基于系统思维的数学教学问题设计

白军鹏

摘  要：基于系统思维，遵循“单元核心问题—课时主问题—序列子问题”进行问题设计，引导学生在把握单元整体结构和课时认知结构的基础上，建立研究的思维路径. 以“函数的单调性”为例，结合“学什么、为什么学、怎么学、学了什么、还能学什么”对“序列子问题”的设计进行说明.

关键词：系统思维；单调性；问题设计

系统思维是把认识对象作为一个完整的系统，分析系统和要素、要素和要素、系统和环境之间的相互联系及相互作用，综合考查认识对象的一种思维方法. 系统思维关注从整体上认识事物，由宏观到微观，有助于学生建立逻辑连贯的认知体系；系统思维关注事物之间的联系，通过系统内外各要素之间的多元整合，以及对同一事物多维度、多参照、多角度的多元透视，丰富对认识对象的理解；系统思维始终致力于系统中人的发展，这恰与教育的目标一致.

如何在教学中更好地培养学生的系统思维呢？笔者认为，可以从问题的设计切入，即站在系统的高度，结合知识发展逻辑和学生认知规律，遵循“单元核心问题—课时主问题—序列子问题”这一顺序设计一系列逻辑连贯、內在关联、不同层次的问题，以知识学习为载体，以问题解决为线索，引导学生从整体到局部，多层次、多角度，有序灵活地认识研究对象，从而形成稳定的、动态发展的良好认知结构，学会思考，学会学习.

下面以沪教版《普通高中教科书·数学》必修第一册“函数的概念、性质及应用”这一单元中“函数的单调性”一课的教学为例进行说明.

一、基于单元知识整体视角，设计单元核心问题，引导学生把握单元整体结构

对数学中新对象的研究，一般需要经历“背景—概念—性质—结构（联系）—价值（应用）”的过程，具体解释如下.

（1）明确研究对象. 从现实情境、科学情境或数学情境中发现研究对象，抽象该对象的本质属性，形成概念.

（2）获得对象的性质. 分析构成该对象的基本要素及相关要素，探究这些要素之间的关系，获得性质.

（3）形成对象的结构. 通过与单元内部及外部、学科内部及外部相关知识的联系，形成研究对象的认知结构.

（4）认识对象的价值. 在学习和应用的过程中，不断认识对象的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.

基于这一研究的“一般套路”，可以从整体的角度设计某一单元的核心问题. 例如，对于“函数的概念、性质及应用”这一单元，可以设计以下问题：什么是函数？函数有哪些基本性质？函数与哪些知识有密切的联系？函数的价值体现在哪些方面？

对于每个单元，都可以引导学生类似地去分析研究对象. 这样的教学，一方面，有利于学生把握单元内容的整体结构；另一方面，有助于学生掌握研究新对象的思路和线索，提高自主研究新对象的能力.

二、遵循课时知识学习逻辑，设计课时主问题，引导学生形成课时认知结构

在整体把握单元结构的同时，针对某一课时内容，可以结合该内容“从何而来、是何内容、为何如此、有何关联、有何用处、是何结构、还有什么”这一微观结构，从学生的知识起点和已有经验出发，围绕“学什么、为什么学、怎么学、学了什么、还能学什么”设计课时主问题. 当然，相关问题的呈现顺序可以依据研究对象灵活调整.

对于“函数的单调性”这一课的教学内容，由于单调性是函数的基本性质之一，因此结合单元主问题，确定核心问题是：如何研究函数的单调性？

从知识起点来看，学生在初中阶段已经对单调性有了充分的感性认识，再经过高中阶段对“幂函数、指数函数与对数函数”一章内容的学习，学生对于严格增函数、严格减函数、单调性等概念及证明过程也有了初步的了解. 因此，本节课并不是全新的内容，可以通过问题引起学生的认知冲突，体现研究的必要性.

从认知经验来看，在对函数奇偶性的研究中，按照从特殊到一般、从直观到抽象的思路，学生已经完整经历了从几何直观到自然语言描述再到符号表征的概念形成过程. 在此基础上，学生又从一般到特殊、从抽象到具体地学习了具体函数奇偶性的判断与证明方法. 学生研究函数奇偶性的思路、方法及积累的经验可以直接迁移到本节课的学习之中，从而解决本节课研究什么和怎么研究的问题. 如果进一步拓展思考，自然就产生了“还有哪些性质需要研究”这样的问题.

基于以上分析，围绕“函数的单调性”一课的具体内容，可以设计如下课时主问题.

（1）为什么要研究函数的单调性？

（2）函数的单调性要研究哪些内容？

（3）如何定义函数的单调性？

（4）如何理解函数的单调性？

（5）如何判断函数的单调性？

（6）本节课学了什么？你还能提出哪些研究问题？

其中，问题（1）围绕“为什么学”设计，问题（2）围绕“学什么”设计，问题（3） ～ （5）围绕“怎么学”设计，问题（6）围绕“学了什么、还能学什么”设计. 6个主问题既相对独立，又相互交融，贯穿了“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题—评价问题—发现新问题”这一研究过程，有助于引导学生体会研究的路径，形成系统、有序的认知结构.

三、关注思维结构的形成，设计序列子问题，引导学生建立具体研究的思维路径

在单元核心问题的统摄下，围绕课时主问题，教师可以从思维对象、思维过程、思维结果、思维监控等视角，预设关联性强、开放程度高，有利于促进学生反思的序列子问题. 在教学过程中，随机应变、因势利导，引导学生明确思维对象、找准思维起点、把握思维方向、变换思维角度、体会思维方式、优化思维过程，积极、主动、有序、深入、灵活思考，不断形成可操作的认识事物的方法路径.

1. 关注不同内容的联系，设计关联性子问题，引导学生建立认知网络

一个有生命力的系统，其各要素之间应该是“各得其位”又“相互联通”的. 因此，设计子问题时，要有意识地建立课时内容与单元内、单元间甚至跨学科内容的联结，努力实现不同内容之间的纵横贯通.

教师可以从知识内容关联、思想方法关联、研究视角关联等方面提出问题（如图1）.

知识内容关联：引导学生注重纵向、横向的联系与贯通，建立知识之间的关联. 例如，对于函数的单调性，除了关注其与奇偶性、最值等函数其他性质的对比，还可以在后续的学习中不断建立其与直线斜率、导数、单调数列等内容的关联.

思想方法关联：引导学生运用相同或类似的思想方法研究一类数学问题，体会思想方法关联. 例如，运用特殊与一般、直观与抽象、局部与整体等方法研究函数的性质等.

研究视角关联：为学生提供研究某一类核心问题的基本视角或思考框架，关注研究的视角关联. 例如，在研究函数的单调性时，可以围绕“因变量随自变量变化的过程中不变的规律即是函数的性质”这一基本视角，引导学生类比函数奇偶性的研究过程与方法展开探究.

长期坚持设计关联性子问题，一方面，可以实现旧的不旧、新的不新、难的不难，让学生学得更加轻松有效；另一方面，有助于学生站在系统的高度，形成动态发展的、不断完善的认知结构.

2. 关注思维的有序与创新，设计开放性子问题，引导学生体会思维的一般方法

除了封闭性问题，还可以增加开放性问题的设计，从而提高思维的开放度. 教师可以设计条件开放、结论开放、解答思路和方法开放等不同形式的问题，但也要注意设计体现不同层次学生不同回答水平的问题，从而调动学生广泛参与，引导学生进行多角度的创新思考（如图2）.

关于开放性子问题，可以引导学生找准思维的起点、把握思维的方向、体会思维的角度，进行有逻辑地思考.

找准思维起点：可以从问题本身的信息、涉及的知识内容及思想方法等方面引导学生进行特征识别、多维联想，学会有依据地思考.

把握思维方向：可以从正向与逆向（或侧向）、肯定与否定、内部与外部等方面引导学生有条理地思考.

体会思维角度：可以从特殊与一般、分析与综合、静态与动态、局部与整体、有限与无限、定性与定量、数与形等方面引导学生体会认识事物的不同角度. 另外，还要注意设计与呈现思维结果有关的子问题，引导学生利用树形图、概念图、思维导图等不同形式构建认知结构图.

通过设计不同类型的开放性子问题，引导学生在学会有序思考的前提下，将不同的思维方式进行灵活运用，逐步走向创新思考. 另外，难度较高的开放性子问题，往往需要小组合作才能完成，这也有利于丰富课堂的互动方式，进一步转变学生的学习方式.

3. 关注思维的显性化和即时监控，设计反思性子问题，引导学生不断优化思维

在设计子问题时，还要特别关注对思维的监控，可以从知识技能、思想方法、思维过程、交流互动等角度设计反思性问题，在促进学生思维显性化与结构化的同时，引导其不断优化思维（如图3）.

以下列出了各个角度可能提出的一些问题.

知识技能角度：研究了什么？为什么研究？得到了什么结论？还有什么可以研究？

思想方法角度：研究过程体现了哪些思想方法？这些思想方法是怎样体现的？这些思想方法还有哪些内容体现过？

思维过程角度：该问题怎么研究？还可以怎么研究？你是怎么想的？你遇到了什么困难？如何想到？还可以怎么想？怎么想更好？这些想法之间有没有内在的联系？由此你还能想到什么问题？

交流互动角度：刚才的同学回答得怎么样？他的回答给了你一些什么启发？你有哪些体会？你还有什么疑惑？你会给他一些什么建议？

对于反思性子问题，通过学生自评、同伴互评、教师点评等方式开展教学，有利于实现思维过程看得见、相关结论说得清、相互关系理得顺、思想方法悟得透、实践应用用得好的目标.

四、“函数的单调性”子问题设计案例

下面结合“函数的单调性”的6个课时主问题，谈一谈每个主问题对应的子问题设计.

主问题1：为什么要研究函数的单调性？

预设子问题如下.

子问题1：图4表示的是某地某天24小时温度变化情况．这一天温度的变化有什么特点？

子问题2：在前面的学习中，我们已经研究了哪些函数？说一说这些函数在给定区间上的单调性.

子问题3：图5是函数[y=x+2x]在[0，+∞]上的图象，它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？

【设计意图】子问题1和子问题2分别结合现实情境和数学情境进行设计，让学生体会研究对象“从何而来”，找准思维的起点；子问题3可以引发学生的认知冲突，让其发现进一步定量刻画函数单调性的必要性，體会“为什么学”.

主问题2：函数的单调性要研究哪些内容？

预设子问题如下.

子问题1：关于函数的奇偶性，我们研究了哪些内容？

子问题2：对于函数的单调性，要研究哪些内容？

【设计意图】首先回顾函数奇偶性的研究内容，然后引导学生类比迁移，从宏观上把握函数单调性的研究内容，即“定义—判断—应用”，明确研究思路.

主问题3：如何定义函数的单调性？

预设子问题如下.

子问题1：我们是如何定义函数奇偶性的？

子问题2：我们是如何证明幂函数、指数函数、对数函数在给定区间上的单调性的？

子问题3：如何用符号语言刻画“函数[fx=x2]在[0，+∞]上是严格增函数”？

子问题4：一般地，对于函数[y=fx，] 其在区间[I]上是严格增函数应该如何定义？

【设计意图】子问题1通过回顾函数奇偶性定义的形成过程，引导学生将研究方法进行迁移，从宏观上把握函数单调性定义的形成过程；子问题2结合学生已有经验设计，让学生回顾已经学过的具体函数单调性的证明过程，为用符号语言刻画一般函数的单调性作好铺垫；子问题3让学生参照已有经验，尝试用符号语言刻画具体函数的单调性，是形成一般定义的过渡；子问题4在前面问题的基础上，让学生进一步抽象概括，形成一般的定义. 整个过程通过迁移函数奇偶性的研究过程，引导学生再次体会从直观到抽象，从特殊到一般的思想，经历从感性具体到理性具体再到理性一般的过程，形成定义.

主问题4：如何理解函数的单调性？

预设子问题如下.

子问题1：如何理解函数的单调性？

子问题2：对于定义中的符号语言，还可以如何表述？

子问题3：结合函数单调性的定义，还能得到哪些结论？

子问题4：比较函数的单调性和奇偶性的定义，你有什么发现？

【设计意图】子问题1让学生谈一谈对函数单调性的理解；子问题2和子问题3引导学生按照“什么是—什么也是—什么不是”这一线索加深对函数单调性的理解；子问题4在与函数奇偶性的比较中将单调性纳入学生已有认知系统. 首先，让学生利用文字、图形、符号三种语言进行多元静态表征，然后引导学生对符号语言进行等价变形. 例如，可以将“若[x10；] 也可以从变量形式的变化入手，引导学生分析形如“[fx<][fx+1]”这一错误形式，并列举反例说明其错误的原因，体会其否定形式，进而得到正确形式“[fx

主问题5：如何判断函数的单调性？

预设子问题如下.

子问题1：函数[fx=1x]的单调区间是什么？如何证明？

子问题2：利用定义证明函数单调性的一般步骤是什么？

子问题3：你能编制一道与函数的单调性有关的题目吗？

【设计意图】子问题1和子问题2引导学生形成对函数单调性具体的判断步骤；子问题3引导学生进行编题. 学生可能从基本函数出发进行运算或分段表示构造具体的函数，也可能结合图象从形到数构造函数，进而提出判断具体函数单调性的题目. 在此基础上，可以引导学生融入参数实现题目从静态到动态的升级，可以将函数单调性与函数奇偶性、不等式等结合，编制更加综合的题目，还可以从正向到逆向编制逆向问题. 让学生自主编题，可以培养学生主动、综合运用所学知识的能力，让其在不断反思的基础上，提高思维的灵活性和创新性，也给了不同水平学生不同的思考空间.

主问题6：本节课学了什么？你还能提出哪些研究问题？

预设子问题如下.

子问题1：本节课研究了什么内容？是怎样研究的？

子问题2：你认为还有哪些问题可以研究？

【设计意图】子问题1通过课堂小结，引导学生提炼研究的内容、思路及蕴含其中的思想方法，将研究内容融入单元知识结构，促进思维成果的结构化；子问题2通过类比、推广引导学生发现新的研究问题，学会提出新的研究问题，将研究引向纵深. 例如，学生可以围绕函数的性质提出研究问题，也可以进一步从形的角度思考函数单调性的定义中[fx1-fx2x1-x2]的结构特点，从而为后续单元内、单元间的研究埋下伏笔.

总之，从单元核心问题到课时主问题，再到序列子问题，希望能站在系统的高度，整体开放与局部精致相结合地进行问题设计，由知识到思维，提升学生的系统思维，最终达到使学生学会学习的教育目标.

参考文献：

［1］章建跃. 注重数学的整体性，提高系统思维水平（续）：人教版《义务教育教科书·数 学》九年级下冊介绍［J］. 中学数学教学参考（中旬），2015（3）：4-6.

［2］杜仕菊，石浩. 新时代系统思维的生成逻辑、核心要素与实践路径［J］. 思想理论教育，2023（2）：40-47.