多元表征：让概念生长“看得见”

王莉

【摘 要】在数学教学过程中，可运用图形表征、情境表征、文字表征、语言表征以及符号表征等形式促进学生高阶思维的发生，引导学生更深入、全面地进行思考，不断提升其数学思维品质。

【关键词】多元表征 情境 语言 图形

数学多元表征是指同一数学学习对象的多种表征形式。通俗地讲，就是在数学教学过程中用图形表征、情境表征、文字表征、语言表征以及符号表征等形式促进学生高阶思维的发生，启发学生思维显性化，不断提升他们的数学思维品质。基于此，本文将重点聚焦多元表征，围绕让概念生长“看得见”展开探究。

一、情境表征：唤醒学生经验表达

情境表征是指对指定对象在操作以及日常环境中事件之间关系的表征，即创设一个情境。在教学引入部分，引导学生建立建构概念，过程中运用情境表征，实现表征的相互转化，唤醒学生的经验表达。

如从心理维度看，情境表征可以将原本比较抽象的数学知识转化成可以看见的内容。在教学“长方形和正方形的认识”时，教师为了更好地激活学生的前置思维，在本课教学的引入部分，也就是在第一板块（游戏导入，激活经验）中，通过有趣的情境来帮助学生形成学习平面图形的基本思路，运用游戏活动来唤醒学生的思维。教师从学生已经认识的平面图形入手，通过演示文稿（PPT）展示，提问学生这些都是什么图形。学生会根据PPT展示的内容依次说出这是长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆形。紧接着，教师把学生已经认识的这些多边形和圆形放在盒子中（PPT显示把平面图形收进去），玩“摸长方形”的游戏，第一次追问：摸出的这个图形会是长方形吗？学生在第一次摸图形的过程中进行判断（露出的是个半弧形），通过观察发现可能是一个圆。教师追问其判断的依据，同时在第一次摸图形的过程中进行小结：大家是通过观察“边”来判断的。接着，PPT中露出了一个直角，教师第二次追问：这会是长方形吗？你们又是怎样判断的呢？学生根据出示的图形再次进行判断，可能是三角形、梯形、长方形、正方形。教师此时进行第二次小结：大家是通过观察“角”来判断的。从而进一步引导学生学习，要准确地认识一个平面图形既要观察边的特点，又要观察角的特点。

通过情境表征，很快对接了学生的已有认知，唤醒了学生的表达经验，让学生清楚了观察平面图形要从边和角这两个要素入手，为后续学习其他平面图形埋下了伏笔，指明了学习的方向，也建构了知识学习的逻辑，有利于提升学生的数学思维能力。数学知识点是螺旋上升、逐渐再现的，教师只有引领学生建构知识的体系，形成知识之间的联系，学生才能学会学习。

二、语言表征：助力学生自主学习

语言表征就是一个数学思维呈现的过程，而数学思维是以数和形为主体、以语言和符号为载体，并以认识和探索数学规律为目的的一种思维方式。教师在教学图形概念时，除了要让学生掌握基本数学知识外，更重要的是帮助学生提升思维品质和数学素养，学会用数学的语言进行表达，帮助学生形成主动学习和研究的心态。同时，在教学中还要创设问题情境，以真实任务驱动开展探究活动，在研究的过程中引导学生积极参与、体验感悟，获得有意义的学习经验。在整个探究的过程中，教师应通过调动学生的多重感官参与思维的发生、发展与表达过程，用语言表达、文字描述、动手操作与实践展现自己的思维过程，外化思维表征。而学生的思维表征可以成为教师和学习伙伴观察、理解、触摸的教学资源，同时有利于教师进行现场教学分析诊断、及时回应并对教学路径做出适当的调整。

如从智力维度来看，语言表征是智力层面的建构，能将学生对数学知识的理解表征化。教师通过思维方式的传递，让学生主动学习，同时以学生的生活经验为元素，采用活动的形式，展示其思维过程，让概念学习更加地真切。如在“长方形和正方形的认识”一课中，为了让学生更全面地认识长方形和正方形，在提出猜想、实验验证、得出结论这一环节，教师首先从学生已有的知识和经验出发，激活学生对长方形和正方形的初步认知。教师提出问题：长方形和正方形是我们比较熟悉的图形，谁来说一说长方形、正方形的边和角各有什么特点？学生根据已有的经验说道：“长方形的边有长有短，正方形的四条边一样长，长方形和正方形四个角都是直角。长方形上边等于下边，左边等于右边。”这样，教师引出对边的概念，上边和下边是相对的，数学中将其称为一组对边，随即追问：长方形中还有其他的对边吗？用手比画比画。学生说左边和右边也是一组对边，教师又问长方形中有几组对边。同时，教师告知学生，像这样上边等于下边、左边等于右边，我们也可以说对边相等。最后提出疑问：这只是同学们的一种感觉，对边相等，四个角都是直角，这是长方形的特征，是吗？从而引发学生的进一步思考。教师提出“这只是一种猜想，还需要验证”，接下来为学生准备大小不同的长方形，让其验证。

在学生从边和角这两个维度进行观察后，教师进一步引导学生对长方形和正方形的特征进行深度思考，并让学生在学习中沿着正确的数学研究思路，经历“猜想—验证—结论”的完整思考过程。在教学中，教师通过一个学习活动展开研究，首先让学生运用量一量、折一折、比一比的方法说说刚才的想法是否正确，其次比一比谁的验证方法多，最后和同桌交流自己的验证方法。学生根据这三个活动要求展开活动，在学生体验验证后教师追问：你们是从哪个角度验证的？验证了什么？怎么验证的？得出了怎样的结论？学生会从两个方面进行汇报：首先，验证边，测量出每条边的长度，同时通过其他学生的测量数据，得出对边相等的结论。教师追问：除了用测量的方法，还可以用其他的方法验证长方形的对边相等吗？你们又是怎样验证的？学生补充汇报：还可以通过折一折来验证长方形对边相等，上下对折、完全重合，说明上边等于下边；左右对折，完全重合，说明左边等于右边。因此，长方形的对边相等。其次，验证角，刚刚通过量一量、折一折的方法验证了长方形对边相等这个结论，学生又用比一比的方法，拿直角三角板的一个直角与长方形四个角比一比，四个角都是直角，可以验证长方形四个角是相等的。教师通过学生的学习活动展示，总结：刚才大家通过量一量、折一折、比一比的方法找到了长方形和正方形边的特点和角的特点，在数学中长方形较长的边称为长，较短的边称为宽。

在上述整个教学过程的推进中，学生运用语言表征把动手操作的、脑中所思所想的表达出来，通过语言进行思维的外延，培养了学生主动实践的能力，进而总结概括得出结论，并在体验活动中提炼数学思想方法，形成学习图形的一般学习路径，从一节课的学习延展到一类课的研究，真正激活了学生的数学思维。

三、图形表征：激活学生创新思维

图形表征是指学生在解决问题的过程中，借助实物或者运用画图的方式，拼出或者画出与题意相关的图形或图案，进而更加直观地理解知识背后蕴含的道理。

如从效能维度看，在“长方形和正方形的认识”一课中，在学生认识了长方形和正方形，形成了数学思想方法以及思维结构后，教师就可以让学生在掌握基本知识、基本技能的基础上，进行创造性的学习，从而提升解决问题的能力。在教学中，从创造小能手和整理关系两个维度进行思考。创造小能手方面，教师和学生进行对话：大家已经对长方形和正方形的特征有了深入的了解，想不想动手创造几个呢？运用老师给大家准备的钉子板、三角板和方格纸这些工具和材料，结合活动要求进行创作。学生通过围一围、拼一拼、画一画制作出长方形和正方形，再把创作的方法和同桌分享交流。在學生充分探究后，教师运用图形表征分别从画一画、拼一拼、围一围等方面对学生的思维进行激活，让学生介绍各种创作的方法和过程。经历了正向的思维过程，再进行关系的整理，对长方形和正方形的特征进行深入的辨析，教学中学生根据教师出示的信息，在作业纸上绘制，从文字抽象到图形的具象，形成对长方形和正方形特征的灵活判断，充分感悟了正方形是特殊的长方形，并用集合图的形式来表示它们的关系。

通过这样的两组不同的练习设计，还存在疑惑或者学习困难的学生，对长方形和正方形的特征也有了更深刻的认识，从抽象到具象，再从具象到抽象建立长方形和正方形的本质概念，将文字转化为图形，通过图形内化理解了长方形和正方形的特征，从而进一步实现对长方形和正方形的特征的理解；而集合图的出示让学生进一步形象地感悟长方形和正方形之间的关系，提升了学生提出问题、分析问题的能力，在教学过程中关注了学生空间观念、推理意识和创新意识的培养。综上所述，多元表征能立足于概念课型，在真实的活动中让概念生长“看得见”，更好地为学生的思维成长注入活力。