“函数的极值与导数”教学设计

魏静 韩永强

摘  要：采用问题探究式教学法，围绕“极值是什么、怎么求极值、为什么借助导数求极值”构建本节概念教学课.

关键词：概念教学；函数；极值；导数应用

一、教学内容解析

本节课选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—2）》（以下统称“教材”）第一章“导数及其应用”第三节“导数在研究函数中的应用”第二小节，主要内容包括极值的概念和借助导数研究函数的极值，是继函数的单调性与导数之后，再次应用导数研究函数. 同时，为利用导数研究可导函数的最值作好铺垫. 综观本单元的教学内容，研究路径可以归结为：导数的正负—函数的单调性—函数的极值—函数的最大（小）值—函数的综合问题.

函数的极值的内涵是局部范围内的最大（小）值，中学阶段对应单调性的转折. 对于连续可导函数而言，导数能定量地刻画函数的局部变化规律，是研究函数的基本工具. 有了导数以后，可以将函数的单调性问题转化为判断导数的正负性问题，将判断函数的极值点转化为判断导数的变号零点. 其思维模式如图1所示.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：函数极值的概念，利用导数求函数的极值.

二、教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）从实际情境中抽象出具有升降的函数图象，通过观察函数图象的升降及其“分界點”的特征，归纳和抽象出函数极大（小）值概念，体会数形结合思想、归纳和类比思想，发展数学抽象和直观想象素养.

（2）通过具体可导函数的零点及其两侧导数符号的变化，发现并证明用导数求函数极值的基本原理，并通过实例明确基本原理中的条件是函数存在极值的充分条件，体会数形结合思想和转化思想，发展直观想象素养.

（3）通过用导数求函数极值的基本原理求具体函数的极值，归纳、整理求极值的步骤，体会算法思想，感悟数学运算和逻辑推理之间的关系，发展数学运算素养.

三、学生学情分析

1. 已经具备的认知基础

本节课的授课对象为高二学生，已经学习过导数的概念与基本运算、导数的几何意义、函数的单调性与导数的关系，初步具备运用导数的基本思想分析和解决函数问题的意识. 这为本节课利用导数研究函数的极值奠定了基础，也为学生在活动中自主探究并抽象出极值的概念、发现极值和导数的关系并得出取得极值的条件提供了可能.

2. 可能出现的障碍

学生对极限和导数的学习有限，函数的连续性、可导性、“邻域”等高等数学知识在高中阶段虽然不要求掌握，但不能为后续学习造成知识的“负迁移”，授课时说明高中阶段研究的与导数有关的问题中涉及的函数都是可导函数，但可导函数极值点的“导数特征”仍然无法进行严格的证明. 因此，内容的强理论性增加了学习极值的概念、极值与导数的关系的难度. 学生虽然有借助几何直观概括函数性质和利用导数研究函数单调性的经验，但要将函数的极值点的几何特征深刻到符号化水平去定性地刻画，将图形语言转化为符号语言，仍然存在难度.

基于以上分析，确定本节课的教学难点：函数极值的概念，函数极值与导数的关系.

四、教学策略分析

采用问题探究式教学法，以恰当的问题为纽带，为学生创设自主探究、合作交流的空间. 教学中始终遵循“教师为主导，学生为主体，知识为主线，发展思维为主旨”的原则.

五、教学过程设计

1. 创设情境，提出问题

情境1：如图2，在上节课提到的中国跳水运动员高台跳水的经典案例中，运动员从起跳到最高点，图象上升，函数单调递增；从最高点到入水，图象下降，函数单调递减.

情境2：2022年北京冬奥会中，中国滑雪运动员夺得单板滑雪男子大跳台冠军. 让我们一起回顾这个精彩过程. 如图3，通过下滑、起跳、落地滑行，运动员的运动轨迹实现了“减—增—减”的过程.

情境3：某学习小组提交了一张桂林山水的照片，如图4（a）所示. 通过预习，他们结合教材中的“探究”图（图4（b）），联想到游学活动的群山，山峰的起伏对应着函数的增减，作出图5.

师生活动：教师展示实践作业成果. 学生从具体实例中抽象出函数图象，观察并思考曲线的单调性的变化.

【设计意图】紧跟时代热点，结合教材中的“探究”图，调动学生的兴趣，激发学生的爱国情怀.

2. 生成概念，内涵辨析

问题1：观察图6、图7和图8并思考，从单调性的变化来看，图中哪些位置比较特殊？为什么？

师生活动：师生通过观察、归纳得出“点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是单调性发生变化的转折点”.

追问：这些位置的函数值有什么共同特点？

探究发现1：如图9，点A的函数值是函数图象上点A附近的最大值，是整个函数的最大值.

探究发现2：如图10，点B的函数值是函数图象上点B附近的最小值，但不是整个函数的最小值.

师生活动：放大“波峰”“波谷”附近的图象，师生发现点A，B处函数值的共同特点是均为“局部最值”.

【设计意图】通过将图形放大，让学生形成更直观的感受，即函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，引出极值的概念，体现从特殊到一般的思想，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.

引言1：正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，当我们所站的位置不同时，看待事物的角度也就不同，结果可能就不一样.

【设计意图】一是更加形象直观地表达“局部最值”；二是帮助学生树立正确的世界观，学会全面看待事物，落实立德树人的育人目标.

师生活动：教师板书课题“函数的极值”；学生在教师的引导下观察图11，生成极值的概念.

极小值概念：函数[y=fx]在点[x=a]处的函数值[fa]比它在点[x=a]附近其他点的函数值都小，我们把[a]叫做函数[y=fx]的极小值点，[fa]叫做函数[y=][fx]的极小值.

极大值概念：函数[y=fx]在点[x=b]处的函数值[fb]比它在点[x=b]附近其他点的函数值都大，我们把[b]叫做函数[y=fx]的极大值点，[fb]叫做函数[y=][fx]的极大值.

说明：极小值点、极大值点统称为极值点；极小值和极大值统称为极值；极值点是自变量（横坐标）；极值是函数值（纵坐标）.

【设计意图】引导学生从特殊到一般，借助几何直观，经历“极值概念”的生成过程，积累从实例中抽象出数学概念的数学活动经验，体现类比思想，发展学生的数学抽象和直观想象素养.

问题2：如图12，函数定义在闭区间[x1，x8]上，图中哪些是极大值点？哪些是极小值点？

追问1：点[x1]的函数值比它附近其他点的函数值都大，点[x1]是不是极大值点？

师生活动：教师指导学生进行小组合作，分享交流，质疑探讨，确认释疑.

结论：极值的概念中的“附近”要求极值点左右有“邻居”，端点不是极值点.

追问2：点[x5]是不是极大值点？

如图13（圆圈较小），点[x5]的函数值比它附近其他点的函数值都大.

如图14（圆圈较大），将点[E]附近的圆圈扩大，发现点[x5]的函数值不满足比它附近其他点的函数值都大.

师生活动：教师追问，学生思考，交流讨论.

结论：“附近”体现了极值是函数的局部性质. “附近”不是“任意”，而是“存在”.

【设计意图】通过“画圈”理解极值的概念中“附近”的含义，理解极值作为函数的“局部性质”的内涵，发展学生的直观想象素养.

引言2：极大值对应“波峰”，极小值对应“波谷”，此情此景，你能联想到哪个成语？（登峰造极）

问题3：极大值一定大于极小值吗？

结论：极大值与极小值没有必然的大小关系.

问题4：函数的极大值和极小值唯一吗？

结论：函数的极值可以有多个，也可能没有.

【设计意图】通过几何直观，观察得出结论，体现“极值”是函数的局部性质，为整体性质“最值”的学习积累经验，发展学生的直观想象素养.

引言3：大自然尚且起起落落，更何况人呢？人生的低谷总是难免的，我们要不惧低谷、勇攀高峰！

【设计意图】借助几何直观，鼓励学生不惧低谷、勇攀高峰，实现立德树人的育人目标.

3. 巩固拓展，概念应用

例1  判断下列函数是否有极值. 如果有，求出极值；如果没有，说明理由.

（1）[fx=2]；

（2）[fx=2x-3]；

（3）[fx=6x2-x-2]；

（4）[fx=sinx].

师生活动：教师展示例题，学生快速判断.

【设计意图】设置基本初等函数，借助函数图象巩固概念，体现数形结合思想，培养学生的直观想象素养.

例2  判断函数[fx=13x3-4x+4]是否有极值，如果有，求出极值.

师生活动：学生在获取图象中遇到困难，自主思考、讨论交流后，师生共同合作完成. 从单调性的角度判断取得极值的充分性和必要性，并借助几何直观得出“左增右减极大值；左减右增极小值”的结论.

【设计意图】设置三次多项式函数判断极值，学生快速获取图象困难，“逼迫”学生回归极值的概念.

问题5：判断函数的单调性，有一个非常重要的工具，是什么？

结论：导数. 原函数左增右减——导函数左正右负；原函数左减右增——导函数左负右正.

追问：极值点处的导数值等于多少？怎么判断？

结论：极值点处的导数值为0.

判断思路1：极值点是函数单调性变化的分界点，极值点附近两点的导数左正右负或者左负右正，中间状态为0.

判断思路2：导数的几何意义，在极值点处的切线水平，斜率为0，导数值为0.

【设计意图】通过追问，层层展开探讨，激活学生思维的最近发展区，引导学生主动将新问题与原认知结构中的函数的单调性与导数知识相联系，从而自然、合理地引出用导数判断极值，体现转化与化归思想，发展学生的逻辑推理素养.

师生活动：教师借助几何画板软件，同时作出原函数和导函数的图象，如图15所示. 形成几何直观对比，并指导学生得出“原函数的极值点对应导函数的变號零点”的结论. 教师给出极大值点和极小值点的符号语言，分别如图16和图17所示.

【设计意图】极值点的导数特征结论无法进行严格证明，借助几何画板软件，让学生“看得见”“说得出”性质，引导学生从图象、单调性和导数的角度判断极值，培养学生会用数学的语言表达现实世界，突破本节课的教学难点，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.

师生活动：回到例2，教师板书规范解答过程，学生归纳利用导数求函数极值的步骤.

解题步骤：确定函数定义域—函数求导—方程求根—列表判号—求出极值.

解题思路如图18所示.

【设计意图】通过教师的规范板书，引领学生总结程序化解题步骤，强化对重点知识的巩固，对学生规范作答起到引领示范作用，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.

师生活动：由数到形，引导学生画出函数的大致图象，教师用几何画板软件作出图形，如图19所示，对比展示，操作确认.

【设计意图】在“以形助数，以数解形”的数形转换过程中，体现导数作为工具在研究函数问题中的优越性，为利用导数研究函数的最值积累数学活动经验，体现数形结合、转化与化归思想，发展学生的直观想象素养.

4. 目标检测，检验效果

目标检测1：判断下列函数是否有极值. 如果有，求出极值；如果没有，说明理由.

（1）[fx=3x-x3]；

（2）[fx=x3].

师生活动：学生上台演算，教师巡视，对解题不规范现象加以纠正.

思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

结论：[fx0=0]是函数在点[x0]处取得极值的必要不充分条件.

【设计意图】巩固利用导数判断函数极值的方法，对问题的解决形成基本方法和步骤，体现数形结合思想，发展学生的逻辑推理素养.

目标检测2：导函数[y=fx]的图象如图20所示，试找出函数[y=fx]的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.

【设计意图】通过原函数图象和导函数图象之间的关系，深刻理解极值的概念.

5. 课堂小结，形成系统

师生活动：学生分享、教师总结，生成本节课的教学思维导图，如图21所示.

引言4：通过极值的学习，大家会对《题西林壁》这首诗有更加深刻的感悟.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”告诉我们要学会站在不同的视角看待问题；“不识庐山真面目，只缘身在此山中”提示我们做人做事要有全局观. 其中蕴含了哪些数学知识呢？区别于本节课所讲的函数图象的局部性质，哪些是函数的整体性质？

知识层面：什么是极值？（文字语言、图形语言、符号语言.）

方法层面：怎么求极值？（借助图象和导数.）

思想层面：为什么借助导数求极值？（转化与化归、函数与方程、数形结合、类比归纳.）

情感层面：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”——不同的视角看问题；“不识庐山真面目，只缘身在此山中”——做人做事要有全局观.

【设计意图】知识的学习是提升学生思维和能力的必经之路，而能力的提升是我们学习知识的终极目标. 通过课堂小结，引导学生厘清知识结构、提炼数学方法、领悟数学思想. 同时，引导学生思考什么是函数的整体性质，为下节课教学作铺垫.

6. 作业布置，分层提高

课本作业：教材第29页课后练习第2题.

实践作业：以学习小组为单位，查阅与“极值”有关的实例.

拓展阅读：判断函数[fx=x2 x≠0，1   x=0] 和[fx=x]是否有极值. 查阅论文《谈谈人教版教材中函数极值的定义》《把握概念内涵  优化教学设计——以“函数极值的概念”片段教学为例》了解更多与极值定义有关的问题.

【设计意图】课本作业意在巩固极值的概念和用导数求极值的方法；实践作业意在提高学生学习数学的兴趣，使学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的语言表达现实世界，用数学的思维思考现实世界，为下节课“函数的最值与导数”的学习作铺垫；拓展阅读作业意在满足数学水平层次较高学生的发展.

六、教学设计说明

1. 整合教材，挖掘内涵

奥苏贝尔曾说，影响学习的最重要的因素就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学. 高中数学要求学生在没有学习连续可导邻域等概念的情况下进行极值的学习. 对此，教材中所选取的函数均是连续可导的函数，函数图象成“波峰”“波谷”的形状. 但这不利于学生把握极值的概念的本质属性，考虑到学生的认知基础和能力，参考《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求，努力实现教材的编写意图，在课前明确本节课研究的函数均为连续可导函数，并寻找合适的认知根源：用单调性实践作业中具有代表性的成果创设情境引入新课—对函数图象进行“画圈搜索”局部最值点—寻找波峰、波谷（连续函数单调性的转折点）—导数值等于0的点（连续可导函数的驻点）—导函数的变号零点（极值点）. 借助图象的几何直观，把数学知识的学术形态转化为数学课堂的教学形态. 把高等数学中非连续可导函数的极值判断及定义解读安排在课后作业拓展阅读部分，既不影响主体知识建构，又能使学有余力的学生得到进一步发展.

2. 贴近生活，立德树人

结合教材“探究”中的函数图象和学生实践作业成果，紧跟时代热点，创造合适情境，借助信息技术辅助教学，创设机会和空间让学生通过合作讨论、分享交流充分展示自我，经历极值概念发生发展的探究过程，在课堂中通过“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”“登峰造极”“群山起伏，不惧低谷”等情境，不断激发学生的学习兴趣，对学生展示的小组成果给予充分肯定，对小组疑惑加以适时引导，学生在和谐欢快的数学课堂中收获知识和信心，树立正确的世界观，落实立德树人的育人目标.

3. 渗透思想，提升素养

“极值”只是教学的载体，解决问题所运用的徐利治先生提出的“关系—映射—反演（RMI）”原理及渗透的转化与化归思想才是本节课的灵魂. 通过将原函数极值问题转化为判断导函数的变号零点，再将结果反演解释原函数极值的过程，发展学生的运算能力和逻辑思维. 从单调性到极值再到最值，引导学生体会单元教学的根本，遵循“研究对象在变，思想方法不变，研究套路不变”，使对学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等素养的培养落地生根. 因此，本文从教学实际出发，结合现场点评教师的建议，选取与本节课教学内容结合最紧密的数学核心素养调整了教学目标.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建跃. 高中数学教科书教学设计与指导（选择性必修第二册）［M］. 上海：华东师范大学出版社，2022.

［3］余小芬. 把握概念内涵  优化教学设计：以“函数极值的概念”片段教学为例［J］. 上海中学数学，2019（4）：11-13，18.

［4］甘志国. 谈谈人教版教材中函数极值的定义［J］. 中學数学杂志，2011（5）：15-16.