经历案例研究过程积累概率建模经验

刘春艳

摘  要：“超几何分布”一课中，通过引导学生对比有放回抽样和不放回抽样，经历抽象试验特征与推导分布列及其期望的过程，辨析二项分布和超几何分布的联系与区别，帮助学生积累建立概率模型的经验. 本节课内容结构主线突出，注重核心素养落地；创设情境启发思考，体现学生主体地位；突破传统教学手段，实现技术与内容的融合.

关键词：超几何分布；二项分布；概率模型

“超几何分布”是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第三册（以下统称“教材”）第七章第4节“二项分布与超几何分布”第2课时的内容. 属于《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）提出的高中数学课程内容四条主线中“概率与统计”领域的内容. 概率课程承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象的能力，提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等素养. 《标准》对此内容的要求是通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.“超几何分布”是“第十一届高中青年数学教师课例展示活动”的指定课题之一，学术委员会给出的关于本节课的教学内容与要求和《标准》是一致的. 教学提示为：整体而言，应通过典型案例开展教学活动，案例的情境应是丰富的、有趣的、学生熟悉的；要重视过程，层次清楚，从具体到抽象，从实际到理论. 具体地，要通过不放回摸球试验或随机抽样问题，利用建立二项分布模型积累的数学活动经验，经历抽象试验特征、推导分布列、直观猜想并计算验證超几何分布随机变量均值的过程；要引导学生辨析二项分布与超几何分布的联系与区别，帮助学生积累建立概率模型的经验，体会概率决策的作用. 教材的内容安排则希望通过研究二项分布和超几何分布，促使学生进一步理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用，同时对随机思想在解决实际问题中的作用产生更深入的理解．

一、主要亮点

本节课的教学以对一个离散型随机变量分布列的研究路径为脉络展开，主要有以下三方面亮点.

1. 内容结构主线突出，注重核心素养落地

“超几何分布”一课的教学从学生熟悉的购物抽奖活动引入，引导学生在问题解决的过程中初步感受有放回抽奖和不放回抽奖的联系与区别，进而引出本节课的教学内容. 执教教师提出的问题体现了数学与生活的联系，使学生感受到数学知识产生的必然性，也给出了本节课的研究方法，即通过类比二项分布来研究超几何分布.

本节课的具体研究过程主要由四个部分组成：明确本节课的研究内容；定义超几何分布；推导超几何分布的期望和方差，并进行简单应用；总结二项分布和超几何分布的联系与区别. 执教教师对每个部分的研究都提出了明确且具体的问题，以引导学生探究的具体方向，设计意图明确.

本节课教学主线突出，执教教师通过创设合适的情境，设计严谨有序的教学活动，凸显了数学知识的内在逻辑和数学方法，让学生在分析问题和解决问题的过程中，落实“四基”、提高“四能”. 学生通过分析具体情境中随机试验的特征，从特殊到一般、从具体到抽象，抽象出随机试验的特征，并用数学符号语言进行表达，建立概率模型. 对于超几何分布的期望公式的推导，学生经历了由直观感知到逻辑推理的过程. 通过系列活动，学生在探究超几何分布及应用超几何分布解决简单问题的过程中，发展了数学抽象、数学建模和逻辑推理素养．

2. 创设情境启发思考，体现学生主体地位

《标准》指出，在教学实践中，要不断探索和创新教学方式，不仅重视如何教，更要重视如何学，引导学生会学数学，养成良好的学习习惯；要努力激发学生数学学习的兴趣，促使更多学生热爱数学．

在本节课的教学中，执教教师作为教学的设计者、组织者和引导者，通过创设合适的情境，提出合适的数学问题，启发学生思考与交流，充分体现了学生在课堂教学中的主体地位，具体体现在三个方面：一是提出具有挑战性的问题，激发学生积极思考；二是为学生的独立思考提供了比较充足的时间和空间；三是组织讨论，通过适当追问，启发学生深入思考，保障学生的课堂讨论方向明确、节奏适当、重点突出.

例如，在探究超几何分布的定义时，执教教师提问：问题1中不放回抽奖方式不服从二项分布，你能说说这类不放回抽样的特征吗？你能根据这些特征尝试归纳这一类分布的概念吗？学生独立回答这些问题是有难度的，尤其是对于公式中各参数取值范围的确定. 对此，教师要求学生先独立完成，再全班交流. 交流的重点就是问题解决的难点，难点的突破是通过展示学生作品，激发学生深度思考. 特别地，对于参数[k]的取值范围，学生之间相互质疑、相互启发，利用已有实例，从特殊到一般，逐步完善．

在课堂教学中，在执教教师的积极引领下，学生主动思考、深度参与，实现了思考有方向、表达有依据、质疑有观点、参与有热情. 例如，在对购物抽奖问题的探究中，对于问题“现有两种抽奖方式可供选择——有放回抽奖和不放回抽奖，试利用所学数学知识，作出合理的决策方案”，学生从不同角度积极作答.

生1：对于两种抽奖方案要比较期望和方差，期望大、方差小的方案好. 有放回抽奖，两次中奖概率都是0.3，两次抽奖是相互独立的，满足二项分布.

生2：由于不放回抽奖时各次抽取结果并不独立，故只能用古典概型的方法求相关数据．

生3：我同意前面两名学生的结论，但是计算方式可以调整一下. 因为不放回抽取[n]次的概率和一次抽取[n]个的概率是相同的，所以……

本节课课堂教学氛围轻松，学生积极参与讨论，执教教师在恰当的时机给予学生较多的鼓励和引导，学生表达思路清晰、论述有理有据，表现出了思维的灵活性. 通过课堂讨论交流，提高了学生学习数学的兴趣，增强了学生学好数学的信心，同时培养了学生敢于质疑、严谨务实的理性精神．

3. 突破传统教学手段，实现技术与内容的融合

当数据较大时，二项分布和超几何分布有关的概率计算，以及概率分布图的绘制都需要借助信息技术来完成. 因此，加强与信息技术的融合是由本节课教学的内在需求决定的. 本节课中，执教教师将信息技术融入教学活动的过程是水到渠成的. 例如，用Excel软件计算分布列；利用超几何分布求解例2的第（2）小题. 虽然学生知道具体的计算方法，但是计算量太大，无法完成，而利用计算机进行大规模的计算，省时省力，绘制的统计图表也更加准确、美观.

在教学中合理使用信息技术，可以把学生从机械、烦琐的数据处理中解放出来，使学生能够将更多的精力集中在对教学内容和方法的理解上，有利于学生整体把握数学知识结构体系. 因此，本节课对信息技术的使用体现了信息技术与数学课程的深度融合，实现了传统教学手段难以企及的效果，促进了学生对概率与统计内容的理解．

二、教学建议

本节课中，执教教师提出的问题具有开放性，学生的回答与讨论也比较发散. 例如，在课堂小结中，学生回答“超几何分布和二项分布都是伯努利试验，试验的结果只有两种……”. 很明显，学生的表述是存在问题的. 对此，为了明确出现问题的原因，是学生的口误，还是学生对伯努利试验与[n]重伯努利试验的理解存在问题，又或者是学生对有放回抽样与不放回抽样试验特征的理解存在问题？执教教师应该及时通过追问帮助学生进一步厘清相关问题. 在伯努利试验中，只包含两种可能的结果，关注的是事件[A]是否发生. 无论是有放回抽样还是不放回抽样，每次抽取一个个体都是一个伯努利试验. 二项分布和超几何分布是两种重要的离散型随机变量的分布，关注的是事件[A]发生的次数．

對于二项分布和超几何分布联系与区别的辨析，执教教师可以更充分地利用学生的已有经验，更好地发挥信息技术的作用. 本节课中，执教教师直接给出超几何分布方差的计算公式[DX=np1-pN-nN-1，] 然后从代数的角度让学生体会“从方差角度看，由于[N-nN-1≈1]，两个分布的方差也近似相等”. 然而，执教教师可以先引导学生根据已有经验思考：当[N]充分大且[n]远远小于[N]时，有放回抽样和不放回抽样的差别大吗？学生可以直观地发现，当[N]很大，[n]又不太大时，即使是不放回抽样，每次抽得次品的概率变化很小，这与有放回抽样中每次抽得次品的概率不变的情况差别很小. 然后，在引导学生借助已有经验进行合理猜想的基础上利用信息技术验证结果：保持[p=MN]为定值，改变[n]的大小，观察两种分布的概率分布图的差异. 最后，给出方差的计算公式. 这样也许可以让学生更好地从已有经验、图形直观、代数运算等角度体会二项分布和超几何分布的联系与区别．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建跃，程海奎. 高中必修课程中概率的教材设计和教学思考：兼谈“数学核心素养如何落地”［J］. 课程[?]教材[?]教法，2017，37（5）：27-33．