人教A版新旧教材关于“数列”的比较研究

邢芬

摘要：2019年人教版新教材正式出版，新旧教材之间所具有的差异也受到了广大教师的关注.本文通过对两版教材关于数列章节的内容结构、例题配置、习题难度等三个方面进行比较分析，揭示其中数列内容变化的差异，研究发现新版教材在内容上更加整体化，例题数量有所增加，部分例题加入“分析”部分，课后习题难度上有所降低.并据此提出注重单元整体教学，有针对性地布置习题以及注重作业的情境创设等几点教学建议.

关键词：数列；新旧教材；比较研究

1研究背景

教材一般是根据最新的课程标准编写的，系统地反映学科内容的教学用书.挖掘教材中的潜在知识，达到用教材教而不是教教材的状态，这是每一位教师都应该具有的基本能力.［1］数学教材是数学课程内容最主要的一个载体，是实施好数学教学的一个基本工具，数学教材为“教”与“学”活动提供学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标，发展学生数学学科核心素养重要的教学资源.［2］2019年人教版新教材正式出版，新旧教材之间所具有的差异也受到了广大教师的关注.本文选取人教A版新旧教材中“数列”这一章的内容作为研究对象，对新旧两本教材从内容结构、例题配置、课后习题难度几方面进行比较，揭示两版教材的具体差异，希望可以为广大教师提供一些参考.

2新旧教材“数列”的内容比较

2.1结构重整

新旧教材关于“数列”在章节上的分布及排版发生了一定的变化，变化的具体情况如表2-1所示.

从上面所列的表格中可以看出，新旧教材关于数列的内容在顺序和位置上发生了很显著的变化.旧教材中将数列和解三角形、不等式这两块内容放在一起，都在必修5这本书中，这三部分的内容之间所具有的联系并不是很紧密，不能很好地帮助学生去整体把握数学知识之间的联系.而新教材将数列和一元函数的导数及其应用一起放在选择性必修二当中，这两块内容都与必修一所学的函数内容有很大的关联，并且相对于必修一也比较难，因此把这两块放在选修当中学习，另外学生在學习这块内容时顺便可以复习一下必修第一册所学的函数内容.因此新教材的章节分布可以很好地帮助学生建立起函数的更完整的、紧密的一个大框架，有利于学生对函数进行整体把握，从而更好地学习.

新教材中将等差数列前n项和这一节内容与等差数列这一节内容合并成一大节内容，等比数列前n项和这一节内容与等比数列这一节内容合并成一大节内容.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中强调“要整体把握教学内容，要促进数学学科核心素养的连续性和阶段性发展”.［3］这样的章节分布有利于学生整体学习等差数列与等比数列，建立整体性、连续性的知识结构.其次是新增加了数学归纳法这一小节内容，但是该小节内容标了星号，作为选学内容，不作考试要求.数学归纳法是一种常见并且在高中阶段会经常用到的证明方法，非常有利于培养学生的逻辑推理能力，但也是比较复杂的内容.学优生掌握前面所学内容之后，可以留出时间和精力去学习这一小节内容，然而学困生就只需尽自己的努力把前面所学内容掌握不必对后面的数学归纳法有压力.因此教材将它列为选学内容可以让高中阶段不同学习水平的学生有所选择.除此之外还有一点不同就是新教材将阅读与思考的相关内容单列为一个小节的内容，这样比较容易引起学生的重视.

2.2内容优化

2.2.1加强了数列与函数之间的联系

新教材在一开始便通过三个不同情境下的例子引入数列的基本概念，紧接着就回顾函数的相关知识，引导学生把数列看作是特殊的函数，据此类比函数，用表格、图像、解析式这三种不同的方式来表示数列，然后再根据函数的单调性给出了递增数列和递减数列的概念.这种设计的方式突出了知识之间的衔接性、连续性，既加强了与函数的联系，又为后面的学习奠定了基础，有利于学生对数列本质的把握，形成一个完整的知识结构.而旧教材在讲数列的概念时强调了一下数列与函数的关系，后面几乎不怎么涉及了.并且有些地方只是通过一个例子来引入，然后就直接给出相关概念，这样不足以吸引学生的注意力，同时在内容上显得十分单调.新教材中关于强调数列与函数的联系是贯穿整章的，每一节中都以文字的形式突出强调数列与函数之间的联系.

2.2.2加强了与现实生活之间的联系

本章的每节内容都加入了与现实生活密切联系的例子.例如，等差数列的概念是由四个例子引入的，其中就有北京天坛、衣服尺码、银行贷款这些与我们日常生活息息相关的事物.等比数列是由古巴比伦时期发现的泥版、《庄子·天下》中数学问题、细菌分裂的知识、银行存款利率引入的.新教材中的例题和习题也紧密联系着现实生活和学生已经学过的知识.例如，等比数列一节中的例11和例12这两道题，将等比数列与生活中的垃圾处理问题和牛牧场经营管理问题结合起来.相比较之下旧教材中与生活有联系的练习题也没有新教材的多，使得这部分内容变得枯燥.因此新教材在这方面的强化是非常好的.在讲数学新概念时，为了更好地让学生理解，应该找一些现实生活中的例子，从而让学生对新概念更加感兴趣，激发他们学习的热情，使学生更好地接受知识.

综上所述，通过对比发现，新教材更加注重知识的整体化、结构化，注重知识与知识之间、知识与生活之间的联系.

3新旧教材“数列”例题配置的比较

例题作为数学教材的重要构成部分，也作为学习数学必不可少的重要资源，它的选择、布局、数量、设计等都影响着数学学习.新教材例题素材注重时代性，例题强调了分析的示范性.［4］本研究选取的例题是教材中标有“例1、例2、例3……”的题目.下表统计了数列这一章新旧两版教材在对应章节的例题数量：

由表2可知，新旧两版教材在“数列”内容上的例题数量差异较大，新教材的例题数量是30道，旧教材的例题数量只有17道.尽管新教材对章节排版进行了调整，只有四小节内容，但是例题数量并没有减少，反而增加了许多.两版教材的例题不仅在数量上有很大差异，而且在具体配置上也有明显差异.在例题的处理上，原教材中在例题后直接提供了解法，而新教材的部分复杂例题在“解”之前增加了“分析”的步骤.下面结合具体的内容来谈谈二者的差异.

对于数列的概念这一节，旧教材有3个例题，新教材有5个例题.新教材将旧教材中的3个例题都予以保留，并在此基础上增加了两个例题.新教材中在回顾了函数的相关知识，引导学生把数列看作是特殊的函数，让学生理解通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式就可以写出数列各项.紧接着就设置例1，让学生根据通项公式写出数列各项并画出图象，即让学生通过联系函数来理解数列，从而更深刻地理解数列的概念.对于例3，教材中先对其进行了分析：要判断120是不是该数列的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2+2n=120，也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解.然后进行了详细的解答.这道例题的设置可以让学生理解数列的特殊性，可以避免学生将数列与函数的概念混淆.例1和例3的增加使得整节的例题层层递进、由浅入深.

4新旧教材“数列”的习题难度比较

鲍建生教授指出：“数学课程的难度水平在很大程度上是由其中所包含的数学题的难度所确定的.”［5］他提出了习题难度综合模型，据此可以判断课程的综合难度.每个难度因素的水平划分以及对每个水平赋予分值的具体情况均如表3所示.

根据上述框架以及鲍建生提出的计算各难度因素的加权平均值公式，本文对新教材中的40道课后习题和旧教材中的48道课后习题从这5个难度因素进行比较分析，进而比较习题的综合难度.

4.1探究水平

对“数列”章节课后习题的探究水平进行统计分析，发现旧版教材与新版教材中属于“识记”水平的课后习题分别有5道、4道，二者占比分别为10.4%、10%，下降了0.4个百分点；属于“理解”水平的课后习题分别有24道、22道，二者占比分别为50%、55%，高出了5个百分点；属于“探究”水平的课后习题分别有19道、14道，二者占比分别为39.6%、35%，下降了4.6个百分点.新教材对于识记类的题目并无太大的差异，理解类的题目数量明显增多，探究的题目类型的数量有明显下降.由此可见，新版教材更侧重于对数学理论、方法和过程的理解，要求学生能对问题进行简单的分解或转化，从而对问题进行解答.对识记类的题目保留也有利于增强学生学习的信心.

4.2背景水平

对背景水平进行统计分析，发现旧版教材与新版教材中属于“无背景”水平的课后习题分别有31道、35道，二者占比分别为64.6%、87.5%，高出了12.9个百分点；属于“个人生活”水平的课后习题分别有4道、1道，二者占比分别为8.3%、2.5%，下降了5.8个百分点；属于“公共常识”水平的课后习题分别有7道、1道，二者占比分别为14.6%、2.5%，下降了12.1个百分点；属于“科学情境”水平的课后习题分别有6道、3道，二者占比分别为12.5%、7.5%，下降了5个百分点.新教材对于无背景类型的题目数量明显增多，对于个人生活、科学情境、公共常识这三个类型的题目数量都有所下降.由此可见，旧教材的课后习题背景情境更加丰富，而新教材更侧重于对数学背景的考查，情境的多样化有待进一步提升.

4.3运算水平

对课后习题的运算水平进行统计分析，发现旧版教材与新版教材中属于“无运算”水平的课后习题分别有12道、15道，二者占比分别为25%、37.5%，高出了12.5个百分点；属于“数值计算”水平的课后习题分别有4道、2道，二者占比分别为8.3%、5%，下降了3.3个百分点；属于“简单符号计算”水平的课后习题分别有17道、14道，二者占比分别为35.4%、35%，下降了0.4个百分点；属于“复杂符号计算”水平的课后习题分别有15道、9道，二者占比分别为31.3%、22.5%，下降了8.8个百分点.由以上数据得出新教材除了在“无运算”水平上增加了12.5个百分点之外，在其余三个水平上都有所下降，但是差异并不显著.由此可见，新版教材对于数学运算的考查难度有所降低.

4.4推理水平

对课后习题的推理水平进行统计分析，发现旧版教材与新版教材中属于“无推理”水平的课后习题分别有8道、5道，二者占比分别为16.7%、12.5%，下降了4.2个百分点；属于“简单推理”水平的课后习题分别有25道、14道，二者占比分别为52.1%、35%，下降了17.1個百分点；属于“复杂推理”水平的课后习题分别有15道、21道，二者占比分别为31.2%、52.5%，高出了21.3个百分点.总体来说新教材在“无推理”和“简单推理”两个水平上都有所下降，而在“复杂推理”水平上有所上升，且差异十分显著.由此可见，新版教材更侧重于对逻辑推理能力的考查，其考查难度也是显著高于旧教材的.

4.5知识含量

对“数列”章节课后习题的知识含量水平进行统计分析，发现旧版教材与新版教材中属于“一个知识点”水平的课后习题分别24道、17道，二者占比分别为50%、42.5%，下降了7.5个百分点；属于“两个知识点”水平的课后习题分别有20道、19道，二者占比分别为41.7%、47.5%，高出了5.8个百分点；属于“多个知识点”水平的课后习题都有4道、4道，二者占比分别为8.3%、10%，高出了1.7个百分点.总体来说新教材在“一个知识点”水平上题量降低，在其余两个水平上数量都有所上升.但是差异都不是很显著.由此可见，旧教材更侧重于对单个知识点的练习，新教材则加强了对知识的综合运用能力的考查.

4.6综合难度

上述我们根据五个难度因素对两版教材“数列”的课后习题的数量及其所占习题总数的百分比进行了比较，为了进一步了解其综合难度水平，我们计算了两版教材习题各因素的加权平均值.所得结果见下面的表9：

从统计结果可以发现，新版教材在探究、背景、运算这三个维度上都低于旧教材，在推理和知识含量这两个维度上略髙于旧版教材.总体来说新教材的课后习题难度是有所降低的.从上述雷达图的整体态势上看，新教材的习题在五个因素上相对比较平衡，说明新教材的课后习题考查的比较全面.但是新旧两版教材都侧重于运算、推理、探究三个因素，其中特别是“运算”因素，说明数学教学是非常注重培养学生的逻辑思维能力和运算能力的.

5结果分析

5.1结构和内容上的变化

新教材在旧教材的基础上进行了结构调整和内容优化，增加了数学归纳法，加强了数列与函数之间的联系以及与现实生活之间的联系，新教材更加注重知识的整体化、结构化.章建跃也提到新教材保证了数学学科的结构体系和知识的系统性，使内容的逻辑顺序更加合理.［6］因此新教材在内容和结构上的变化是合理的，且有利于学生系统地学习数列这一块知识.

5.2例题数量和配置的变化

新教材增加了例题和习题数量，素材也更为丰富.对于部分例题新教材在“解”之前增加了“分析”的步骤.对于增加“分析”步骤的设计旨在展现分析问题的过程，让学生学会分析问题，提高分析问题的能力，更体现出例题在分析问题方面的示范性.［4］在例题之后设置分析过程也可以帮助学生提供解决问题的思路，有利于找出具体的、可行的解题方法.

5.3课后习题难度的变化

新教材的课后习题难度在探究、背景、运算三个水平上都有所降低，在推理和知识含量两个水平上略高于旧教材，因此总体上新教材的课后习题难度有所降低.章建跃提到：“高考难度不降，绝大多数教师就不敢只讲教材，都要增加一些难题让学生练习.故实际教学中不仅增加了内容，而且提高了难度，这样就加重了负担.”［6］因此新教材通过降低课后习题的难度来提醒广大教师，不要一味增加习题的难度，注重通性通法，以便减轻学生的学习负担.

6教学建议

新教材在内容结构、例题配置、习题难度等几个方面都有所变化，在现实教学中教师应该根据差异适时改变教学策略，使得学生更好地适应新教材，更好地进行学习.据此提出如下三点教学建议：

6.1注重单元的整体教学

新教材更加注重知识的整体化、结构化.教师在教学中也应该根据新教材所具有的特点有针对性地改变教学设计，注重单元整体教学设计，使得学生更系统地学习知识.由于基础教育教材编写遵循“螺旋式上升”原则以及知识结构的整体性特征，以单元为主体强调学习内容相互联系的整体教学设计是提升课堂教学质量的有效选择.［7］因此教师要注重单元整体教学设计，需掌握一定程度的数学学科整体结构，整体把握中学数学教学内容与目标，合理使用数学教材.

6.2有针对性地布置习题

新教材在习题设计方面注重了层次性和探索性.原教材采用分A、B两组编制习题的方式以区分难度等级，而新教材分为“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三组习题区分难度，进一步细化了习题等级层次.复习巩固类的题侧重考查学生的知识基础，是为了帮助学生复习本节或本章已经学习过的知识.综合运用类的题注重对知识的理解、迁移和运用，需要学生综合运用新知识和以往所学知识来解决.拓广探索类的题注重拓宽学生的知识面，更多地联系其他学科和现实生活，需要学生深入思考和探究.这样设计让习题更有梯度，因此教师要有针对性地布置弹性作业，更好地满足不同发展水平学生学习的需要，让所有的学生都能不同程度地得到发展.

6.3注重作业的情境创设

新版教材在导入部分设置了银行存款、北京天坛、购买设备等现实情境的例题来吸引学生的学习兴趣，但是新教材中的课后习题更侧重于对数学背景的考查，情境的多样化有待进一步提升.新课标强调概念产生发展的背景，要求联系学生原有的認知基础，根据数学概念的特点选取具有时代特点、贴近学生实际的事例创设情境，引导学生通过观察、分析、归纳和概括，理解所学的知识.因此教师在布置课后作业时应尽量采用与其他学科或者现实生活相联系的情境，使得课后作业更丰富多彩，激发学生的兴趣，更好地完成作业.

参考文献：

［1］崔永宏，王仲，马绍文.人教A版新旧教材关于“解三角形”的对比研究［J］.中学数学研究（华南师范大学）：下半月，2022（1）：3.

［2］龙正武，高存明，王旭刚.高中数学教材改革的创新与实践［J］.课程·教材·教法，2020，40（7）：86-91.

［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）［S］.北京：人民教育出版社，2017：4.

［4］邵光华，张妍.人教A版高中数学新教材特色分析及使用建议［J］.课程·教材·教法，2019，39（12）：109-114.

［5］鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较［J］.全球教育展望，2002，31（9）：48-52.

［6］章建跃.核心素养导向的高中数学教材变革—《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写［J］.中学数学教学参考，2019（6）：6-10.

［7］王海青，吴有昌.基于数学单元的整体教学探索与实践：问题驱动的视角［J］.数学通报，2022，61（3）：7.