直观想象的水平表征与发展路径

【编者按】 直观想象是数学学科核心素养的重要表现之一。它本质上是一种基于图形展开想象的思维能力，但它不仅体现在“图形与几何”领域的学习中，还蕴含在利用“图形与几何”领域的知识，理解其他领域的知识，解决各种数学问题的过程中。近一年多来，费岭峰老师带领的团队围绕“直观想象”这一主题开展了一系列研究，既对直观想象的内涵及水平表征做了深入剖析，还就针对相关学习内容运用直观想象的策略要点方面总结了一些经验，形成了一些典型案例。本期《专题研究》栏目刊发的5篇文章，是他们这一阶段研究成果的集中呈现。

摘 要：直观想象是基于数学学习的内容特点、过程方法提出的数学核心素养之一。其内涵可以从事物感知的方法、概念理解的手段与问题解决的策略等三个维度来解读。其发展可以划分为感受描述、直观分析与想象构建等三个水平。其发展路径包括：在图形概念的形成中感知与抽象，在图形运动的学习中变化与比较，在数概念的建构中借形理解，在数学问题的解决中转化与建模。

关键词：小学数学；直观想象；几何直观；空间想象；图形

直观想象作为高中阶段的数学核心素养，是基于高中数学学习的内容特点、过程方法提出的，指“借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养”［1］；在小学阶段，可以分解为几何直观和空间观念［2］。考虑到“几何直观”与“空间观念”的联系，我们整体关注“直观想象”，结合小学数学的内容，尝试在课标阐述的基础上，厘清水平表征，明晰发展路径。

一、直观想象的内涵解读

从词语的组成上看，直观是指通过感官直接接触到事物、感受到形象的感性认知方式；想象是指基于某种信息材料，在脑海中浮现出新的形象的思维方式。直观与想象合起来就是借助直接感受到的事物的某些要素，经过大脑处理形成新的形象的认识事物方式。也可以说，直观想象“本质上是一种基于图形展开想象的思维能力”［3］。

具体而言，可以从三个维度加以解读：

（一）作为事物感知的方法

数学与生活密切相关。许多数学知识来源于生活，是在对生活现象的观察与对现实问题的解决中逐步抽象而来的。因此，对事物的感知是数学学习的起点。学生也正是在对事物的感知中，真切感受到数学知识的学习与生活经验、对生活现象的认识存在着密不可分的联系。在数学学习中，常常可以“借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化”，从而获取知识、解决问题。

比如，在探索解决如“在一条长100米的道路一边每隔5米种一棵树，至少需要几棵树”这样的问题时，可以借助直观形象的线段图来分析、厘清情境内容；在观察感受到“教室地面的面积大约是60平方米”后，可以推断“学校操场的面积大约是多少平方米”；等等。当然，小学阶段许多几何图形的形状、大小，都可以看作是在对生活中的物体观察感知的基础上抽象概括而成的，在感悟事与形之间、形与形之间、形与数之间等关系时也会经历这一过程。

（二）作为概念理解的手段

数学概念一般具有高度的抽象性，这给学生的理解带来一定的难度。于是，我们可以“利用空间形式特别是图形，理解数学问题”。比如三角形高的定义：“从三角形的一个顶点到它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。”如果仅靠文字，学生对定义中的“顶点”“对边”与“线段”等关键词的理解还是相对抽象的。如果结合一个画有高的三角形图（如人教版小学数学四年级下册第61页的图，可以画1条高，更好的是画3条高），学生便很容易理解三角形高的含义。

事实上，直观想象手段的运用还经常会出现在“数与代数”领域内容的学习中。比如，对于分数、小数等数概念，一般会结合生活情境与直观图形，帮助学生认识与理解其含义。当然，像乘法分配律这样相对抽象的数学规律同样可以借助直观想象的手段来认识与理解。

（三）作为问题解决的策略

“利用空间形式特别是图形”，还可以“解决数学问题”。事实上，“画数学”已经成为帮助学生分析与解决数学问题的重要手段。

“平行四边形面积”的学习就是一个典型的例子。学生探索平行四边形面积计算方法的过程中，出现了两种典型方法：一是通过剪拼将平行四边形轉化成一个与其同底等高的长方形，然后用“长×宽”计算长方形的面积，因为这里的长就是平行四边形的底，宽就是平行四边形的高，因此平行四边形的面积可以用“底×高”来计算；二是通过拉动将平行四边形转化成一个四边长度不变的长方形，然后用“长×宽”计算长方形的面积，因为这里的长和宽就是平行四边形的邻边，因此平行四边形的面积可以用“邻边相乘”来计算。两种方法看似都有道理，但是相互矛盾。这时，可以引导学生通过想象、结合画图，完整呈现转化过程，分析发现：“邻边相乘”的方法是错误的，因为在拉动的过程中图形的面积扩大了；而“底×高”的方法是正确的，因为在割补的过程中图形的面积没有变。

二、直观想象的水平表征

基于直观想象内涵中的关键词“直观”“想象”“感知”“理解”“解决”等，可以结合数学活动、学习发展的过程，把直观想象素养划分为三个水平。

（一）水平一：感受描述

这是直接观察获得感性经验的第一步，是直观想象素养发展的基础水平。此水平具体表现为：能够将通过感官感受到的事物的形态与变化用语言表述出来。比如，看到某个装零食的长方体的盒子，知道像盒子那种形状的图形就是长方体，并能够描述出长方体的基本特征：6个面，每个面都是长方形，相对面的形状、大小看起来是相同的；两个面相交的地方有一条边，相对边的长度是相等的。从认识事物的水平来看，“感受描述”层次的直观想象还是对感受到的“事物的形态与变化”的最直接反应，等同于认知能力水平的“直感”。而从思维过程来说，“感受描述”需要经历信息的输入与输出的转换，即将感官感受到的信息经过加工，用数学语言表达出来，因此，在直观想象素养的发展中有着重要的定向作用。

（二）水平二：直观分析

此水平的表现是：在前一水平直观感受积累了丰富的“事物的形态与变化”经验的基础上，对感受到的“事物的形态与变化”有一定程度的理解与分析。这个阶段既有感官经验的再现，更有自身理解状态的展现。实际表现一般会出现两种情况：一种以图形的认识为学习目标，即基于图形的形态特征，对图形的性质等有一定的理解与掌握；还有一种是将图形作为理解与分析的手段，过程中也会有结合图形特征的描述，但重點关注非图形事物的本质或关系。前者如“圆的认识”学习中，学生通过对一个纸片圆的操作探索，如采用折一折、量一量、画一画等方式探究，发现一个圆中的所有半径都相等，所有直径也都相等。后者一般体现在借形理解的内容中，如数的概念，无论是低年段认识整数，还是中高年段认识分数、小数，教材一般都会在基于现实场景的“实际量”的基础上，以图形符号等引导学生认识具体的“数”，从而帮助学生建构数与量、数与形的关系，更加立体地理解数的概念。

（三）水平三：想象构建

发展直观想象素养的基础是直观感受，而最终目标则是能够借助直观与想象，经历对数学知识的抽象、理解，建立分析、解决数学问题的基本路径。其中，想象构建是要求较高的一种表现，即在积累了相应的形的经验、数与形的联系以及一些物体的空间位置关系的认识的基础上，借助形的特征，分析数学知识之间的内在联系，形成一定的结构化认识能力。当然，这样的认识水平一般体现在数学抽象、数学推理、数学建模等综合运用知识，形成高阶思维水平的数学活动中。比如，学生有了长方形、正方形、平行四边形和三角形、梯形等平面图形的面积计算经验后，通过一种图形的面积计算方法［如“梯形面积=（上底+下底）×高÷2”］勾连起这几种平面图形的面积计算方法之间的关系。这一活动因为有相应的图形特征的回忆，也需要图形动态变化的想象与思考；有相应的几何直观的经验再现，也需要一定的空间想象作为支持，综合性较强，显然是学生直观想象素养较高水平的体现。

三、直观想象的发展路径

直观想象素养，需要在日常数学知识学习、问题解决的过程中，有策略、有路径地发展。根据直观想象的内涵，它首先可运用于“图形与几何”领域（关注空间形式）知识的学习，其次可运用于“数与代数”领域和“统计与概率”领域（从根本上看，关注的都是数量关系）知识的学习中，此外可广泛地运用于数学问题的解决中。具体地，在“图形与几何”领域知识的学习中，对“图形的认识”，运用直观想象的关键是感知与抽象；对“图形的运动”，运用直观想象的关键是变化与比较。在“数与代数”领域知识的学习中，运用直观想象的关键是借形理解。在数学问题的解决中，运用直观想象的关键是转化与建模。由此，我们提出直观想象素养发展的四条重要路径。需要指出的是，因为分类标准不完全一致，这四条路径可能会有一定程度的交叉，但是，它们显然有各自的侧重。

（一）在图形概念的形成中感知与抽象

这是基于图形认识内容的直观想象素养发展路径。严格意义上讲，数学中的几何图形在生活中都是借助“物”而存在的。比如，学生看到的长方体、正方体一般都是以生活用品的形式出现的：长方体形状的饼干盒，正方体形状的魔方，等等。平面图形更不会独立存在，而是数学抽象的结果。实际教学中，教师引导学生认识这些图形时，一般也会借助生活中的物品，组织相应的动手操作活动，引导学生通过一定的观察，在发现的基础上，归纳出相应图形的特征。这样“看得见、摸得着、构得成”的过程，就是数学学习中典型的感知与抽象过程，也是发展直观想象素养的重要过程。

作为图形概念形成的基础，感知与抽象是数学学习过程性目标达成以及数学活动经验获得的必要过程。实际学习中，对事物的“感知”是必要的基础性活动，一般需要经历“单一物”的感知、“多个物”的感知以及共性特质的关联梳理等三个认识层次。而“抽象”一般会表现出两种不同的维度：一是直接抽象出图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等，便是基于生活中一些物品的共性特质抽象得出的立体图形；二是感悟图形之间的关系，如有了立体图形面的特点的感知，通过描画的过程抽象出相应的平面图形。具体如长方体中的某个面，因其是四边形，且4个角都是直角，所以依照这个面描画下来的图形就是长方形；如果这个图形中的4条边也正好相等，那么这个长方形就比较特殊，是正方形。这个过程中，便蕴含着平面图形与立体图形的关系，以及平面图形内部之间的关系。

（二）在图形运动的学习中变化与比较

静态观察、单独认识当然是数学学习的一种基本方式，但在运动变化中学习数学更能帮助学生系统建构数学知识，有利于学生形成整体思维。直观想象便蕴含着动静结合的价值。典型例子如“点动成线，线动成面，面动成体”，由此我们很容易认识到点、线、面、体之间的关系，还可以体会到图形的认识离不开对图形基本要素的把握。

在图形运动的学习中，直观想象素养的发展核心是基于动态变化，通过相互比较，把握数学知识中“变”与“不变”的实质。这一过程一般表现为两种形式：一是研究对象整体的运动，二是研究对象某些要素的运动。当然，不管哪一类运动，都会有图形的形态变化吸引学生做深入的研究。前者如第一学段中“认识立体图形”的学习：学生在观察的基础上，借助操作活动，结合运动特征，对立体图形的一些要素有感性认知，如长方体、正方体、三棱柱等几何体的面是平的，可以在一个平面上作平移运动；由圆柱与球可以在平面上滚动，能够感受到圆柱有一个曲面，球是曲面图形。这样的操作比较活动不仅使学生初步认识了长方体、正方体、圆柱等立体图形，还能让学生体会到这些立体图形之间的不同之处。后者如上文在直观想象水平三中所举的例子：利用动点规律，沟通几种平面图形面积计算公式之间的联系，为学生从整体上认识平面图形面积，掌握面积计算方法提供帮助。

（三）在数概念的建构中借形理解

数学知识中，数与形的关系是密不可分的。这不仅仅表现在数学知识的结构上，也表现在数学学习的过程中。数形结合是学生认识数或认识形时常用的学习方法。借助形的支撑，理解数的含义、把握数之间的关系，形成数概念结构，已经成为一线教师的共识。

当然，从直观想象的意义来看，借形理解既是手段，又是目的。数学概念的建立，需要“多通道”“多结构”“立体”实现。所谓“多通道”，即手到、眼到、心到地多种感官参与学习过程，在動一动、看一看、想一想等活动中丰富感性经验，从而让抽象的数学知识形象起来、生动起来，变得可感、可悟、可用。所谓“多结构”，则指向数学知识的不同表征方式，既可以是纯数学的表达，也可以是物象的表示，还可以是符号化及图形的表征。比如，乘法分配律的学习中，“一套衣服”“一对课桌椅”是物象表征，两个长方形的组合是图形表征，字母表达式则是符号表征，虽然载体不同，但内在结构却是一样的。最后的“立体”体现在学习的进程中，因为有通道的多元、结构的多样，形成知识的过程便不是线性的，也不是平面的，而是多维度、多向度的。这也正是借形理解助力学生数概念建构的意义所在。

（四）在数学问题的解决中转化与建模

在解决数学问题时，直观想象一般是与转化、建模等数学基本方法整合在一起应用的，特别注重“图形的转化”与“模型的建立”，以形成相应的解题方法与相关的活动经验。实践中，可以运用于不同领域内容的学习，常表现为转化得到两种不同层次的直观模型：一种为思维模型，表现为动态化的、过程性的；另一种为形式模型，表现为工具化的、结果性的。无论哪一种模型，其建构的目的均指向数学问题的解决。

“转化”的思维模型可以表述为思考问题的过程，即我们平时经常说的化归思想，有化难为易、化繁为简、化新为旧等。从直观想象的意义上看，这种转化的过程一般通过图形的运动变化来实现，比如平面图形面积计算方法的探索、图形特征的认识与性质的理解，等等。

“转化”的形式模型更多为简约的、结构化的法则、公式等求解典型问题的工具。模型的获取很多会蕴含在典型问题的探索过程中，目的在于为解决相似的问题提供帮助。比如，对于上文谈到的“植树问题”，可以通过例题的解决初步梳理出三种结构（两端都种，一端种、一端不种，两端都不种），借助图形的直观明晰不同问题的结构特点，从而形成相应的解决策略。

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：6.

［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：7.

［3］ 徐德同，钱云祥.基于质量监测的初中学生直观想象发展状况的调查研究［J］.数学教育学报，2017（1）：22.