从整体到局部,从具体到抽象的原则

张国林

摘 要：新的课程结构对老师“教”和“学”的作用很大，通过对比研究，明确了教材编排的基本原则：整体到局部再到整体.空间想象力是学习立体几何的基础和关键.很多学生对立本几何“望而生畏”，其根源在于对空间的想象力不足，导致“事倍功半”，效果不佳.作为教师，应该在平时的教学中进行积极的探究和深思，使学生能够更好地发挥自己的想象力.文章以“直线与平面垂直的判定定理”为实例，探讨了由整体到局部，由具体到抽象的编排原理.本文旨在通过对高中生的空间想象力的培養和提高，使其能够充分利用和发挥课程结构优势.

关键词：立体几何；空间想象能力；能力培养；高中

《普通高中数学课程标准》提出了“以图形为基础，以几何直觉、空间想象力为核心的发展”的概念.教材是教师“教”、学生“学”的载体.所以，作为一名数学教育者，必须仔细阅读教材，把握教材的编写与编排，准确把握课程结构，实现从“教材知识”到“教学知识”的转换.这有利于学生实现从“教学知识”到“学习能力”的转化，从而促进数学的学习和想象力的发展.要改变教学大纲，就必须修改章节的次序，并修改特定的内容.“直线与平面垂直的判定定理”是立体几何中的一个重要命题，然而，由于种种原因，一些学生对“直线与平面垂直的判定定理”的认识有一定的困难，更别提合理、巧妙地运用了.长期这样下去，对学生的数学能力、技巧的培养是不利的.立体几何是高中数学中最难的一部分，它需要学生有一定的想象力，不然学生很难掌握和运用这一领域的知识.因此，在教师的立体几何教学中，如何培养学生的空间想象力是至关重要的、根本的问题.

1 直线与平面垂直的判定定理的教学初识

在教授直线和平面的垂直定义时，一般都是通过多媒体来进行示范.在实际生活中，有许多直线和平面之间的关系被称为“垂直”.问题在于如何正确地确定直线和平面的垂直.在教学中，有些教师采用了指导学生归纳概括的方式来进行精确的界定.我们可以规定，当一条直线与一个平面上的所有直线都垂直时，它就是垂直于这个平面的；也可以说，当一条线垂直于一个平面上的两条线时，它就是垂直于该平面的.众所周知，这两个条件其实是对等的，能够互推出来.因此，两个方案都是可行的，但经过对比之后，他们认为前者更有道理［1］.

2 直线与平面垂直的判定定理的教学策略

2.1 挖掘教材，精准定位

认真挖掘课程标准以及教材，厘清教材的思维方式，是正确把握教学的中心和主题.课堂教学是为了提高学生的学习能力、思考能力和问题解决能力.为了使课堂教学具有目的性和针对性，亟需意识到教科书的不可取代性.要对教材进行仔细的研究，厘清教材的编排原理，使其符合学生的认识规律，从而达到较好的教学效果.

直线与平面的垂直是一种特殊的直线与平面的关系，是空间中直线与直线的垂直关系的扩展，也是平面与平面的垂直的基础.在进行学习研究直线与平面垂直的判定定理时应当以直观、抽象的方式让学生进行理解、学习，进一步提高学生的空间想象力、几何直觉、逻辑推理、使用图形语言进行沟通的能力，同时让他们体会和领悟转换的数学思维［2］.

比如，关于“直线与平面垂直的判定定理”的编排.从转动的直角三角板教具开始，再提出了“怎样判定一条直线与一个平面垂直”的问题，使教师和学生能清楚地了解这一章节的教学目的，有利于教师和学生能够明确地、有针对性地实施教学活动.它不仅可以有效地改善课堂教学效果，而且符合高中学生的认知规律，能够激发他们的学习热情.在阅读教科书时，我们会发现，“怎样判定一条直线与平面是垂直的”这个问题是有一定难度的.为简化这一问题，选取了教师和学生比较熟悉的正方体ABCDA′B′C′D，把问题分为两个情况：第一种情况如图1：b、c为平面ABCD中的两条直线（平面ABCD简记为平面α），并于B点相交.直线a垂直于直线b、c即a⊥b，a⊥c，如此可推导出a⊥α.第二种情况如图2：平面BB′C′C（即平面α）内的两条直线b、c相互垂直，但平面α与直线a并不垂直.

问题的中心内容是“直线与平面垂直的判定定理”.利用数形结合思想，把问题分成两个部分，把抽象的问题具体化，并将“整”转化为“零”，使其更符合目前高中学生的认知规律和学习能力，对提高学生的空间想象力有一定的帮助.

2.2 借助小组合作，深化知识印象

师：大家能不能从直观形象的角度，来界定直线和平面的垂直？每个人都要先考虑自己的观点，然后将自己的观点与同学们进行沟通.

组1：一条直线与平面内的一条直线垂直，它就与这个平面相垂直.

组2：一条直线与一个平面上的无数条线垂直，这条线就是垂直于一个平面的.

组3：两个都不是，必须是一条直线和一个平面上的任何直线，这样就可以获得一条直线和一个平面的垂直.

师抓住机会问道：一条线还不够？为何要垂直于一个平面上的任何一条直线？

同学们可以就地取材，如果一根钢笔所处的线a与另一根钢笔所处的线b相垂直，那么a线可能不会与b线所在平面相垂直.如果一根钢笔所处的线与桌子上几根平行的钢笔所处的直线相垂直，那么该线也可能不会与桌面保持垂直.

老师：学生的分析非常有意义.只要一条直线和一个平面上的任何一条线都是垂直的，就可以确定这条线是垂直于一个平面的.这样确定是对的吗？我们可以通过操场上的一根旗杆来分析一下，这条线和地上的旗杆的阴影是怎么回事？大家可以得到怎样的结果？

生：直线BC与BC在地上的阴影相交.尽管太阳的高度一直在变化，这种垂直关系依然存在.

师：BC在地上的投影和BC线是何关系？

生：为垂直关系.

师：因此，大家对直线和平面的垂直定义是正确的.最后我们可以得出：如果一条直线和一个平面内的任意两条相交直线垂直，则该直线与平面垂直.

在新课改中，立体几何的教学目标出现了较大的改变，具体表现为：对判定定理的论证需求日益减弱，对学生的直观感知、理性推理和空间想象力的需求在不断增加.教材是教师“教”、学生“学”的载体，因此，作为教学一线的教师，必须认真分析教材，在此基础上，应根据学生的心理、认知特性，进行有针对性的、有目的性的教学，培养学生的观察、推理、想象、归纳等数学能力.关于“直线与平面垂直的判定定理”的编写，可以分为“问题提出”与“抽象概括”两个部分.“问题提出”部分已经在前文中表达，下文将对“抽象概括”的部分加以重现.数学学习不是一朝一夕就能完成的，而是要依靠学生的接受程度和能力逐步提升.自主探究，让学生掌握好课堂.教师的工作仅仅是为学生自主学习做准备，其重点在于培养学生的逻辑思维［3］.

2.3 利用多媒体探究，强化概念运用

师：经过前面的学习和练习，请大家利用已学的知识辨析以下命题：

若一条直线垂直于平面内所有直线，可推出此直线与该平面为垂直关系.

若一条直线垂直于平面内的无数条直线，可推出此直线与该平面为垂直关系.

生：第二个命题是错误的，无数条直线不等同于所有直线，如果是无数条平行直线，就难以证明该平面与直线是垂直关系.

现代多媒体技术的发展与运用，极大地方便了课堂教学，是提高教学效果的重要途径.高中立体几何题需要较强的抽象和空间想象力，并具有较多的变数，特别是载体复杂、变量多的问题.学生虽然对基础知识有了一定的了解，但在解决问题时常常无法把握问题的关键点，从而难以顺利地完成题目.究其原因，是因为学生缺乏动态想象力，不能将所学的知识活学活用.而利用现代多媒体技术的灵活应用，可以极大地解决这个问题.由于这种方法可以非常方便、清楚地显示出特定的立体结构，而且可以很容易地将某些重要的几何变化过程进行动态地显示，这样就可以在动态演化的过程中，培养学生的空间想象力.例如可以在教学“三垂线定理”的过程中使用多媒体制作的立体投影.让学生慢慢地旋转，多角度地观看、体验，进而在动态的立体演变中，获得对理论的深刻认识.在此基础上，培养了学生的动态想象力.因此，多媒体技术在立体几何教学中有着广阔的应用前景，它不但能将相关的几何图形进行立体的再现，而且还能使学生对几何元素的位置、特征、相互关系进行动态的观察与分析.在空间几何要素的位置变化时，采用投影法进行展示更为形象、生动.因此，在中学立体几何课上，要充分运用现代多媒体技术，从而实现对学生的动态想象能力的培养.当然，凡事都有双面性，不能过度运用多媒体技术，否则会导致学生分心，从而产生事与愿违的效果［4］.

2.4 利用形象物体，加深巩固记忆

师：从上一节课中，我们可以回忆起在空间中的直线和平面之间的哪些位置关系？

生：平面内的线、线垂直于面、线平行于面、线与面相交.

师：通过学习，我们掌握了线面平行的哪些知识？

生：关于线面平行的定义及性质，将线与面的平行转换为线与線的平行.

师：根据研究的先后次序，我们要先研究一下直线和平面的交点，然后再讨论一些特殊的关系，你觉得哪一种比较特别？

生：线面的垂直关系.

数学思维通常源自于求解现实问题或者是数学本身的发展需求.在其理论、规则、方程式等冷冰冰的表象下，潜藏着原始而生动的教学思想.所以本课的第一步就是建立一个研究问题的构架，体现在对问题的研究次序和问题的转移上.另一方面，再通过感知生活，将抽象具体化.

师：举例说明日常生活中与我们所学有关的例子.

生：教师墙角所在的直线与地面垂直、桌椅的腿与地面垂直、操场上的旗杆与台面垂直……

在新课改的指导下，教师应积极转变传统的教学理念，将“生活化”的教学理念融入小学数学，使其成为一种高效的教学方式［5］.将数学与日常生活相结合，让学生在生活中学习，提高对数学的兴趣，并培养他们的逻辑思维和创新能力.同时，学生在进行独立思考的时候，也能感受到数学与生活的关联，能够运用所学到的知识，发现问题、提出问题、解决问题.将数学与实践有机地联系在一起，达到了灵活应用，激发了学生的求知欲，创造了一个良好的学习氛围.除此之外，立体的空间感觉是空间想象力的重要组成部分，高中新教材中清楚地规定，学生要有转化几何、三视图、展开图等的基本能力.教学实践证明，缺乏立体的空间感觉，不能在头脑中实现立体造型与几何造型的转换，是造成学生空间想象力不足的重要原因.在三维几何教学中，这是一个很大的障碍.最实际、最行之有效的方法，就是充分运用数学模型，让学生在学习过程中，充分体会到模型的制作和运用.在教学实践中，教师对学生进行适当的指导与指点，让学生逐渐形成对空间概念的认识，培养他们的空间想象力.因此，由学生自己制作或加工立体模型，其最大的优点是直观，学生能够由象征性的思考向抽象的思考转变，进而培养出更强烈的立体感［6］.

3 结束语

教科书是教学的主要载体，但通过对教科书的比较，可以看出新旧教科书在编排上的不同，新的教科书的编排结构可以归纳为“整体到局部再到整体”.从本质上看，旧版的课程体系是“直线式”的，而新的教科书则是“螺旋式”和“直线式”的.它的严密性和逻辑性，有利于教师进行教学，但与学生的认知、心理结构不符.而教科书则是以学生为主体的学习活动，服务于学生的学习.因此，在编写教科书时，应充分考虑到学生的发展特点、发展规律，从而实现从知识结构到认知结构的转变.

参考文献：

［1］ 李美熊.数学核心素养下高中立体几何教学研究［D］.海南师范大学，2021.

［2］ 吕绿.高二学生线面相交学习现状的研究［D］.河北师范大学，2019.

［3］ 李坤.基于直观想象素养下的高中数学立体几何定理教学研究［D］.西华师范大学，2019.

［4］ 马蔼琳.高中生立体几何学习障碍及对策的研究［D］.上海师范大学，2011.

［5］ 王维银，戚加国.空间中直线、平面位置关系判断的途径［J］.考试（高考数学版），2008（Z6）：2227+109110.

［6］ 孔小明.“直线与平面垂直的判定（一）”教学设计［J］.中小学数学（高中版），2008（4）：2225.

［7］ 章建跃.利用图形建立直观通过代数运算刻画规律——“空间向量与立体几何”内容分析与教学思考［J］.数学通报，2021，60（6）：16.

［8］ 许荣好.分形几何在高中数学中的渗透［J］.数学之友，2022，36（1）：5859.

［9］ 鲁和平.构造余弦定理模型解题［J］.数学之友，2022，36（1）：6870.