HPM视角下三版高中数学教材中数列内容的对比研究

杨福勇 杨正朝 张龙宇

摘 要：为了解数学教材中数学史分布情况，促进数学史融入数学课堂.研究以人教版、苏教版和北师大版高中数学教材为对象，从章前页、内容编排、呈现方式、数学史四个方面对数列内容进行对比分析.基于此，提出几点建议：统筹规划教材中数学史的“数量”及“质量”；基于HPM视角下设计教学，促进数学教学的多元化；数学史融入要符合学生的认知发展，合理设计教材内容.

关键词：数列；数学史；教材对比

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，要将数学文化融入课程内容中，在教学中引导学生了解数学的发展，感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，提升学生的科学精神、创新意识和人文素养［1］.可见，课标强调了数学文化在课程实施中的重要性，数学史作为数学文化的重要组成部分，其融入课堂是十分必要的.近年来，随着数学史研究的深入，其已然成为数学教育界的研究热点.HPM（数学史与数学教育之间的关系）视角下的数学研究成为众多学者关注的焦点，相关研究成果不断涌现.对此，研究以人教版、苏教版和北师大版高中数学教材为对象，从章前页、内容编排、呈现方式、数学史四个方面进行对比分析，旨在为教材编制和教学开展提供参考.

1 三版教材中数列内容的对比分析

1.1 数列中章前页的对比

在章前页中，三版教材都以不同的情境创设，介绍了数列在实际生活中的应用.人教版和苏教版都是通过现实生活情境提出问题，而北师大版则利用科技史来揭示数列的内涵，透过数字的规律性探索数学本质及特征，注重培养学生的“四能”.不同之处在于：一是，数学核心素养的提出，人教版和北师大版直接给出，而苏教版没有；二是，苏教版有安排章目录，这便于学生清晰地了解本章要学习的具体内容，而人教版和北师大版没有.

1.2 数列中内容编排的对比

通过对章节目录进行梳理，统计三版教材数列内容编排情况（表1）.在内容编排上，三版教材

存在着一定的异同点.共同之处在于：一方面，三版教材都遵循由“数列→等差数列→等比数列→数学归纳法”循序渐进的内容排序，符合学生认知发展.另一方面，都将斐波那契数列作为阅读素材，扩充了学生课外阅读量.不同点：一是，章节数不同，人教版和苏教版都是设计了四节，而北师大版有五节.二是，北师大版将函数特性放在第一节中，并增设了“数列在日常经济生活中的应用”，反映了以函数视角看待数列问题，强调了数列与实际生活的关联性，而人教版和苏教版尽管没有独立设计此内容，但是在文中却有所体现.

1.3 數列中呈现方式的对比

数列、等差数列、等比数列作为数列学习的主要内容，研究以这三个板块内容作为分析对象，将其以概念导入的呈现方式罗列出来，见表2.

由表2可知，在呈现方式中，能够发现三版教材概念导入方式大致一样，都是以不同的情境设计数学问题，让学生归纳其共同特点，从而得出相关概念，培养学生发现问题和提出问题的能力.不同点在于：一是，从情境类型来看，人教版和北师大版的问题情境更为丰富，其中涉及数学史方面的内容，如高斯的等差数列求和方法，能够让学生了解数学的演变，培养学生数学家所具备的探究精神以及数学学习的兴趣.二是，在等比数列的前n项和中，苏教版没有背景导入，比较直接地提出“如何求等比数列的前n项和？”这一问题，略显生硬，尤其是基础差的学生，很难快速进入问题解决过程.三是，北师大版在每个概念导入环节，都增设了由案例分析到抽象概括的过程，将“抽象概括”单独设计出来，从中能够清晰地体现出从实际问题解决到抽象化的过程，其层次清晰，特点鲜明，让人眼前一亮，充分展现了培养数学抽象能力的重要性.尽管人教版和苏教版没有刻意突显抽象概括这一板块，但实际上是蕴含的.

1.4 数列中数学史的对比

数学史作为数学文化的重要组成部分，教科书作为数学课堂的重要工具.梳理教科书内的数学史内容，能够为数学史与数学课堂的融合创造条件.因此，对数列这一章的数学史进行分析，由于数列内容中，个别“阅读与思考”板块出现多个数学史介绍，如人教版第42页的“阅读与思考”连续出现古埃及的“加罕纸草书”、中国古代“垛积术”、刘徽在《九章算术》给出等差数列的求和方法等，本文进行统计，统计结果如表3所示.

在数学史总数上，人教版最多，出现次数高达11次；其次是苏教版，有7次；最后是北师大版，仅有2次.由此可见，人教版与苏教版较为注重数学史融入教科书，为相关数学问题提供了丰富的背景知识，拓展了学生的眼界.在数学史类别上，三版教材主要以人物与事件、问题与求解、概念与术语等为主，例如杨辉所著《详解九章算法·商功》中的“三角垛”、刘徽在《九章算术》中给出了等差数列的求和方法、斐波那契数列，介绍了数学家及其著作、问题的解法和术语的产生等相关内容，充分体现了数学的魅力，让学生亲身体会数学的历史演变以及数学家在探究真理的科学精神，激发学生的学习兴趣.在数学史安排的位置上，主要安排在教材的习题、阅读与思考部分.一方面，数学史与教材习题的融合是高考命题的源头，其不仅能够极大地提升学生利用数学知识解决实际问题的能力，而且为学生提前适应高考试题打下坚实的基础.另一方面，阅读与思考不仅仅是阅读素材那么简单.近年来，随着高考改革，高考中部分试题的问题情境加大了对学生阅读和理解能力的考查，通过学习阅读与思考部分，不但能够拓展学生知识面，提升学生的快速阅读能力，也可以满足学生的好奇心，尤其是其中蕴含着公式证明、术语引入等内容，能够培养学生推理和探究的能力.此外，苏教版在4.2等差数列习题中，设计了一道开放型试题，即“查阅‘杨辉三角、《四元玉鉴》等资料，撰写小论文”，试题新颖独特，能够营造学生内部的学习氛围，提升学生民族自豪感和文化自信，感悟我国古代数学的辉煌成就，落实立德树人的目标.

2 几点建议

2.1 统筹规划教材中数学史的“数量”及“质量”

通过上述研究表明，三版教材数学史的数量存在一定的差异性，尤其是北师大版，对数学史的编排相对较少.近年来，高校教师、研究者以及一线数学教师纷纷投入数学史融入数学教学的探索中，并取得了一定的成效，针对数学史的研究成果与日俱增.这足以证明在教科书中渗透数学史的学习是十分有必要的，得到了众多学者的肯定.因此，一方面，要增加数学史的数量.可以从习题出发，在相关例题、习题、复习题等环节，以数学史为背景知识，设计数学问题，这样做既可以满足命题需要，丰富试题数学文化内涵，同时也可以培养学生在前人知识的沉淀中，学会独立解决相关数学问题，培养探索精神，激发求知欲.亦可以在“章前页”和“阅读与思考”中添加数学史，有利于引出章节内容要点，为拓展学生知识面提供必要的理论基础，尤其是介绍一些重要数学公式、公理的证明，抑或者增设相关数学名词的由来等方面的内容.另一方面，毫无节制的量的堆积往往会适得其反.这就需要教材编制人员在选择史料时，充分考虑到数学本身的特点，重视数学史的教育价值，立足于趣味性、科学性、有效性、可学性、新颖性等原则，促进学生对数学知识的理解.

2.2 基于HPM视角下设计教学，促进数学教学的多元化

上述研究发现，多数数学史内容更多地放置在正式教学内容之外，如阅读与思考等位置，对于学生而言，阅读与思考部分往往容易受到学生忽视，加上高中课程较多，作业压力大，极少有学生去学习，这也就导致了其设计的數学史内容没有受到学生的足够重视，没有起到应有的教育意义.此外，在以往的教学实践中，多数教师为了节省授课时间完成教学任务，通常直接讲授知识点和习题，这就使得数学课堂缺乏生机，枯燥无味，营造了较为压抑的课堂氛围.为了落实数学史在数学教学中的价值，活跃课堂氛围，教师应该合理设计数学史融入数学教学的应用，通过挑选优质数学史料，基于HPM视角设计教学，将数学史的价值真正实现在课堂中落地生根.如利用印度泰姬陵的陵寝中等边三角形图案，计算宝石总个数，引出等差数列前n项和求法，或引入高斯的简单求“1+2+3+4+…+100=？”的方法，进而抽象出等差数列前n项和的方法.通过上述实例，能够启发学生思考问题的积极性，培养学生主动探究的乐趣，实现数学教学与数学史的有机融合.

2.3 数学史融入要符合学生的认知发展，合理设计教材内容

三版教材在设计数列概念引入时，都是以现实生活方面知识为情境来创设问题，充分符合学生认知水平现状和教材内容的编排逻辑顺序.倘若将三版教材阅读材料部分都涉及的“斐波那契数列”作为数列概念导入的背景，可能会导致学生对理解数列概念造成困难，原因在于斐波那契数列虽属数列范畴，但是从阅读材料中不难发现，其蕴含着大量的文字简介，数字规律性较强，涉及的语言表述对于初学数列的学生来说，晦涩难懂.对此，教科书将其放置在阅读材料中，是有一定道理的，这样能够供有兴趣、有能力的学生增加课外数学阅读量，形成理性和逻辑思维.因此，要统筹教材内容排版，基于学生认知，保证数学史与教材内容的适切性，在教科书中融入数学史要有章可循，数学史的位置要符合教材内容的逻辑顺序，同时，正文中切勿设计难度较大的史料背景，以免学生形成畏难情绪.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.