从“类”到“变”开展结构化教学

谷永芳

摘 要：从过往的教学实践来看，《认识射线、直线和角》一课的知识点琐碎、知识量大，教学难度较大。结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“对内容进行结构化整合”的要求，尝试开展本节课的结构化教学：立足“类”的建构，把握数学知识结构；立足“联”的统整体现数学活动的关联；立足“变”的实施凝聚数学概念的本质。

关键词：小学数学；结构化教学；《认识射线、直线和角》

“认识射线、直线和角”是苏教版小学数学四年级上册《垂线和平行线》这一单元的起始内容。这部分内容是在学生初步认识角和线段的基础上教学的，也是学习两条直线垂直或平行等特殊位置关系不可缺少的基础知识，更是今后研究其他几何图形的必备知识。可以说，《认识射线、直线和角》一课是学生从直观认识几何形体向形成线、角、形、体等几何概念的重要转折课；射线、直线和角的概念，是整个几何知识体系中的关键概念。从过往的教学实践来看，教师普遍觉得本节课知识点琐碎、知识量大，教学难度较大。结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“对内容进行结构化整合”［1］的要求，尝试立足“类”的建构、“联”的统整、“变”的实施，开展本节课的结构化教学。具体教学过程与思考如下：

一、教学过程

【片段1】

师 今天，我们的研究从最基本的图形“点”开始。（课件演示）让它（点）朝某一方向移动，停，这时移动的轨迹是一条——

生 是一条线。

生 准确地说是线段。

师 早在二年级的时候，我们就认识了线段，关于线段，你已经有了哪些认识？

生 线段是直的。

生 线段有两个端点。

生 线段有长有短。

师 （出示图1）在这幅图里，你能找到线段吗？

生 尺子的边、挡板的边都是一条线段。

生 激光笔射出的光线也是一条线段。

生 激光笔射出的光线是一条长5厘米的线段。

师 能把这条线段画下来吗？

生 能。

（学生动手画。）

师 （课件演示）如果把挡板继续往后移，这条线段会——

生 这条线段会越来越长。

师 想象一下，如果把挡板拿掉，会怎样？

生 这条线会从这一点出发，越射越远。

生 这条线就是无限长了。

生 这条线就变成一条射线了。

师 是的，假如这只激光笔的能量无限大，射出的光线又没有任何遮挡，那这条光线就可以看作一条射线。生活中，你还能找到这样的射线吗？

生 手电筒发出的光线可以想象成一条射线。

生 夜晚，激光灯的光线可以想象成一条射线。

生 在不考虑重力以及风力等阻力的前提下，射出去一支永不掉落的箭，它的轨迹可以想象成一条射线。

师 同学们，根据刚才的观察、想象和交流，你能把心中的射线表示出来吗？在空白纸上试试看。

（学生画。）

生 （展示画法，如图2）我画的射线是这样子的。（同步指）从这一点出发，一直一直往这边射出去，无限长。

生 （展示画法，如图3）我是这样画的：（同步指）这边画了一个端点，表示从这里发出；这边没有画端点，表示这一端可以无限延长。

师 这两种画法都能表示出射线无限长，如果从简洁、准确的角度说，你更认同哪个？

生 第二种。

师 是的，我们并不能真正画出无限长，所以数学家用端点来表示边界。同学们，通过研究，我们知道了把线段的一端无限延长，能得到一条射线。想象一下，如果把射线的另一端也无限延长呢？

生 就得到一条直线。

师 在脑海中想象一下这条直线，并根据刚才画射线的经验，在纸上也表示出一条直线。

（学生画。）

师 （出示图4、图5）谁来评价一下这些作品？

生 我认为这两种画法都是正确的，但后一种画法更简洁。

生 我也更赞同后一种画法，没必要画到纸的边，在作业本上总不能也画到本子的边吧。不画端点就能表示两端都能无限延伸。

［说明：学生在第一学段已经认识了线段，了解了线段的特征，但时隔两年再次学习，时间跨度大了，相关认知可能不够清晰。因此，本节课通过学生熟知的“点动成线”导入，激发学生对线段的已有认知，再以线段概念为生长点，借助贴近学生实际生活又直观形象的激光笔，打通线段和射线之间的“挡板”，自然而然地让学生感知到直线可以看成线段“无限延长”得到的几何图形。学生从真正意义上理解“无限延长”，往往会有些困难。于是，通过“把线段无限延长”，引导学生想象，丰富对射线的直观感知，促进射线和直线表象的形成。当然，光形成表象还不够，还要让学生剥离出概念的核心本质。于是，通过多次在纸上画线（线段、射线、直线），通过学生不同认知作品的对比，抽象出概念的本质特征。］

【片段2】

师 （出示图6）你能任意画一条线，让A、B两点都在这条线上吗？

（学生自主理解，尝试画线。教师巡视，发现典型的画法，让学生上台展示。）

生 （展示画法，如图7）我连接A、B两点，画出了一条线段。

生 （展示画法，如图8）我是这样画的，超出B点，画的是一条射线。

生 我有补充，这里面也有线段AB。

生 （展示画法，如图9）我讓两边都无限延长了，画的是一条直线，这里面也有射线和线段。

师 同学们，你找出来了吗？这里面有几条线段？射线和直线呢？

生 （同步指）这是一条线段，这是一条直线；从A点往左是一条射线，往右也是一条，B点处也是一样的，所以有4条射线。

师 是的，把线段的一端无限延长就能得到射线，把线段的两端都无限延长就能得到直线；线段是射线和直线的一部分。请大家继续介绍。

生 （展示画法，如图10）我画的是一条曲线。

生 （展示画法，如图11）我画的也是一条曲线，不过是上下起伏的。

生 （展示画法，如图12）我画的是一条折线。

师 （动画演示将各种连线合到一起，得到图13）同学们，用数学的眼光看看，这四条线有什么不同？

生 它们是不同类型的线。

生 它们的长度不同。

师 哪一条最短呀？

生 线段最短。

师 还能画出比这更短的线吗？

生 好像画不出来。

师 是的，两点之间线段最短，这条线段的长度就是两点之间的距离。量一量，A、B两点之间的距离是多少？

生 A、B两点之间的距离是7厘米。

师 （出示图14）这是从老师的学校（江苏省南京市高淳区实验小学）到你们学校（江苏省南京市玄武外国语学校附属小学）的推荐路线，你能看懂图意吗？

生 从老师学校到我们学校的路程是103.6千米，预计用时1小时53分。

师 那这103.6千米是我们数学上研究的距离吗？

生 是的，就是距离。

生 不是的，两点之间的距离是两点之间线段的长度，而这条线是弯的。

生 我赞同他的观点。这不是线段，线段应该是直的。我们知道两点之间线段最短，所以我推理两点之间的距离会比103.6千米少。

师 分析得多好呀！数学上两点之间的距离指的是两点之间线段的长度，而这里的103.6千米其实是指这两点之间的路程。刚才我们研究了两点画线，如果从一个点出发，你能画几条射线？

生 无数条。

师 （动画展示）一条、两条……老师不画了，仔细观察，让你想到了以前认识的什么图形？

生 角。

师 关于角，又有什么新的知识呢？自学一下课本上的例2。

（学生自学汇报。）

［说明：本节课知识点比较碎，要复习线段和角的知识，还要学习射线、直线、角的新知识，同时要考虑在某个环节加上两点之间距离的教学。这里，设计过点画线的活动，巧妙地打通整个知识体系。过两点画线的活动中，先展示线段、直线、射线这三种直的线，不仅能再次巩固三种线的不同特征，更能讓学生从中深刻体会到三种线之间的密切联系——三种线的联系与区别也是本节课的教学重点。接着，展示两点之间曲线、折线和线段三种不同类型的线，通过比较它们的不同，突出两点之间的连线中线段最短，顺其自然地揭示两点之间距离的概念。最后通过过一点画射线，让学生惊喜发现两条射线组成一个角，沟通射线和角的关联。］

【片段3】

师 课的最后，让我们从运动的角度，再来看看今天所学的知识。（课件展示）把点朝一个方向移动一定的距离就形成了线段，把线段的一端无限延伸就形成了射线，把射线的一端也无限延伸就得到了直线；把线段平移就能得到我们认识的这些平面图形……角也能看成线的运动，你想到了吗？

生 把射线旋转。

师 是的，角也可以看成是射线绕端点旋转形成的。

（完成板书，如图15所示。）

［说明：课尾，带领学生从运动的角度去观察、思考今天所学的知识，和课始的“点动成线”呼应。这不仅让学生从数学知识内容本身的发生、发展脉络去学习，更能打开学生思维，拓宽他们思考的广度和宽度，引导他们从另一个视角去再次整体建构整节课的知识体系。角既能看成从一点引出的两条射线，又能看成射线绕端点旋转而成的图形。这既丰富了角的概念，为今后继续研究角的知识打下扎实的基础，更能培养学生的发散思维。最终形成的板书，更是将零散的知识点进行了结构化的整合，助力学生获得比较系统完整的“线”与“角”的知识，形成相应的数学概念，并让结构化的知识体系深植脑海，真正做到学有所痕、学有所获。］

二、教学思考

内容的结构化重在设计，更重在课堂的落实。结构化的教学能帮助学生建立体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系，养成数学的思维习惯和研究精神。

（一）立足“类”的建构：把握数学知识结构

其实，教材在编写的时候，已经充分考虑到“类”的集合，将同一类型、同一主题、同一分支下的内容放在一起编排。但是这些同“类”内容常常被人为地割裂成教一个个知识点、学一个个例题、做一个个习题。本节课的教学内容其实就是线和角的知识，但是很多教师往往看到的是“类”下面零散的“点”：端点的个数、形状、有限长和无限长、角的标记、读法、两点之间的距离，等等。我们应立足“类”的建构，整体把握数学知识的结构。因此，上述教学过程重点突出了对“线”这一核心概念的认识。基于学生对线段的已有概念，逐步生长出射线、直线的概念，分析和对比不同类型的线，不断强化概念的本质特征。两点之间的距离，其实就是线段的长度；面就是线段的平移；角就是从一点引出两条射线，或者说由一条射线绕端点旋转而成。于是，“线”串起所有的知识内容，构建出结构化的知识体系，体现出知识内在的整体性和一致性，更利于学生去同化和顺应。

（二）立足“联”的统整：体现数学活动的关联

如果说“类”关注的是数学知识逻辑结构的建构，那么“联”是更关注课堂活动方式的统整。以往我们习惯将层层深入具有逻辑结构的内容，通过“问题串”的形式不断串成一条知识链，可这样的教学往往是教师牵着学生走，并不能充分体现学生的主体地位。现在，我们更提倡将教学环节不断地融、不断地通，通过选择恰当的学习素材、创设真实的问题情境，整合教学环节，用少而精、精而妙的活动方式，关联数学活动，统整数学课堂，让学生在大问题、大空间中充分发散自己的思维，积累丰富的学习活动方法和经验，走向自主建构的结构化，达到结构化教学的真实目的。

在片段1中，教师选择了激光笔发出激光这一贴近学生真实生活的情境，关联起线段、射线和直线的内在联系。首先，借助挡板发现此时的光线可看作线段，再通过拿掉挡板，让学生直观想象出射线的模型，有效突破了本节课的重难点。在这样直观的模型基础上，直线的认识顺其自然。片段2更是体现了这一点：通过简单的过两点画线的活动关联起所有线的知识。在开放的活动中，学生的不同想法得以展现，有线段、射线、直线、曲线、折线，不仅统整了三线的联系与区别、各种连线的特征、两点之间的距离等知识，还在不同作品的交流和比较中，打开学生思绪的阀门，防止思维定式，培养发散思维。在片段3中，教师引导学生以运动的视角，从最基本的几何图形点开始，呈现点到线、线段到面、射线到角的形成过程，关联起所学的所有基本几何图形。

（三）立足“变”的实施：凝聚数学概念的本质

概念的“变”是指在概念由具体到抽象过渡的过程中，不仅提供肯定例证的一般形式，而且提供变更非本质特征的变式，帮助学生从多个角度感受事物的本质特征，摒弃非本质特征，理解概念。变式也是中国数学教学方式的特色，它的实施能凝聚数学核心概念的本质。

比如，在片段1中，让学生在纸上表征出射线的几何图形，通过收集学生的不同作品进行比较，发现不同射线作品的相同特征，即都是直的、都有一个端点、都是无限长，从而抽象出射线的本质特征，建立射线的几何模型。又如，在片段2中，对于两点之间的距离，除了直接的测量之外，还把真实情境与任务背后的真实世界直接当作变式练习，以实现数学知识与生活之间的密切联系。结合实际路线图中千米数的分析，在实际中应用所学知识，加深“两点之间线段的长度才是两点之间的距离”这一概念理解，同时培养应用意识。

立足“类”的建构、“联”的统整、“变”的实施开展结构化教学，有助于学生更好地理解和掌握数学学科的知识体系，有助于学生更快地实现知识和方法迁移，有助于学生更广泛地进行思维的发散，有助于学生深度学习的进阶和核心素养的发展。

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：3.