构造AB′＝AB→△ABD≌△AB′D→等腰△DB′C→作DH⊥AC于点H，AH＝AB＋AC[]2＝4→AD＝AH[]cos∠DAH＝4[]cos30°＝83[]3[SX）].

方法二：如图6，构造AC′＝AC→△ADC′≌△ADC→等腰△DBC′→作DH⊥AC′于点H，AH＝4→AD＝83[]3[SX）].

方法三：如图7，构造DH⊥AC，DH′⊥AB→△ADH≌△ADH′→CH＝1→AH＝4→AD＝83[]3[SX）].方法四：如图8，构造CE＝AB→△ABD≌△ECD→等腰△ADE→作DH⊥AC于点H，AH＝4→AD＝83[]3[SX）].

方法五：如图9，连接BC，OD得OD⊥BC→△ABC确定→BC确定→CE确定→DC确定→△ADC确定.

反思提炼

如何回归源头、迁移经验？本问题的解决关键在于回归源头，思考角平分线的本质，基于等角直接构造轴对称图形或间接构造轴对称图形，与问题1如出一辙，圆周角角平分线价值何在？基于弧进行转化，圆周角角平分线可得等弧、等圆心角、等弦，进而构造出垂径定理的基本图形.如何求弦长？首先把弦放在三角形中，利用勾股定理、相似、面积等方法解三角形，如果不可解，就要让三角形与其它确定的三角形建立相似的关系.

问题3 如图10，已知点A，B，C，D在⊙O上，AC为直径，AD平分∠BAC，AB＝3，AC＝5.求AD的长度.

分析条件

1.角平分线——直接构造轴对称图形；转化等角构造轴对称图形，如等腰三角形.

2.⊙O的直径AC=5→⊙O为定圆、AB=3→∠BAC确定、圆心O到AB的距离确定、BC的长确定、∠ABC＝90°→∠BAD，∠CAD，∠CBD，∠BCD确定→△BCD确定→DC确定→AD确定.

分析问题

将线段AD放在一个直角三角形中，且这个直角三角形要有两个元素确定，至少有一边.

思路方法

方法一：如图11，构造AB′＝AB→△ABD≌△AB′D→等腰△DB′C→作DH⊥AC于点H，CH＝B′H＝1，AH＝4→DH＝2→AD＝25.

方法二：如图12，延长CD，AB相交于点C′→等腰△ACC′→AC′＝AC＝5，BC′＝2→

CC′＝25→DC＝5→AD＝25.

方法三：如图13，构造DH⊥AC，DH′⊥AB→△ADH≌△ADH′→CH＝1，AH＝4→DH＝2→AD＝25.

方法四：如图14，构造CE＝AB→△ABD≌△ECD→AE＝AC＋CE＝8→作DH⊥AC于点H，CH＝1，AH＝4→DH＝2→AD＝25.

方法五：如图15，连接OD→OD⊥BC→OE＝1.5，CE＝2，DE＝1→DC＝5→AD＝25.

方法六：如图16，构造OH⊥AB，DE⊥AC→AH＝1.5，OH＝2→Rt△ODE≌Rt△AOH→DE＝OH＝2，AE=4→AD＝25.

方法七：如图17，构造CF∥AB交AD的延长线于点F→＝AB[]CF＝3[]5，BC＝4→BE＝1.5，CE＝2.5→AE＝35[]2[SX）]，DE＝5[]2[SX）]→AD＝25.

反思提炼

首先，解法归类.方法一、二、三都是源于角平分线——构造轴对称图形（利用轴对称性）；方法四、六、七都是源于角平分线——转化为等腰三角形（利用轴对称性）；方法五是源于角平分线——转化为垂径——构造轴对称图形（利用轴对称性）.归根结底就是用好自身的轴对称性，利用平行线、等弧将等角转化到同一三角形中得到等腰三角形，再利用其轴对称性解决问题.

其次，解法归因.问题2是问题1的衍生，由对角互补构造圆，利用圆的属性解决问题，问题3是将问题2特殊化，因此3个问题的方法是存在共性的，每道题的多种解法又具有一致性，充分体现了轴对称的本质.

最后，解法迁移.类比角平分线本质的发现及其应用，思考平移变换、中心对称变换、旋转变换、缩放变换的本质是什么及如何应用？其实是一以贯之的，回归定义，紧扣变换要素挖掘本质，比如有共端点的等线段这一条件，就具备了旋转要素，端点就是旋转中心，线段的夹角大小为旋转角度，从而构造旋转对称图形.同样有旋转对称图形，再基于旋转要素挖掘本质.3 教学思考

3.1 反思数学本质，寻觅知识迁移的源头

问题都有本质，挖掘本质方能想得自然，解得通透.挖掘本质需要回到知识源头，源头就是其定义.通过角平分线系列问题的解决，不难发现角平分线的本质：角平分线（对称轴）上任意一点到对称点的距离相等.一是基于角平分线直接构造对称点；二是间接应用等角，比如通过平行、旋转将等角进行转化，使得转化后构成新的等腰三角形；在圆中通过弧将两个等圆周角转化为两个等圆心角，基于圆的定义形成等腰三角形，进而得到等腰三角形的三线合一.角平分线通常有三个用法：直接构造轴对称图形；将一角进行转化，使得转化后的角与另一角相等，进而得到等腰三角形；将两个等角都进行转化，产生新的角平分线，再基于轴对称解决问题.三种方法殊途同归，都是化归轴对称图形，这就是角平分线的本质.

3.2 反思教学过程，体会知识建构的过程

角平分线教学采用螺旋上升的策略，先认识角平分线的定义，利用轴对称全等体会角平分线的价值；再探索角平分线轴对称性及其性质；最后在等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正多边形、圆等知识中反复渗透其轴对称性，体现其本质 [1] .

第一阶段：学习角平分线定义，一定要让学生经历翻折的过程，初步感知轴对称性，再得出角平分线的定义，切不可直接给出定义，学生就不能很好地体会其轴对称性，也是为后面尺规作角平分线奠定基础.

第二阶段：尺规作角平分线，进一步体会角平分线的本质，基于轴对称全等构造角平分线，初步体会角平分线所在的直线是对称轴，为后面学习角是轴对称图形奠定基础.

第三阶段：角平分线的性质探索，很多时候教学仅仅关注性质，即角平分线上任意一点到角两边的距离相等，在此会忽视其一般性，进而学生不能充分体会轴对称性，也就是特殊性弱化了其轴对称性，因此有必要在此进行一般化，体现轴对称的本质，就是角平分线上任意一点到角两边的任意一对对称点的距离相等.

第四阶段：用对称的眼光看图形，需要一以贯之的渗透，从等腰三角形到特殊平行四边形再到圆，都需要用轴对称的眼光去研究，比如菱形的对角线所在的直线就是菱形的对称轴，矩形对边中点的连线就是其对称轴，因此在研究特殊平行四边形时需要有轴对称的眼光，就是将特殊平行四边形都化归等腰三角形；在圆的学习中要基于圆的定义，圆的所有的性质皆是化归等腰三角形，利用等腰三角形的性质研究圆的性质.

整个知识建构的过程中，从定义出发，反复渗透轴对称的本质，养成翻折的动态眼光，由角平分线建构轴对称图形，或将等角进行转化得到新的轴对称图形.这是一个反复渗透、不断感知的过程.

3.3 反思关联路径，挖掘思想方法的生成

认识了角平分线的本质及其知识建构过程，还需要关联角平分线去学习其它的轴对称图形.角是轴对称图形的一个代表，角平分线所在的直线就是角的对称轴，角平分线上任意一点到角两边的任意一对对称点的距离相等.紧扣对称轴的本质去研究线段、等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正多边形、等腰梯形、圆等轴对称图形，即轴对称图形需要构造出对称轴，作角平分线或作对称点的连线段的垂直平分线，有了对称轴才能体现其轴对称的性质.这种眼光与思维方式要贯穿在教学的所有环节中，养成用对称的眼光看图形，紧扣变换要素研究图形，还必须关联到其它对称图形，包括平移对称、旋转对称、中心对称、位似对称等等.下面以轴对称为例（图18），谈谈它们之间的内在关系，其它对称以此类推.

3.4 反思育人价值，落实学科素养的真谛

数学核心素养包含培养学生的图形直观能力，图形直观是一种视角与思维，是一种合情推理的方法，是终身发展的关键能力.图形变换的本质就是把图形看动起来，在图形运动的基础上研究图形各元素之间的关系，即研究图形性质 [2] .其中角平分线就是需要用翻折的眼光看图形，找对应元素与对称轴之间的关系，同时也是研究复杂图形的基本方法，更是演绎推理的前提.因此，几何变换是几何体系的核心内容，它是认识图形的基本方法，需养成把图形看动起来的视角，在教学的过程中加强几何变换教学.通过图形的运动变换理解轴对稱、旋转对称和平移变换的基本性质，这样才能将对称体现的淋漓尽致，这是图形直观的关键所在.多年后对称的性质或许已忘却，但是这种视角、思维方式将永远存在，其性质就自然生长，这就是关键能力和核心素养.4 结束语

数学题海中不乏貌似各异，但本质相同、解法一致的问题，若搞题海战术，必然花费大量的时间和精力.为此，要注重对学生进行举一反三、多题一解的训练，训练学生的关联性思维，尤其在知识建构的过程中要反复渗透知识的本质，同时在解题的过程中要关联一类题的相同解法，一道题的多种解法，做到要溯源、要生长，从而建构知识体系，培养结构化思维.

参考文献

［1］章建跃.核心素养统领下的数学教育变革［J］.数学通报，2017，56（04）：1-4.

［2］王保东.关注基础和思维习惯合理引导学生思考［J］.数学通报，2018，57（06）：49-52，57.

［3］[BP）]金敏，刘春书.从评价的视角思考初中几何变换的教学［J］.中学数学杂志，2017（04）：56-62．

作者简介 刘春书（1978—），男，江苏宝应人，副校长，中学高级教师；江苏省青年教育家型教师、江苏省教科研先进个人、南京市学科带头人;主要从事中学数学课堂教学和考试命题研究;发表论文多篇.