中考数学在“知识交汇处命题”的教学思考

张梅秀

摘要：通过对2020年中考数学综合题评析，教师有意识引导学生中考数学复习要立足教材、夯实基础，培养用数学的思维分析和解决问题、用数学语言表达和交流问题的习惯，进而切实提高初中数学课堂教学效率.

关键词：中考数学；命题；课堂教学

二次函数的综合题是中考的重点和难点，在知识网络交汇处命题，有利于深化知识、提高分析问题与解决问题的能力，同时兼顾基础、循序渐进、拾级而上. “基础性、综合性”是历年中考的一个命题热点，因此，教师要吃透学情、掌握考情，学会立足教材，拾级而上，逐步引导学生达到中考能力要求的制高点，这样才能无往而不胜.如何帮助学生分析、解决这类问题，是初中数学教师应着重关心的问题.

1试题呈现

纵观全国各地中考数学试题，最后一道大题都是与二次函数相关的综合题，知识容量大、思维方法灵活，对分析问题和解决问题的能力要求高，具备一定的选拔和区分功能.

0例1（2020年甘肃省定西市中考数学试卷第28题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx－2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA=2OC=8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.

（1） 求此抛物线的表达式；

（2） 若PC∥AB求点P的坐标；

（3） 连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.0

2导问结合，分析探究

2.1回归教材，发挥源题的基础效力

立足教材是中考命题的一个原则，所以第（1）问都能在教材中找到原型，相对稳定.教学中教师要追根溯源，回归教材，寻找丰富的源题，给学生一个“鲜活”事例，教学中先让学生翻开《义务教育教科书九年级上册》第39页探究题、第40页练习第2题、第41页习题22.1第10（1）—（4）题、第11题等等，学生看得见、摸得着，对学生解答本题有了着力点，然后对照本中考题引导学生再探究.

教师：如何求出二次函数的解析式？学生解答信心倍增，争先恐后，报出答案.

学生1：题目给出二次函数的解析式y=ax2+bx－2，现用待定系数法求解.

教师：是的，但注意解析式有几个未知字母，就需要几个独立的点代入，才能求解，函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程（组）解决.运算时力求准确无误，确保后继问题解答的正确性.

教学中夯实基础，建立一个牢固的知识网络、灵活的思维方法，面对较复杂的综合题，能发挥克难攻坚效力.

2.2认清载体和“镶嵌”三角形，抓住关键

在教材内容基础上与平面几何知识交汇融合，选材上以抛物线为载体，镶嵌具有一定几何条件“内接三角形”，然后求点的坐标，考查坐标法，渗透一些解析几何思想.

教师：若PC∥AB，如何确定点P的坐标？

学生2：因为抛物线恒过点C（0，－2），又因为PC∥AB，所以直线PC的表达式为y=－2.

学生3：点P的坐标就是直线PC与抛物线y=x2+72x－2的交点.

学生4：只需将y=－2代入抛物线的表达式，即－2=x2+72x－2，求解即可.

教师：三位同学回答得很好！解题思路自然，运算也正确，衔接无缝.请同学们继续思考：如何求这种情况下△PAC的面积？

学生5：因为△PAC一边的长为PC=0－－72=72，其高OC=2，所以S△=12PC·OC=72.

教师：这位同学对几何图形观察得很对，能够感知三角形组成元素，找到了三角形的底边和高.

纵观近几年全国各地的中考压轴题，不出例外的话，一方面可将几何图形的性质运用代数方法来研究，另一方面解答某些代数问题又可借助几何直观.因此，教学中，培养学生良好的审题习惯，从题干中抓住要素，从直观图形找到解决问题的“切入点”，化难为易不在是遥不可及的事.

2.3拾级而上，实现由特殊到一般的推理方法

教师：如果P是第三象限内抛物线上的一动点，那么△PAC是一般的三角形，现在如何求△PAC的面积？

学生6：没有直接可以利用三角形面积公式的条件时，可以采用分割法.

教师：太好了，曲径通幽，实现了解题目标.请问：如何分割？

学生7：过点P作x轴的垂线，垂足为D，交线段AC于点E；过C作CM⊥PE，M为垂足.

教师：是这样，这个过程结合求解目标，你会想到什么？

学生8：把一个三角分割为两个三角形△APE和△CPE，它们有同底PE和不同的高.

学生9：S△PAC=S△APE+S△PEC=12PE·AD+12PE·MC=12PE·AO.

教师：棒极了！求解三角形的面积设法把它分割为两个三角形，发现同底不同高的三角形的高竟然可以转化AD+CM=AD+DO=AO.想一想：如何求线段PE的长？

学生10：由于P、E分别是直线PA与抛物线、直线AC和直线PE的交点，又PD⊥x轴，所以将x=m分别代入y=x2+72x－2和AC的表达式中就得到P，E两点的直角坐标.

教师：直线AC的表达式如何求？

学生11：设直线AC的表达式为y=kx－2（k≠0）.把A（－4，0）代入可得k=－12，所以直线AC的表达式为y=－12x－2.

学生12：设点P（m，m2+72m－2）（－4

学生13：点Em，－12m－2.

教师：紧紧抓住学生9给出的面积公式中，布列面積S关于变量m的二次函数.

学生15：S△PAC=12×（－m2－4m）×4=－2m2－8m=－2（m+2）2+8.

教师：很好！数形结合，求解三角形面积，化归转化是关键.思维受阻是因为化归转化方向不对或方法不当，考查目标最终落在对二次函数的最值上.

3真题解析

0解析：（1） 由y=ax2+bx－2可得点C（0，－2）.

因为OA=2OC=8OB，所以A（－4，0），B12，0，把A，B两点的坐标代入y=ax2+bx－2得a=1，b=7/2，所以抛物线的表达式为y=x2+7/2x－2.

（2） 因为PC∥AB，C（0，－2），所以点P的纵坐标为－2，则－2=x2+72x－2，解得x1=－7/2，x2=0（舍），故P－72，－2.

（3） 設直线AC的表达式为y=kx－2（k≠0），把A（－4，0）代入可得k=－12，所以直线AC的表达式为y=－12x－2.

如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交线段AC于点E；过C作CM⊥PE，M为垂足. 设点P（m，m2+7/2m－2）（－4

于是，PE=PD－ED=－m2－4m，

所以，S△PAC=S△APE+S△PEC=12PE·AD+12PE·MC=12PE·AO=12×（－m2－4m）×4=－2m2－8m=－2（m+2）2+8，

所以当m=－2时，（S△PAC）max=8. 此时m2+7/2m－2=（－2）2+7/2×（－2）－2=－5，故点P（－2，－5）.

0评注：本题第（1）利用待定系数法可求，其实质是利用已知点A，B布列关于系数a，b的方程组，求解方程组即可.第（2）问当PC∥AB，暗含点P的纵坐标是－2，列方程－2=x2+7/2x－2求解即可；第（3）问是二次函数与几何最值、动态问题.用分割方法列出面积是点P的横坐标m函数是关键，其次才是熟练掌握二次函数和一次函数的性质，注意利用数形结合思想进行解题.

另外还可以C作CD∥AB，交AP于G，再过P，G作y轴的平行线，交CD于H，GN⊥x轴，垂足为N.这样同样将一个三角形的面积分割为两个三角形面积之和，思路通畅，但运算繁琐，不作介绍.

4反思体悟

在知识网络的交汇处精心设计考题，将知识、能力与素质融为一体.中考命题必须以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为命题理念及依据，充分落实课程目标，确保复习方向.命题要有利于“教与学”的规律，所以回归教材，在教材原题上精心设计；同时突出了升学考试的选拔甄别功能，命题要体现出探究性、创新性和综合性.因此，教学中找出学生存在的问题，吃透学情、考情，设计合理问题梯度，深入剖析，澄清概念，保证绝大多数学生受益；要学会运用知识之间的交叉、渗透和组合.如上述考题，讲完后不再就题论题，进行一题多变，我们可以再创设一些问题情境，引领学生在解决复杂的问题情境中，形成可迁移的正确方法、必备品格和关键能力，实现认知结构的再攀升.

解答这样综合题时，要善于将较复杂的问题分解成若干个子问题，各个击破，注重通性通法；激发兴趣，在打开学生“逻辑通道”上换位思考，缓慢经历思维的缜密性，有足够的时间消化，才能消除学生对压轴题的畏惧感，攻难克艰，最终取得好的教学效果.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.