初中数学试题区分度的影响因素与改进策略

【摘 要】 区分度是指测验试题对学生实际水平的区分程度或鉴别能力，它是评价试题能否区分高中低水平学生的主要指标.从试题的难易度、试题的坡度、试题的备选性、解答的多样性和赋分的层次性等因素对试题区分度进行定性分析并提出改进措施，以期不断提升命题质量.

【关键词】 试题区分度；影响因素；改进策略

每年毕业季，不少品牌高中为招收更多的优质生源，往往不完全依据中考成绩进行招生，而是劳心费力地另行组织选拔性考试，究其原因，主要是因为中考卷的区分度往往达不到它们所需要的理想状态.所谓区分度，是指测验试题对学生实际水平的区分程度或鉴别能力 [1] ，它是评价试题能否区分高中低水平学生的主要指标，水平高的得高分，水平低的得低分 [2] .本文从试题的难易度、试题的坡度、试题的备选性、解答的多样性和赋分的层次性等因素对试题区分度进行定性评价并提出改进措施.不当之处，敬请指正.

1 试题的难易度

试题（试卷）的难易度通常用试题（试卷）的得分率来表示.一般地，较易的试题对低水平学生区分度高，中等难度的试题则对中等水平学生区分度高，较难的试题对高水平学生区分度高.

例1 某市2022年中考模拟卷第7题.

原题 －2的相反数是.

分析 此题主要考查相反数的意义，难度极小，得分率通常为0.99左右，是典型的送分题，学生只要知道相反数的意义，便会不假思索地得到答案为2.显然，此题仅单独考查了相反数的概念识记，缺少一定的思维含量，无论哪种水平的学生都不能进行有效区分.

改进 若x＝－2，则－x的值为.

评析 改进后的试题，不仅考查单个知识点的识记，而且考查学生“会把具体数代入代数式进行计算”的能力，解题时需要学生将x代入到代数式－x中，并能进行正确化简，相对增加了一定的思维含量与难度，从而能适当区分基础薄弱的学生.

例2 某市2022年秋学期九年级数学试卷第16题.

原题 如图1，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（不与A，B重合）.∠ADB的平分线分别交AB于点E，交⊙O于点C，过点A作CD的垂线，分别交CD，⊙O于点F，G，连接DG交AB于H.若DG=AE，则∠G的度数为°.

分析 此题主要考查与全等三角形、圆有关的性质，对刚学习了与圆有关知识的学生来说，难度极大，故难以区分高水平学生.解答过程：根据圆周角定理得∠ADB=90°，由弦DC平分∠ADB，得∠ADC=∠BDC=45°，又AF⊥CD，得∠DAF=45°，从而有AF=DF.由DG=AE，可得Rt△AEF≌Rt△DGF，所以∠EAF=∠FDG，得∠DHE=∠AFD=90°，又∠BAG=∠CDG得 CG = BG ，由圆周角定理得到∠BAG=22.5°，从而可得∠G=90°－22.5°=67.5°.

此题解答过程涉及的知识点多，逻辑性强，探求“Rt△AEF≌Rt△DGF”“AB⊥DG”的依据是此题难点与关键点，但思维不够严谨的学生，凭感觉默认试题中的条件“AB⊥DG”已存在，却能歪打正着地求得∠G=67.5°.甚至有个别投机取巧者认为所求的角多以15°，22.5°的倍数为主，可以直接用量角器量得∠G的度数.可见，平时思维严谨、推理有据的高水平学生，因思路堵塞而失分，进而影响试题的信度与区分度.

改进 如图1，⊙O的直径AB为2，点D在⊙O上（不与A，B重合）.∠ADB的平分线分别交AB于点E，交⊙O于点C，过点A作CD的垂线，分别交CD，⊙O于点F，G，连接DG交AB于H.若AB⊥DG，则DG的值为.

评析 一般地，探求由角与角之间的关系比探求边与边之间的关系容易些，因此，将原题中的条件“DG=AE”改为“AB⊥DG”，学生在探求“Rt△AEF≌Rt△DGF”的时候相对容易些.将原题中的直径AB赋值为2，求得DG=2，数值不凑整，也就难以“猜”“蒙”了，既保证了试题的信度，又确保了试题的区分度.

正常情况下，过难或过易的试题区分度都很低，适中的难度可以保证较高的试题区分度.这就要求命题者要把控好试题的难度，以确保试题的区分度，这样既可以有效区分不同水平的学生，又引领着日常教学的方向.

2 试题的坡度

试题的坡度是指试题的起点低，入口宽，难度沿着一定的坡面逐步增大.试题难易适宜，既要照顾到低水平学生，又要兼顾到高水平学生.综合题宜采用分步设问，由易到难，层层递进，照顾到不同水平的学生.

例3 某市2022年中考模拟卷第26题.

原题 已知点（2，3）在直线y=kx+m上，点A（k，y 1 ）、B（k+1，y 2 ）在二次函数y=x2－（m－2）x+2m图象上.当k变化时，A，B两点的位置随之变化，设A，B两点的运动路径分别与直线x=n交于点P，Q，当PQ=2时，求n的值.

分析 此题主要考查二次函数的性质与灵活应用.由点（2，3）在直线y=kx+m上，得m=3－2k，将点A（k，y 1 ）、B（k+1，y 2 ）的坐标分别代入二次函数的表达式中，得到A，B两点的运动路径分别为抛物线y1=3k2－5k+6、y2=3k2－k+6.当x=n时，可得直线x=n与y1，y2的交点的纵坐标分别为yP=3n2－5n+6、yQ=3 （n－1） 2－（n－1）+6.当PQ=2时，得yP－yQ=2n－4=2，解得n=1或3.显然，此题难度较大，对于低水平学生，往往理解困难，束手无策，直接放弃，也就难以区分了.

改進 已知点（2，3）在直线y=kx+m上，点A（k，y 1 ）、B（k+1，y 2 ）在抛物线y=x2－（m－2）x+2m上.

（1）若该抛物线的对称轴是直线x=1，分别求出该直线和抛物线相应的函数表达式；

（2）当点A，B在该抛物线上运动时，满足y1－y2=1，求m的值；

（3）点A，B的位置随着k的变化而变化，设点A，B的运动路径分别与直线x=n交于点P，Q.当PQ=2时，求n的值.

评析 在原题的基础上，增加了（1）（2）两问，第（1）问主要考查用待定系数法求函数表达式，难度不大，能有效区分低水平学生；第（2）问主要考查学生对函数性质的理解能力和运算能力，难度适中，能有效区分中等水平学生，同时为下面问题的解决作铺垫；第（3）问保持原先的命题立意，由于前面两问的铺垫，难度有所降低.试题三小问由易到难，层层递进，让不同水平的学生都有所得，从而有效区分了优中低不同水平的学生.

一般地，层次分明、具有一定坡度的综合题，对于不同水平的学生都有用武之地，因而，受到命题者和学生的青睐，在教学中也容易被广大师生认可和接受，尤其在分化明显的初中学段，也是因材施教的好素材.3 试题的备选性

学生身心发展的差异性要求开展分层教学，同时要求考试评价也要进行分层施“测”.在考查主题不变的前提下，命制几道不同层次的试题，依据试题难度赋分，供学生能根据自身水平情况进行选择性解答.

例4 某市2022年秋学期八年级数学试卷第19题.

原题 （1）如图2，AB∥CD，∠BAE＝∠DCE＝45°.判断△ACE的形状，并说明理由.

（2）如图3，在△ABC的边AB上截取一点E，使AE＝AC，过点A作CE的垂线，分别交CE，BC于D，F，若∠B=12∠BAC＝α.

①用含α的代数式表示∠AEC为，当∠BCE＝30°时，α＝°；

②判断BC与AD的数量关系，并说明理由.

分析 第（1）题由平行线的性质∠BAC+∠ACD＝180°，易得∠E＝90°，故△ACE是直角三角形；第（2）题第①问中，由等腰三角形的性质，易得∠AEC=90°－α，当∠BCE＝30°时，由外角性质可求得α＝30°；第②问中，如图4，过C作AB的平行线交AF的延长线于点G，连接CG，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAF＝∠B＝∠BCG＝∠G＝α，可得CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG，因而AG＝AF+FG＝BF+CF＝BC，在△ACG中，由三线合一得AD＝DG，即AG＝2AD，所以BC＝2AD.这两题主要考查等腰三角形、直角三角形、三角形的内角与外角以及平行线的性质，考查的主干知识相近，但综合程度不同，难度有差异.对八（上）学生来说，第（1）题难度中等偏下，第（2）题需要构造辅助线，推理步骤较多，难度相对大些，如果两题都作为考题，考查的知识点重复，也影响学生的作答时间.

改进 原题不变，在试题最后增加选择性要求：从上面两题中选择1题完成，其中，第1题答对得6分，第2题答对得9分（若两题都答对得9分）.

评析 试题采用“二选一”的方式，改进后，保持考查的主干知识不变，使得学生有了充足的答题时间.同时，根据试题的综合程度、难度系数的大小，赋予相应的分值，以区分不层次的学生，使得高水平学生“吃好”，低水平学生“吃饱”.

根据命题要求，在考查知识领域相同的背景下，设置几道不同层次、不同分值的试题，供学生根据自身水平选择适合自己的试题解答，试题呈现方式新颖，对不同水平的学生都具有挑战性，使得考试既有趣味性，又具有人文性.4 解答的多样性

数学问题解答的多样性最显化的表现为一题多解.答题中需要学生从不同视角，运用不同的方法，对同一试题作出不同的解答，充分考查了学生思维的广度与深度，以及对知识的理解和灵活运用程度.

例5 某市2022年春学期九年级数学试卷第20题

原题 如图5，点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线，要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明.

分析 此题主要考查切线的判定与性质，构造直角是解题的关键.因点P在⊙O上，根据切线的判定定理，学生很容易得到（如图6），作直线OP，然后过点P作OP的垂线即为所求切线.从解题过程中可以看出，考查的知识点较少，难度相对较小，难以拉开中高水平学生之间的差距.

改进 在原题基础上增加要求，并给出赋分方法.增加要求（3）：尽可能用不同的方法（此题满分9分，一种方法得3分，两种方法得6分，三种及以上方法得9分）.

评析 解法的多样性直接决定了考分多少，调动了学生的探究欲望与答题兴趣.本题方法很多，如，方法二：如图7，以点P为圆心，OP为半徑画弧，交⊙O于点A；延长OA至B，使AB＝OA；作直线PB，则PB是⊙O的切线.方法三：如图8，作直径PA；作直径AP的垂直平分线；在AP的垂直平分线上取一点C，分别以P，C为圆心，OC，OP为半径画弧，两弧交于点D；作直线PD，则PD是⊙O的切线.

通常情况下，优等生发散性思维较好，联想力丰富，在有限的考试时间内，往往能联想到与考查主题相关的多个知识，从而建立不同知识版块之间的联系，得到的方法也多样，因此，解题方法越多，得分也越高，也就自然拉开了不等水平学生之间的差距，确保了试题的区分度.

5 赋分的层次性

赋分的层次性是指在制定评分标准时，将学生的答案按其准确性、深刻性的差异，分成若干层次，并根据综合程度、思维含量和运算量等赋予不同等级的分值.

例6 某市2023年秋学期七年级数学试卷第23题.

原题 A，B两村在一条笔直的公路上，两村相距1200米，为方便两村村民出行，欲在A，B之间建一公交站台，若A村有1000人，B村有200人，问公交站台建在何处比较合适？

分析 此题为综合实践活动中的方案设计问题，具有生活性、开放性和多样性.方案有多种，方案一：建在线段AB的中点处，体现公平均等的原则；方案二：建在A村，方便了绝大多数村民出行，体现少数服从多数的原则；方案三：建在距离A村200米，距离B村1000米处，由于1000×200=200×1000，体现了平衡原理.但是，这三种方案中，哪种方案更合理，更具可操作性？

改进 原题不变，采用非等价赋分.把原有的评分标准调整为：方案一得3分，方案二得5分，方案三得8分.

分层赋分是对传统的采点给分方式的一种突破，是对学生个性思维的充分尊重.不同方案赋分不等，赋分点适当倾斜于合理性强、思维含量或运算量等难度较大的方案，以区分不同思维层次的学生，确保试题的区分度.同时，也体现了命题者对学生的人文关怀.

总之，影响试题区分度的因素还很多，如试题的效度、信度、学生水平和考试目的等，它的高低往往取决于考试性质，如，标准化考试对试题的区分度要求较低，选拔性考试对试题的区分度要求较高.因此，区分度的高低并没有优劣之分，需要我们辩证分析、综合评价和逐步认识并改进，以进一步提升命题质量和教师的命题水平.

参考文献

[1]王岱君，田华，王金平，等.浅谈考试“四度”的把握与控制[J].教学与管理，2011（04）：54-55.

[2]佚名.考试的测量学基础知识（六）[J].中国考试，2022（05）：53.

作者简介 邓昌滨（1970—），男，江苏兴化人，中学正高级教师，江苏省兴化市教师发展中心研训员，江苏省邓昌滨网络名师工作室领衔教师;主要从事初中数学课堂教学的有效教学研究、解题命题研究;主持省级规划课题2项，发表论文40余篇，其中核心期刊8篇，人大复印报刊资料全文转载4篇.

基金项目 2022年江苏省教育科学规划专项课题“基于学业质量标准的初中数学常规考试命题与评价研究”（E/2022/15）.