思中悟美 探中寻美 用中拓美

【摘 要】 数学美育作为数学教育的一个课程目标，不仅有着重要的育人价值，对课堂变革也有着重要的导向意义，因此，数学教学应该从问题思考中感受数学之美，学会用数学的眼光观察现实世界；在数学思想与方法的探究中寻求数学之美，学会用数学的思维方式思考现实世界；在应用与实践中，拓展数学之美，学会用数学的语言表达现实世界，从而使数学美育教育在课堂中落地.

【关键词】 感受数学美;探寻数学美;拓展数学美

数学的高度抽象性决定了数学美有独特的性质.我国著名数学家数学美的倡导者徐利治教授曾指出：“数学教育与教学的目的之一，应当让学生获得对数学美的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于增长他们的发明创造能力.” [1] 同时，新课程实施以来，伴随着数学课堂教学改革向纵深发展，认识到在课堂中渗透数学美育的重要性.尽管如此，如何在课堂教学中有效渗透数学美育，在策略上还有所欠缺.笔者认为，应将数学美育教学作为一个课程目标，创设有利于学生感受数学美、探寻数学美、拓展数学美的教学活动，从而让数学美育在思考中被感受，在探究中被探寻，在应用中被拓展创新，凸显数学学科的个性，让核心素养在课堂上真实落地.

徐教授还指出：“数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性都是数学美的具体内容．” [1] 这段话体现出了数学美的三大特征：简洁性、统一性和奇异性．笔者结合自己的一堂“浙教版七上乘法公式（2）——完全平方公式”的公开课，谈谈如何在课堂教学中落实数学美育教学的策略.

1 内容分析

对数学美的认识，不能停留在静态层面，应该在具体的数学情境、数学问题和数学活动中，去感受、探寻、拓展数学美.“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”的第一个公式，完全平方公式是学习的第二个公式，可以类比平方差公式的学习探究教学方法，让学生了解公式产生的背景，经历公式推导的过程，从公式的探究活动中，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究方法，体会数形结合及化归的数学思想.

2 目标分析

（1）感受数学美——学生通过一类特殊的多项式乘以多项式的计算，类比、归纳得出完全平方公式，并会用文字语言叙述完全平方公式.在这个过程中，学生感受到数学符号语言的简单美，落实运算能力、抽象能力，学会用数学的眼光观察现实世界，感悟数学的审美价值，提高学习数学的兴趣.

（2）探寻数学美——通过计算观察、实验证明等方法探索完全平方公式，在学生经历一个动态的审美过程中，感悟数形结合及化归思想，探寻数学思想方法的统一美，落实推理能力、直观想象，学会用数学的思维思考现实世界，发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，逐步形成理性精神.

（3）拓展数学美——通过了解杨辉三角的历史、研究杨辉三角与两数和的乘方的系数关系以及杨辉三角在生活中的应用，一方面引导学生将已有活动经验、探究策略和思想方法在不同問题情境中进行迁移与应用，拓展数学美，另一方面将数学美应用到生活中，学会用数学的语言表达现实世界，不断增强学生的创造精神和实践能力，从而达到以美育人的最终目的.3 教学过程

3.1 探新知——感悟数学美

活动1 用简便方法计算：

（1）102×98； （2）699×701； （3）203 2 .

设计意图 前两个小题可以运用学过的平方差公式解决，目的是复习平方差公式，第（3）题不能用平方差公式简化计算，那么有没有其它公式可以简化计算呢？通过设置问题，引起学生思维碰撞，激发学生求知需求，同时，在该活动中培养学生对简洁美的追求.简洁美是一种最基本，最有效的数学美.对简洁美的追求，不仅表现在对数学对象简洁合理的表达形式上，还表现在对困难和复杂问题的简洁解答上 [2] .培养学生探求解题方法的简洁性、有效性，可激发学生的发散性思维和钻研的兴趣，培养他们积极探索和创新的精神，所以说数学中的简洁美是优化解题思路的内驱动力因素之一.

活动2 计算：（1）（3+b）2；（2）（x+1）2.

完成计算后，思考以下问题：

问题1：上述2个算式是怎样的两个多项式相乘？

问题2：观察计算结果，你发现了什么规律？

问题3：猜想对于一般的两数和的完全平方也有这个规律吗？利用多项式的乘法法则计算（a+b）2；

问题4：公式中的字母a，b可以表示什么？

设计意图 通过计算让学生从代数角度得出两数和的完全平方公式，继而通过4个问题的思考，学生类比归纳得出两数和的完全平方公式，感受数学表达形式的简洁美，同时教师引导学生了解公式中的a，b不仅可以代表单独的一个字母，还可以代表单独的数字、代数式，再次感受数学符号的简单美，也为（a-b）的推理埋下伏笔.

活动3 再计算：（a－b）2.

完成计算后，思考以下问题：

问题1：尝试用不同方法计算，并观察计算结果，你发现两数差的完全平方有什么规律？

问题2：结合本题计算，完善完全平方公式；

问题3：观察公式的结构特点，并用语言描述完全平方公式.

设计意图 一是类比两数和的完全平方公式得出两数差的完全平方公式，二是引导学生了解两数和的完全平方与两数差的完全平方公式之间可以相互转化，即两数差的完全平方可转化为两数和的完全平方［a+（－b）］2；在该活动中引导学生建立知识之间的内在联系，感悟数学的转化思想，同时，在概括中进一步感受数学语言的简洁美、严谨美.

以上三个教学活动设计，都是从学生已有的认知出发，进行自主合作探究完全平方公式，在具体的数学情境和数学问题的驱动下，让学生感受数学语言的简洁美，即用简单的数字形式和数学符号表达极为丰富的内涵，从而学会用数学眼光观察现实世界，落实运算能力与抽象能力.

3.2 明其理——探寻数学美

活动4 拼一拼.

准备四张边长分别为a，b，（a+b），（a-b）的正方形纸片，如图1.

问题1：动手操作、小组讨论，通过图形拼接探究证明两数和的完全平方公式；

学生图形展示两数和的完全平方公式证明，如图2.

问题2：比较各小组的拼割方式，哪种方法相对简洁.

设计意图 活动4的图形拼接的证明操作中，学生深刻体会到“完全平方”与“图形面积”、“数”与“形”的内在联系，证明方法的多样性，发展学生“一题多解”与“多解归一”的数学方法统一美，同时，在思考“比较各小组的拼割方式，哪种方法相对简洁”这个问题中，实践发现当将两个小正方形放在大正方形的对角线位置时，公式的几何表征最为显性，计算也最为简单，让学生体会数学图形的对称美和简洁美，发展学生化繁为简的思维方式.

活动5 再拼一拼.

问题1：类比两数和的完全平方公式，验证两数差的完全平方公式成立；

问题2：完成验证过程.

学生展示结果，如圖3.

方法１：大正方形面积=a 2 .

方法２：大正方形面积=（a－b）2+2b（a－b）+b2.

因为a2=（a－b）2+2b（a－b）+b2，

所以（a－b）2=a2－2ab+b2.

设计意图 通过活动5，进一步加强代数变形能力与数形结合思想，继续体会知识的内在联系，加强学生转化与化归的意识，探寻数学思想方法的美.

布鲁纳曾说：“学习者在一定问题情境中经历对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习的最有价值的东西.”基于这一理论，本环节设计的2个活动，目的在于引导学生探寻数学思想方法的统一美，学会用数学思维方式思考和分析现实世界，落实推理能力与直观想象.

3.3 攀其峰——拓展数学美

活动6 合作探究.

问题1：杨辉三角与两数和的乘方的系数关系

（1）杨辉三角数学历史文化介绍及“开方作法本源图”，如图4；

（2）计算（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，将结果以a的指数降幂排列；

（3）右边式子各项的系数与杨辉三角有什么关系？如图5.

问题2：类比杨辉三角探究（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，…，（a+b）n，将结果以a的指数降幂排列时，每项的系数有何规律？

课堂展示结果：

（1）杨辉三角与２的幂的关系：第n行所有数字的和为2 n ，前n行（含第0行的1）所有数字的和为2 n+  1 -1．

（2）杨辉三角与二项展开式的系数的关系：（a+b）n的展开式按a的降幂排列，各项系数恰好是杨辉三角形的第n行的数字．

总结发现以上数字规律的同时，在引导学生斜看数字排列，还有什么发现？可以告诉学生著名的斐波那契数列也藏在其中．

设计意图 活动6是课堂的延伸与拓展，探究杨辉三角与两数和的乘方的系数关系，以及自身的数学规律，是一种对美的欣赏能力的迁移与拓展，同时也是锻炼学生通过现象看本质的能力.

活动7 生活中的杨辉三角.

[情境创设]

“妈妈，您高兴什么呢？”

“今天茶叶销售总额又涨了，销售额已经连续第三天涨了，且发现每一天的销售额会比前一天增加10%左右.”

“那我们的销售额什么时候才能至少翻倍啊？”

“要不你算算，假如第一天销售额为k元．”

小天发现这个问题就等价于：若连续n天增长后，销售额将大于等于２k，求n的最小值，即k（1+10%）n≥2k，求整数n的最小值．两边约去k，n较小时 1+10% n结果如下：

当n=0时，1=1；

当n=1时，1.1=1.1；

当n=2时，1.1×1.1=1.21；

当n=3时，1.1×1.1×1.1=1.331；

当n=4时，1.1×1.1×1.1×1.1=1.461.

出现了神奇的“杨辉三角”．

设计意图 活动7是杨辉三角数字规律的应用，体现了运用数学美的意识，同时，让学生感悟数学的意义与价值，有意识地使用真实结论表达、解释与分析现实世界中的问题；欣赏数学规律的简洁与优美，逐步养成用数学的语言表达与交流的习惯，形成跨学科的应用意识与实践能力.

此外，对杨辉三角历史文化介绍，也让学生感受到了中国历史文化的博大精深，陶冶了情操，达到了拓美育人、创美育人的课程目标.4 教学反思

本节课基于学生认知规律，引导学生经历感受美、探寻美、拓展美的过程，从而发现事物所蕴含的数学知识、数学规律、数学方法.在启发引导、问题思考中，感受数学的简洁美，在直观演示、类比归纳中，发展数学方法思维的统一美，最后通过杨辉三角数字规律的探索与应用，提升学生审美、用美和创美意识.

4.1 感受美，获得基础知识与基本技能，学会用数学眼光观察世界

在感受美阶段，要让学生充分经历“双基”获得过程，如数学概念、法则、性质的抽象归纳过程，感受数学的简洁美，学会用数学眼光观察现实世界，这一点与教材内容呈现上是不谋而合的.如初中阶段运算教学，有理数的加法法则、有理数乘法法则是从现实问题和规律探索中抽象归纳得到的，有理数减法、除法、开方是作为加法、乘法、乘方的逆运算得到的.在代数式的运算中合并同类项法则是类比有理数的加法运算得到的，后续的幂运算法则、整式乘法法则都是从特殊到一般归纳得到的，幂运算法则还根据幂的意义进行了推导，乘法法则转化为已经学过的法则进行推导，仔细分析这些法则大致经过了“感知—分析—概括—表述”四个阶段，也就是感受数学简洁美的过程.

4.2 探寻美，积累基本经验与基本思想，学会用数学思维思考现实世界

要实现这一教学目标，教师应该认真研读课程标准，深入研读教材，揣摩教材的编写意图，体会教材如何承载课程目标，实施整体单元教学，不仅要关注数学知识本身，而且要思考知识背后蕴含的数学本质，包括数学知识的内在联系、数学规律的形成过程.单元整体教学要立足整个单元的角度对教材进行全方位的解读，从数学知识的生成角度思考学生获数学知识的路径和方法，这种知识获得的过程也是基本经验与基本思想的积累过程，探寻数学思想方法的统一美，学会用数学的思维思考现实世界.

4.3 拓美与创美，加强应用与创新意识，学会用数学语言表达现实世界

培养学生创造性解决数学问题的能力，是数学课堂教学的追求.《数学课程标准》指出：“教师应整体设计、分步实施数学建模活动与数学探究活动，引导学生从类比、模仿到自主创新，从局部实施到整体构想.”笔者认为这就是一个拓展并一定程度创造数学美的过程，教师应立足学生的“四基”，分层设计活动，结合教材开展课题学习或项目化学习，给学生留有足够的时间和空间，让学生自主探究和合作操作，进一步深化对数学概念、规律简洁美的感悟，对数学思想方法统一美的理解，从而使教学走向生活，实现应用美、创造美，培养用数学的语言表达现实世界的能力.

参考文献

[1]陈向阳，王国兴.论数学美育在中学数学教学中的渗透[J].数学教学研究，2012（02）：45-47.

[2]郭亚君，申玉发，郑国萍，等.寓美育于数学教育教学之中的认知与实践[J].河北科技师范学院学报（社会科学版），2004（06）：48-52.

作者简介 李燕芬（1984—），女，浙江安吉人，中学高级教师，浙江省湖州市教学能手，浙江省安吉县学科带头人，县班主任工作室领衔人;主要从事初中数学教学研究;发表论文数篇.