孔志文 李柏青 王秀彩
摘 要:解析几何是培育学生数学核心素养的重要载体,在课堂教学中要充分挖掘其教育价值. 在“直线与椭圆的位置关系”一课的教学中进行尝试,借助GeoGebra软件作出图形,根据几何直观提出研究问题,通过代数运算解决提出的有关问题,进而发展学生的直观想象、代数运算和逻辑推理素养.
关键词:几何直观;代数运算;解析几何
一、教学背景
“直线与椭圆的位置关系”是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册“3.1.2 椭圆的简单几何性质”第2课时的教学内容. 从代数与几何的发展来看,高等代數与解析几何本就是相互联系、相互促进的,可以说解析几何是高等代数发展的基石. 代数为几何提供研究方法,几何为代数提供直观背景. 正如我国著名数学家华罗庚先生所说:数缺形时少直观,形少数时难入微. 这反映出解析几何教学的重要思路是利用图形建立直观,通过代数运算刻画规律.
从“圆锥曲线的方程”这一章知识的内部结构来看,椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题和研究方法具有高度的相似性,因而“椭圆”相关内容的学习在全章的学习中具有基础地位. 对于椭圆概念的教学,学生先在问题“椭圆具有怎样的几何特性?”的引领下进行画图操作,从中发现椭圆的几何特征,进而获得椭圆的概念,明晰研究的基础与出发点. 对于椭圆的标准方程的教学,先根据椭圆的几何特征建立平面直角坐标系,然后通过代数运算得到椭圆的标准方程;对于椭圆的简单几何性质的教学,在明确要研究的性质的基础上,通过椭圆的标准方程研究椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等. 上述过程体现了研究圆锥曲线的一般思路和方法,包括如何发现曲线的几何特征、如何建立适当的坐标系、如何简化与优化方程、研究曲线的哪些性质、如何运用方程进行研究等.
“直线与椭圆的位置关系”是在学生学习了直线与圆的位置关系之后,对于直线和二次曲线可以研究的问题有了一定的认识的基础上进行的. 一方面,可以研究公共点的个数;另一方面,可以研究直线与二次曲线相交时产生的弦长、面积、角度等几何量的性质. 有利于在问题解决中发展学生的直观想象、数学运算和逻辑推理素养. 从知识的前后联系来看,在将几何问题代数化的过程中,往往需要结合图形来考虑,突出对坐标法的进一步运用.
二、教学过程设计
环节1:诱思.
课题引入:观察图1,类比圆的研究思路,思考对于椭圆接下来我们可以研究什么内容.
【设计意图】通过类比圆的学习过程,不仅有利于启发学生通过思考确定椭圆的研究内容,还可以帮助学生建立椭圆的研究结构,再次明确一类几何对象的研究思路和研究方法.
环节2:导学.
问题1:你能对直线与椭圆的位置关系进行分类吗?
师生活动:学生思考,教师借助GeoGebra软件适时展示直线与椭圆的三种位置关系供学生观察,如图2所示.
追问:如何判断直线与椭圆的位置关系?
师生活动:教师借助GeoGebra软件展示直线[y=][x+0.9987]与椭圆[x24+y23=1]相交的实例(此图很容易看成是直线与椭圆相切),在学生判断直线与椭圆有1个公共点后,教师并不给出结论,而是留下悬念,激发学生进一步探究的欲望.
【设计意图】学生可以依据直线与椭圆公共点的个数对直线与椭圆的位置关系进行分类,也可以类比直线与圆的位置关系将直线与椭圆的位置关系分类为相交、相切、相离三类,最终可以通过图形将这两种分类统一起来. 观察图形,学生很容易初步判断直线与椭圆之间的三种位置关系,但要想精准表达这三种位置关系,就需要借助直线与椭圆的方程,通过代数运算进行刻画.
环节3:示范.
【设计意图】针对学生出现的问题,给出“判断直线与椭圆的公共点个数”问题的规范处理方法,促使学生养成良好的数学表达习惯,减少运算错误,树立数学学习的信心. 同时,引导学生将判断的方法用来解决之前未解决的问题,通过反思,意识到虽然直观想象很重要,但是用代数运算刻画规律也必不可少.
问题3:在平面直角坐标系中,判断直线与椭圆的位置关系的程序是什么?
师生活动:教师组织学生对学习成果进行讨论、补充、完善,最后展示流程图,如图4所示.
【设计意图】通过流程图,梳理判断直线与椭圆位置关系的程序.
环节4:探索.
问题4:基于例1的题设,当[m∈-7, 7]时,我们可以研究哪些问题?
师生活动:在学生经过小组讨论后,教师引导学生发现图中的相关几何要素,如点、线段、角度、三角形等,为问题的提出作准备. 在学生遇到困难时,教师适时通过GeoGebra软件作动态图,并引导学生看图、分析、观察相关的几何要素(如弦长、面积、角度等)的变化情况. 各小组同步讨论,并将本小组提出的问题整理到电子白板上,准备交流. 教师组织学生整理问题并完善. 教师预设以下3个问题.
【设计意图】解析几何是培养学生提出问题能力的重要载体. 引导学生通过小组内的头脑风暴,利用几何直观,依托GeoGebra软件,分析直线与椭圆相交图中的几何要素的变化情况,将观察到的数学现象凝练成数学问题,提高数学表达能力,为接下来的学习提供研究素材.
【设计意图】引导学生经历用坐标法求解有关弦长、面积、角度的问题,感悟坐标法的普适性. 同时,感悟解析几何问题解决的关键在于如何将几何问题合理地代数化.
问题5:基于上述研究,你能总结出求直线被椭圆截得的弦长的计算程序,以及椭圆中有关角度和三角形面积问题的基本处理方法吗?
【设计意图】引导学生经历用坐标表示弦长、面积、角度等几何量的过程,体会解析几何的学科特点——几何问题代数化.
环节5:小结.
(1)本节课我们研究了直线与椭圆位置关系中的哪些内容?
(2)我们是如何提出这些研究问题的?
(3)你能谈谈研究这些问题的思路和方法吗?
【设计意图】学生通过反思、交流,感悟几何直观在提出问题中的作用,同时感悟坐标法在求解有关弦长、面积、角度问题中的普适性,发展理性思维,积累探究活动经验,提升数学核心素养.
三、教学过程反思
本节课中,教师通过类比圆的研究过程,引导学生自然而然地确定研究课题. 借助几何直观,以及生生之间的互相启发和教师的引导,各小组通过合作大胆提出研究问题. 教师引导学生聚焦弦长、面积、角度等常见几何研究对象,经历问题解决的过程,掌握坐标法的应用,突破“如何将几何问题代数化”这一教学难点. 本节课还有如下特点.
1. 基于单元视角进行设计,整体把握教学内容
在单元整体联系的基础上,教师分别给出圆和椭圆的研究路线流程图,学生通过类比圆的研究思路自然而然地提出本节课的研究课题. 这样的整体设计有利于帮助学生建立知识间的联系,不仅突出了数学知识的整体性,强化了学生对圆与椭圆的类比,而且为本节课研究椭圆相关问题提供了重要思路. 例如,在提问环节,很多学生提出在直线与圆的位置关系的学习中学习了弦长的求法、圆心和弦中点的连线与弦所在直线垂直,并基于此提出了“在直线与椭圆的位置关系中该如何求弦长?”“椭圆的中心和弦中点的连线与弦所在直线有什么关系?”等非常具有研究价值的问题. 同时,本節课的学习经历也为学生在日后进行双曲线和抛物线的学习积累了重要的探究活动经验,进而有利于帮助学生建立对圆锥曲线的统一认知.
2. 借助信息技术,激发学生的探究欲望
直线与椭圆的位置关系明明可以通过画图观察交点个数来判断,为什么还要通过求解方程组确定呢?在教学过程中,笔者借助GeoGebra软件的放大功能,分别画出直线[y=x+0.9987]与椭圆[x24+y23=1]的图象,让学生发现直线与椭圆看似只有一个公共点,实则有两个公共点. 在无疑处生疑,制造“认知冲突”. 在GeoGebra软件的辅助下,激发学生进一步探究的欲望.
3. 借助几何直观,培养学生提出问题的能力
解析几何的研究对象是几何对象(图形),这是学生发展直观想象素养的良好素材. 为了充分利用直线与椭圆的位置关系这一素材,笔者通过连环设问和追问,引导学生观察图形中的基本要素可以形成什么图形,并思考这些图形的性质. 对此,学生通过小组合作提出了很多有价值的问题,如弦长的最大值、三角形面积的最大值、[∠MON]是否为直角、椭圆的中心和弦中点连线的斜率和弦所在直线的斜率的关系、四边形[MF1NF2]面积的最值等. 考虑到课堂教学时间有限,教师引导学生聚焦弦长最大值、三角形面积最大值、[∠MON]是否为直角三个问题展开探究,使得学生提出问题的能力得到培养.
4. 在解决问题的过程中发展学生的数学核心素养
提出问题很重要,解决问题同样重要. 学生在判断直线[y=x+0.9987]和椭圆[x24+y23=1]位置关系的过程中,深切感受到了图形直观有可能带来的问题,从而明确有必要寻求代数运算的方法研究问题,进而深刻感受到了代数运算所具有的确定无疑的内在力量. 在用代数运算刻画公共点的过程中,坐标法的应用自然而然地深入学生内心. 对于学生自己提出的问题,教师在引导其认真观察图形的同时带领其通过精确计算判断公共点个数或者计算弦长、面积等问题. 学生经历了相关问题的解决后,感悟到了坐标法在解析几何求解过程中的普适性,发展了直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.
为了更好地挖掘解析几何课的教育价值,我们要创造有利于学生独立思考、合作学习、主动探究、勇于提问、敢于创新的教学方式,促进“四基”“四能”在课堂教学中的落实,有效提升学生的数学核心素养.
参考文献:
[1]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.
[2]史宁中,王尚志.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》解读[M]. 北京:高等教育出版社,2020.