随机螺旋链中Gutman指数期望问题研究

2023-06-25 01:19刘鑫美房明磊

哈尔滨商业大学学报（自然科学版） 2023年3期

刘鑫美,房明磊

(安徽理工大学数学与大数据学院,安徽淮南 232001)

本文所考虑的都是无向简单图.设G=(V(G),E(G))为一个以V(G)为顶点集,E(G)为边集的图.对任意一个点u∈V(G),它的度表示为dG(u)或d(u).图G中任意两个点u∈V(G),v∈V(G)的最小路径表示为u,v两点之间的距离dG(u,v)或d(u,v)[1].

众所周知,化合物可以通过化学图来表示[2],其中顶点对应于原子,边代表原子中的共价键[3].拓扑指数是结合分子结构及其物理化学性质最重要的预测方法之一[4].而Wiener指数[5]是最著名的一种拓扑指数,其表达式为

W(G)=∑{u,v}⊆V(G)dG(u,v).

Gutman指数[6]作为Wiener指数的加权指数被提出,表达式为

Gut(G)=∑{u,v}⊆V(G))[dG(u)dG(v)]dG(u,v).

一个含有(n+1)个十边形的随机螺旋链Sn+1表示为将一个终端十边形Hn+1通过点与点直接连接在一条含有n个十边形的螺旋链Sn上[7],如图1所示.

图1 含个十边形的螺旋链Figure 1 A random spiro chain with decagons

图2 螺旋链的五种排列方式Figure 2 The 5 types of local arrangements in spiro chains

一个含有n个十边形的随机螺旋链Sn是通过逐步增加终端十边形得到的[9],此时,设增加的个数为t(=3,4,…,n),那么将有以下五种随机排列:

1 随机螺旋链中的Gutman指数

对于一个随机螺旋链Sn,Gutman指数为随机变量.将Sn+1定义为,把Sn与一个新的十边形Hn+1相连,其中Hn+1的每个点表示为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x1与un重合(如图1)[11].当v∈Sn时,显然有:

d(v,x1)=d(v,un);d(v,x2)=d(v,un)+1 ;

d(v,x3)=d(v,un)+2;d(v,x4)=d(v,un)+3;

d(v,x5)=d(v,un)+4;d(v,x6)=d(v,un)+5;

d(v,x7)=d(v,un)+4;d(v,x8)=d(v,un)+3;

d(v,x9)=d(v,un)+2;d(v,x10)=d(v,un)+1;

∑v∈VSndSn+1(v)=20n+2.

定理1.1. 当n≥1时,在随机螺旋链Sn中,Gutman指数的期望为[12]:

16p1-12p2-8p3-4p4).

证明:令Gut(Sn+1)=A+B+C.

4[d(v,un)+2]+4[d(v,un)+3]+

4[d(v,un)+4]+2[d(v,un)+5]-

社会治理系统现代化是国家治理现代化的重要组成部分，其核心要义正如中共十九大报告所指出的，是打造共建共治共享的社会治理格局。在这个系统中，系统与要素的关系是整体与部分的关系，其中任何一个主体都不能脱离社会治理系统而孤立存在，因为各主体只有在社会治理系统中才能发挥各自的功能和作用，脱离这个系统，各主体就会失去各自相应的功能。党和政府只有在这个系统中，才具有社会治理的领导和主导地位，才能发挥领导和主导作用。同样，社会组织和城乡居民只有在这个系统中，才具有社会治理的主体地位，才能发挥社会协同和基础性的作用。而这些特质是由系统整体的非加和性所决定的。