选用合适的方法，高效求解三角函数最值问题

王璐

三角函数最值问题的常见命题形式是：（1）根据已知三角函数的解析式和定义域，求三角函数的最值；（2）根据已知关系式和变量的取值范围，求某个三角函数式的最值.解答三角函数最值问题的方法很多，如配方法、换元法、导数法、数形结合法等.本文主要介绍一下三种求三角函数最值的方法.

一、配方法

对于二次三角函数最值问题，用配方法解答比较有效.首先运用三角函数的基本公式进行恒等变换，将三角函数式化为同角、同函数名称的式子；再将函数式配方成 f（x）=（x - m）2+ n 的形式；然后根据二次函数的图象和性质求最值.在求最值时，要注意定义域的取值范围以及三角函数的值域.

例1.已知 sin A + sinB = ，求 sin A - cos2 B 的最值.

解：

在遇到二次三角函数最值问题时，一定要先将函数名称和角统一，然后再进行配方，这样有利于提升解题的效率.

例2.求函数 y =-sin2α-3 cos α+3的最小值.

解：

对于二次三角函数式，常需运用同角的三角函数关系式 sin2α+ cos2α=1和二倍角公式进行三角恒等变换，以将函数名称和角统一.再通过换元，将三角函数式转化为一元二次函数式，根据二次函数的性质和三角函数的性质来求最值.

二、换元法

对于一些比较复杂的三角函数式，可以考虑使用换元法来解题.在解题时，需将三角函数式中的某个式子用一个新变量来替换，从而将三角函数最值问题转化成关于新元的函数最值问题.在换元时，要将所求的式子与已知关系关联起来，选择合适的部分进行换元.

例3.求函数 f（α）= 的最大值.

解：

由于之间存在一定的联系：（sin α+ cos α）2=1- 2 sinα cosα，于是引入新变量μ，令 sin α+ cos α=μ，然后用μ来表示目標函数，这样就能将问题成功地转化成函数最值问题来解答.

例4.求函数 y =（sin α-2）（cos α-2）的最值.

解：

首先将函数变形；再引入新的变量参数γ，令γ = sin α + cos α ，根据辅助角公式求出 γ 的取值范围；然后运用换元法，将三角函数最值问题转化为关于变量 γ 的二次函数最值问题；最后根据二次函数的单调性，求出函数的最值，即可轻松解题.

三、导数法

对于含有指数、对数式、高次幂的三角函数式，往往需运用导数法来判断函数的单调性，进而求得三角函数的最值.在解题时，要先对函数式进行求导；然后令导函数为0，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性：若导函数大于0，则该函数在定义域内单调递增；若导函数小于0，则该函数在定义域内单调递减.一般地，导函数的零点即为函数的最值点（极值点）.

例5

解：

因此函数的最小值为-4. 我们首先要对函数进行求导；再令导函数为0，求出 x 的值，即可确定函数的极值点，从而求得函数的最小值.

可见，解答三角函数最值问题，同学们要注意三个要点：（1）要灵活地运用三角函数的各种基本公式，通过恒等变换来化简三角函数式；（2）要重点关注变量的取值范围和函数的定义域；（3）要灵活运用 y = sin x、 y = cos x 、y = tan x 的单调性.