作为“纽带”的尺规作图

2023-07-04 04:49朱富海
教育研究与评论 2023年6期
关键词:数域大学数学纽带

摘要:在现行教育模式下,中学数学与大学数学不论在知识体系、教育理念还是思想方法上都有着很大的差异。如何有效地进行两者之间的衔接,是摆在数学教育者面前的一个难题。对此,从尺规作图这一经典问题出发,重温其提出、发展到彻底解决的波澜壮阔的历史,展示其与中学数学中的几何、代数乃至分析等分支的联系,揭示其在中学数学与大学数学之间的纽带作用,以期给中学数学教学带来一些启发。

关键词:中学数学;大学数学;尺规作图;数域;数学史

一、引言

不知道从什么时候开始,中学数学和大学数学有了一道沟壑,这道沟壑也“与时俱进”越来越大。尽管有人试图填补这道沟壑,把一些大学数学内容放到中学数学教材中,但是从结果(大学新生的基本功和逻辑思维能力)来看,效果微乎其微。一方面,很多学生失去了求知的欲望,对新的数学理论不求甚解、懒于思考;另一方面,想思考的学生面对越来越多的数学概念、越来越复杂的数学理论,往往不得要领,不知道从何入手,理不清数学理论的脉络,从而很难形成更深刻的理解。

正所谓“冰冻三尺非一日之寒”,不管是求知欲的丧失还是逻辑思维能力的欠缺,都不是一朝一夕形成的。要寻踪溯源,就不得不回到中学。看现行中学数学教材,我们会发现知识点比较全面:从代数、几何、分析到组合、概率、统计,几乎囊括了数学的所有分支。不过仔细看内容,不难发现每个分支都是浅尝辄止,甚至很多以前有的内容都被删掉了。比如,现行中学数学教材里只有函数的概念,而映射这个重要概念已经消失很久了。这样的扁平化设计带来的问题是显而易见的:在如此狭窄的范围内出题只能越来越偏,越来越追求所谓的技巧。

诸如此类的问题有很多。这就要求我们在教学中适当提高知识的深度和广度。当然,这个工作不容易做,没有足够的知识储备,没有对“海平面之下”数学的足够了解,就无法从高观点看待初等数学,也不能更好地融合初等数学的各部分内容。然而,高等数学的难度又会让很多中学数学教师望而却步——尽管很多人学过不少大学数学课程,但是当年学得未必精通,学过多年后很少使用也就基本忘却了。应该从哪里入手呢?有一个很重要但又经常被忽略的重要问题是很好的切入点,这就是尺规作图。

二、无理数的发现与正多边形

尺规作图在数学发展史上起到了非常重要的作用。很早的时候,人类就开始使用自然数,也学会了四则运算。不过就像我们小学时学过的那样,减法和除法不是总能做,于是负数和分数被引入,从而有了有理数,四则运算得以自由进行。这一点,古希腊人在大约公元前500年就已经意识到了,因此有了“万物皆数”(数指有理数)的理念。然而,古希腊人很快就发现了无理数的存在:正方形的对角线长与边长之比不是有理数,或者说等腰直角三角形的底边和腰之比不是有理数。

我们都知道这个比值是2。这个结论,初中数学教材一般都会提到,但并不是每本教材都会提供证明(提到的证明也都是利用反证法)。然而,历史可能要有趣得多。如果等腰直角三角形的底边和腰之比是有理数,设为mn,其中m、n都是正整数,则可以作一个底边为m、腰为n的等腰直角三角形。据说毕达哥达斯学派的希帕索(Hippasus)斯进行了如图1所示的作图。图1中有无穷多个等腰直角三角形,其边长都是正整数。希帕索斯知道这是不可能的。

不过,2或许并不是第一个被发现的无理数,一个强有力的竞争者与正五边形有关。有学者认为,希帕索斯进行了如下页图2所示的作图。从而可以得到无穷多个正五边形,由此说明正五边形的对角线与边长之比不是有理数。

顺便说一下,将图2中最大的正五边形的对角线与边长记为数对(m,n),则正五边形从大到小的对角线与边长的变化为:(m,n)→(n,m-n)→(m-n,2n-m)→…。这里蕴藏了辗转相除法。辗转相除法是非常有用的,如可以用来证明算术基本定理。

此时,一个很自然的问题是:正五边形的边长与对角线的比到底是多少?它实际上是一个很有名的数值——黄金分割数。不难发现,正五边形的边长与对角线之比(黄金分割数)也等于顶角为108°的等腰三角形的腰与底边之比,还等于顶角为36°的等腰三角形的底边与腰之比。

三、正五边形的尺规作图

正五边形是很常见的。比如随处可见的红五星,南京大学的标志性建筑——北大楼楼顶上就有(如图3所示)。

古希腊人为什么会对正五边形感兴趣呢?从几何上看,正n边形具有很强的对称性,是古希腊数学家关心的几何对象;而正三角形、正四边形和正六边形都很容易用尺规作图得到,其他正n边形又如何呢?首先要考虑的自然是正五边形。希帕索斯在利用正五边形发现无理数的时候,就应该知道如何用尺规作正五边形了。

30多年前的初中课堂上,我的数学老师曾经演示用尺规作正五边形,那一幕至今还印在我的脑海中,只是当时我并不知道作图的原理。直到很久以后回想这些问题,才明白其中的关键。如今,正五边形尺规作图这样的问题已经在中学数学教材中消失了(课标要求会用尺规作圆的内接正方形和内接正六边形,有些教材还会引导学生在圆内作正三角形、正八边形、正十二边形),很少有学生知道如何用尺规作正五边形,多数学生大概也不会对这个问题感兴趣。这是很可惜的:作图方法并不复杂,隐藏在平时遇到的一些小练习中,但其中蕴含了重要的思想——几何问题代数化。

这三大尺规作图难题困扰了世间智者2000多年(当然,古希腊以及后来2000多年内的数学家们都没有数域的概念),直到18世纪末一位伟大数学家的出现。

五、正十七边形的尺规作图

有一个非常不靠谱的传说。1796年3月30日,一个学生晚饭后照常完成老师留的作业,发现多了一张小纸条,上面的题目就是要求用尺规作正十七边形。他发现这道题很难,就一直苦思冥想。直到第二天清晨的第一缕阳光照进窗口时,他才终于作出了正十七边形。当他满怀愧疚地告诉老师,自己竟然花了一晚上才完成这道作业题时,老师意识到这是一个美丽的错误,于是用颤抖的声音告诉他:这不是作业,而是一道有2000多年歷史的难题!这个学生就是高斯(Gauss)。

类似的数学家故事有不少,然而大多经不起推敲,不知道为什么总有人乐此不疲地传播。上述传说当然也经不起推敲:老师怎么会考虑正十七边形的尺规作图,不应该考虑“更简单”的正七、九……边形的尺规作图吗?要知道,在高斯之前,没有人意识到正七边形不能尺规作图,而正十七边形可以尺规作图。

至于正n边形作图问题,则需要更深刻的理论[4],关系到高次方程求根问题,难度要大得多,这里略过不表。

八、教学意义

之所以从尺规作图开始,是因为我觉得这样的问题比较有意思,牵涉到很多数学概念,并且中学数学教师应该比较熟悉。然而,这可能有点一厢情愿:尺规作图这个曾经在数学史上大放异彩的重要问题,在如今的中学数学教材中却几乎没有多少分量了。

不过,《义务教育数学课程标准(2022年版)》在初中阶段强调了“通过尺规作图等直观操作的方法,理解平面图形的性质与关系”[5],增加了尺规作图的内容,要求作平行线、垂线、垂直平分线、角平分线、圆的切线、三角形及其外接圆和内切圆,还有圆的内接正方形和正六边形。表面上看,这些问题都很初等,没什么难度,似乎也没有多少启发性。然而,事情并不是这样的:

一方面,尺规作图是逻辑性的,符合论证几何的追求,在作图过程中可以加深对几何知识的理解,使得知识成为关联的体系,而非散点的结论。例如,各种平分线的作图运用的是全等三角形的性质,内切圆、外接圆的作图又让学生切实体会到三角形的角平分线、中垂线是共点的。

另一方面,尺规作图是代数、几何甚至分析课程的纽带,很多尺规作图问题的解决给了我们很大的启发,不仅能加深对数学各分支知识的理解,而且能带来新的发现。在这个过程中,有求知欲的学生能学到很多有趣的数学知识,有好奇心的学生能发现很多好玩的数学问题,有悟性的学生能体会到美妙的数学思想——这正是尺规作图在数学发展史中的功绩,也是可能在中小学日常教学中产生的功效。

回顾尺规作图的历史,它首先告诉我们无理数的存在,其后的研究揭示了它的关键性质:尺规作图能做四则运算和开平方。简单如2、5,复杂如cos2π17这样的数都能得到。但是,很多无理数,如32、cos20°等,都不能作出。这样的数都是有理系数方程的根,称为代数数。我们可以认为代数数是可构造实数的推广,是人类认识数过程中的一个跨越。事实上,所有代数数也构成一个数域,这个数域目前仍然是数论研究的重要问题。

方程求根的探索告诉我们,尽管很多方程的根不是可构造实数,但它们都可以由方程的系数经过四则运算和开平方得到。是不是把开平方的条件放松为开任意次方就可以解决问题了呢?这又把研究对象向前推进了:有理系数方程的根能不能由系数的四则运算和开方的方式得到?经过数百年的努力,数学家们终于发现,并不是所有代数数都

可以用有理数的四则运算和开方的方式得到。这一发现引起了代数学领域的一场革命,很多崭新的概念和理论被提出,迅速发展成一个个庞大的研究分支。

接着,埃尔米特(Hermite)和林德曼等人的发现告诉我们,有些数(如e、π等)甚至不是任何非零有理系数方程的根,这些数就是超越数。这个发现促使数学家们重新审视实数,并建立了严格的实数体系。进一步研究表明,超越数要比代数数多得多。而对负数开方的问题又导致了复数的发现,将数的理论推到了新的高度。

这些都是数学研究的波澜壮阔的历史,值得每一个后来人了解、学习,从中吸取营养,当然也应该是我们在中小学乃至大学数学教育中使用的宝贵素材——利用它们(可以“混而不错”的方式)引导学生思考、探索,体会数学之美,从而保持好奇心,并有勇气作出新的发现。

参考文献:

[1][2]JohnDerbyshire.代数的历史:人类对未知量的不舍追踪[M].冯速,译.北京:人民邮电出版社,2010:97,98.

[3]朱富海,陈智奇.高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社,2018:117.

[4]邓少强,朱富海.抽象代数[M].北京:科学出版社,2017:153-203.

[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2022:14.

(朱富海,南京大学数学系,教授。从事基础数学方向李群李代数的研究,对本科数学教育有深入思考,编著多本本科教材,并在个人公众号“數林广记”中写下了数十万字的教育心得。)

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