作为“纽带”的尺规作图

摘要：在现行教育模式下，中学数学与大学数学不论在知识体系、教育理念还是思想方法上都有着很大的差异。如何有效地进行两者之间的衔接，是摆在数学教育者面前的一个难题。对此，从尺规作图这一经典问题出发，重温其提出、发展到彻底解决的波澜壮阔的历史，展示其与中学数学中的几何、代数乃至分析等分支的联系，揭示其在中学数学与大学数学之间的纽带作用，以期给中学数学教学带来一些启发。

关键词：中学数学；大学数学；尺规作图；数域；数学史

一、引言

不知道从什么时候开始，中学数学和大学数学有了一道沟壑，这道沟壑也“与时俱进”越来越大。尽管有人试图填补这道沟壑，把一些大学数学内容放到中学数学教材中，但是从结果（大学新生的基本功和逻辑思维能力）来看，效果微乎其微。一方面，很多学生失去了求知的欲望，对新的数学理论不求甚解、懒于思考；另一方面，想思考的学生面对越来越多的数学概念、越来越复杂的数学理论，往往不得要领，不知道从何入手，理不清数学理论的脉络，从而很难形成更深刻的理解。

正所谓“冰冻三尺非一日之寒”，不管是求知欲的丧失还是逻辑思维能力的欠缺，都不是一朝一夕形成的。要寻踪溯源，就不得不回到中学。看现行中学数学教材，我们会发现知识点比较全面：从代数、几何、分析到组合、概率、统计，几乎囊括了数学的所有分支。不过仔细看内容，不难发现每个分支都是浅尝辄止，甚至很多以前有的内容都被删掉了。比如，现行中学数学教材里只有函数的概念，而映射这个重要概念已经消失很久了。这样的扁平化设计带来的问题是显而易见的：在如此狭窄的范围内出题只能越来越偏，越来越追求所谓的技巧。

诸如此类的问题有很多。这就要求我们在教学中适当提高知识的深度和广度。当然，这个工作不容易做，没有足够的知识储备，没有对“海平面之下”数学的足够了解，就无法从高观点看待初等数学，也不能更好地融合初等数学的各部分内容。然而，高等数学的难度又会让很多中学数学教师望而却步——尽管很多人学过不少大学数学课程，但是当年学得未必精通，学过多年后很少使用也就基本忘却了。应该从哪里入手呢？有一个很重要但又经常被忽略的重要问题是很好的切入点，这就是尺规作图。

二、无理数的发现与正多边形

尺规作图在数学发展史上起到了非常重要的作用。很早的时候，人类就开始使用自然数，也学会了四则运算。不过就像我们小学时学过的那样，减法和除法不是总能做，于是负数和分数被引入，从而有了有理数，四则运算得以自由进行。这一点，古希腊人在大约公元前500年就已经意识到了，因此有了“万物皆数”（数指有理数）的理念。然而，古希腊人很快就发现了无理数的存在：正方形的对角线长与边长之比不是有理数，或者说等腰直角三角形的底边和腰之比不是有理数。

我们都知道这个比值是2。这个结论，初中数学教材一般都会提到，但并不是每本教材都会提供证明（提到的证明也都是利用反证法）。然而，历史可能要有趣得多。如果等腰直角三角形的底边和腰之比是有理数，设为mn，其中m、n都是正整数，则可以作一个底边为m、腰为n的等腰直角三角形。据说毕达哥达斯学派的希帕索（Hippasus）斯进行了如图1所示的作图。图1中有无穷多个等腰直角三角形，其边长都是正整数。希帕索斯知道这是不可能的。

不过，2或许并不是第一个被发现的无理数，一个强有力的竞争者与正五边形有关。有学者认为，希帕索斯进行了如下页图2所示的作图。从而可以得到无穷多个正五边形，由此说明正五边形的对角线与边长之比不是有理数。

顺便说一下，将图2中最大的正五边形的对角线与边长记为数对（m，n），则正五边形从大到小的对角线与边长的变化为：（m，n）→（n，m-n）→（m-n，2n-m）→…。这里蕴藏了辗转相除法。辗转相除法是非常有用的，如可以用来证明算术基本定理。

此时，一个很自然的问题是：正五边形的边长与对角线的比到底是多少？它实际上是一个很有名的数值——黄金分割数。不难发现，正五边形的边长与对角线之比（黄金分割数）也等于顶角为108°的等腰三角形的腰与底边之比，还等于顶角为36°的等腰三角形的底边与腰之比。

三、正五边形的尺规作图

正五边形是很常见的。比如随处可见的红五星，南京大学的标志性建筑——北大楼楼顶上就有（如图3所示）。

古希腊人为什么会对正五边形感兴趣呢？从几何上看，正n边形具有很强的对称性，是古希腊数学家关心的几何对象；而正三角形、正四边形和正六边形都很容易用尺规作图得到，其他正n边形又如何呢？首先要考虑的自然是正五边形。希帕索斯在利用正五边形发现无理数的时候，就应该知道如何用尺规作正五边形了。

30多年前的初中课堂上，我的数学老师曾经演示用尺规作正五边形，那一幕至今还印在我的脑海中，只是当时我并不知道作图的原理。直到很久以后回想这些问题，才明白其中的关键。如今，正五边形尺规作图这样的问题已经在中学数学教材中消失了（课标要求会用尺规作圆的内接正方形和内接正六边形，有些教材还会引导学生在圆内作正三角形、正八边形、正十二边形），很少有学生知道如何用尺规作正五边形，多数学生大概也不会对这个问题感兴趣。这是很可惜的：作图方法并不复杂，隐藏在平时遇到的一些小练习中，但其中蕴含了重要的思想——几何问题代数化。

这三大尺规作图难题困扰了世间智者2000多年（当然，古希腊以及后来2000多年内的数学家们都没有数域的概念），直到18世纪末一位伟大数学家的出现。

五、正十七边形的尺规作图

有一个非常不靠谱的传说。1796年3月30日，一个学生晚饭后照常完成老师留的作业，发现多了一张小纸条，上面的题目就是要求用尺规作正十七边形。他发现这道题很难，就一直苦思冥想。直到第二天清晨的第一缕阳光照进窗口时，他才终于作出了正十七边形。当他满怀愧疚地告诉老师，自己竟然花了一晚上才完成这道作业题时，老师意识到这是一个美丽的错误，于是用颤抖的声音告诉他：这不是作业，而是一道有2000多年歷史的难题！这个学生就是高斯（Gauss）。

类似的数学家故事有不少，然而大多经不起推敲，不知道为什么总有人乐此不疲地传播。上述传说当然也经不起推敲：老师怎么会考虑正十七边形的尺规作图，不应该考虑“更简单”的正七、九……边形的尺规作图吗？要知道，在高斯之前，没有人意识到正七边形不能尺规作图，而正十七边形可以尺规作图。

至于正n边形作图问题，则需要更深刻的理论［4］，关系到高次方程求根问题，难度要大得多，这里略过不表。

八、教学意义

之所以从尺规作图开始，是因为我觉得这样的问题比较有意思，牵涉到很多数学概念，并且中学数学教师应该比较熟悉。然而，这可能有点一厢情愿：尺规作图这个曾经在数学史上大放异彩的重要问题，在如今的中学数学教材中却几乎没有多少分量了。

不过，《义务教育数学课程标准（2022年版）》在初中阶段强调了“通过尺规作图等直观操作的方法，理解平面图形的性质与关系”［5］，增加了尺规作图的内容，要求作平行线、垂线、垂直平分线、角平分线、圆的切线、三角形及其外接圆和内切圆，还有圆的内接正方形和正六边形。表面上看，这些问题都很初等，没什么难度，似乎也没有多少启发性。然而，事情并不是这样的：

一方面，尺规作图是逻辑性的，符合论证几何的追求，在作图过程中可以加深对几何知识的理解，使得知识成为关联的体系，而非散点的结论。例如，各种平分线的作图运用的是全等三角形的性质，内切圆、外接圆的作图又让学生切实体会到三角形的角平分线、中垂线是共点的。

另一方面，尺规作图是代数、几何甚至分析课程的纽带，很多尺规作图问题的解决给了我们很大的启发，不仅能加深对数学各分支知识的理解，而且能带来新的发现。在这个过程中，有求知欲的学生能学到很多有趣的数学知识，有好奇心的学生能发现很多好玩的数学问题，有悟性的学生能体会到美妙的数学思想——这正是尺规作图在数学发展史中的功绩，也是可能在中小学日常教学中产生的功效。

回顾尺规作图的历史，它首先告诉我们无理数的存在，其后的研究揭示了它的关键性质：尺规作图能做四则运算和开平方。简单如2、5，复杂如cos2π17这样的数都能得到。但是，很多无理数，如32、cos20°等，都不能作出。这样的数都是有理系数方程的根，称为代数数。我们可以认为代数数是可构造实数的推广，是人类认识数过程中的一个跨越。事实上，所有代数数也构成一个数域，这个数域目前仍然是数论研究的重要问题。

方程求根的探索告诉我们，尽管很多方程的根不是可构造实数，但它们都可以由方程的系数经过四则运算和开平方得到。是不是把开平方的条件放松为开任意次方就可以解决问题了呢？这又把研究对象向前推进了：有理系数方程的根能不能由系数的四则运算和开方的方式得到？经过数百年的努力，数学家们终于发现，并不是所有代数数都

可以用有理数的四则运算和开方的方式得到。这一发现引起了代数学领域的一场革命，很多崭新的概念和理论被提出，迅速发展成一个个庞大的研究分支。

接着，埃尔米特（Hermite）和林德曼等人的发现告诉我们，有些数（如e、π等）甚至不是任何非零有理系数方程的根，这些数就是超越数。这个发现促使数学家们重新审视实数，并建立了严格的实数体系。进一步研究表明，超越数要比代数数多得多。而对负数开方的问题又导致了复数的发现，将数的理论推到了新的高度。

这些都是数学研究的波澜壮阔的历史，值得每一个后来人了解、学习，从中吸取营养，当然也应该是我们在中小学乃至大学数学教育中使用的宝贵素材——利用它们（可以“混而不错”的方式）引导学生思考、探索，体会数学之美，从而保持好奇心，并有勇气作出新的发现。

参考文献：

［1］［2］JohnDerbyshire.代数的历史：人类对未知量的不舍追踪［M］.冯速，译.北京：人民邮电出版社，2010：97，98.

［3］朱富海，陈智奇.高等代数与解析几何［M］.北京：科学出版社，2018：117.

［4］邓少强，朱富海.抽象代数［M］.北京：科学出版社，2017：153-203.

［5］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：14.

（朱富海，南京大学数学系，教授。从事基础数学方向李群李代数的研究，对本科数学教育有深入思考，编著多本本科教材，并在个人公众号“數林广记”中写下了数十万字的教育心得。）