考虑投资者犹豫程度的欧式回望期权模糊定价研究

韦才敏,于 涛*

(1.汕头大学 数学系,广东 汕头 515063;2.汕头大学 数字信号与图像处理技术重点实验室,广东 汕头 515063)

自1973年,Black和Scholes[1]提出的欧式期权定价模型以来,期权的价格公式受到了大量的研究,并被广泛应用.与欧式期权不同的是,回望期权是一种收益会依赖于期权有效回望期内原生资产价格,最后决定取大还是取小的奇异期权.回望期权可以获得在行权期间可获得的最大可能收益,这也使得该类期权的价格会较高.Conze[2]利用概率工具研究了欧式和美式回望期权,并给出了各类欧式回望期权价格的显式解.He等人[3]研究了双回望期权定价问题,给出了数值结果,并与单回望期权定价问题进行了比对.袁国军等[4]研究了在不完全市场下有交易成本的回望期权的定价问题,得到了在该模型下期权价格所满足的微分方程.Zhang等[5]人假设股票价格服从Levy过程驱动的不确定微分方程,研究了回望期权的定价问题,导出了回望期权的定价公式.Chen等人[6]利用混合分数布朗运动的复合泊松过程驱动的随机微分方程,建立了混合跳跃-扩散分数布朗运动环境的价格模型,并给出了混合跳跃-扩散分数布朗运动欧式浮动敲定价格的看涨期权和看跌期权定价公式.贾念念和刘颖[7]通过奇异摄动方法,求出了基于CIR随机房价波动率下的浮动敲定价格回望看跌期权的定价模型.

然而,由于金融市场具有波动性,确定性的期权定价模型已经不能适应金融市场的发展,迫切需要在随机和模糊环境下研究期权定价的相关问题和模型.模糊性与随机性不同,模糊性是指由于投资者不知道股票收益率的确切分布,从而对是否进行投资产生一定的不确定性.Zadeh[8]提出的模糊集理论很好地解决了这类问题.近年来,模糊集理论作为一种有用的工具在金融衍生产品定价中得到了广泛的应用.Wu[9]的研究表明了在B-S模型下研究模糊性的必要性;在模糊环境下为了取得股票的收益,人们往往更注重对“最坏”情况的考虑[10];Broadie等人[11]提出了一种模糊定价模型,用于求解回望期权的模糊价格;秦学志等人[12]利用梯形模糊数来求解期权价格;Carlsson等[13]和Collan等[14]分别研究了模糊环境下的实物期权定价问题;Muzzioli等人[15]定义了三角模糊变量作为股价变量,并建立了美式模糊期权的定价模型.Liu等[16]分析了模糊随机模型下不可逆投资的期权价值;Zhang等[17]将股票价格、无风险利率和波动率假定为模糊数,研究了几何亚式期权的定价.但是单一的三角模糊数仅能表示投资者是否进行投资,不能表示投资者在面对模糊性时的犹豫程度,张茂军等人[18]首次把三角直觉模糊数引入到离散情况下的欧式期权定价问题的研究;明雷等人[19]则在此基础上研究了Black-Scholes模型下的欧式期权定价问题.

综上,需要同时从随机性和模糊性两个方面建模,才能较为全面地描述金融市场中的不确定性特征.本文的贡献及创新点主要有两点:1)将标的股票价格的变化过程作为随机模糊过程,利用风险中性定价方法推导出欧式回望期权的模糊价格表达式;2)将三角直觉模糊数引入到欧式回望期权定价中,利用模糊集理论得到了浮动敲定价格下欧式回望期权的价格截集;刻画了投资者的犹豫程度,投资者可根据自身对风险的承受能力,合理地选择行权区间,弥补了现有关于欧式回望期权定价文献中未考虑投资决策行为犹豫度的不足.

本文的其余部分组织如下:采用二叉树方法对固定敲定价格下欧式回望期权进行分析,将上升、下降因子作为三角直觉模糊数,给出了期权的风险中性概率和模糊价格.利用Yoshida[20]简化股价模糊区间的方法,对浮动敲定价格下欧式回望期权进行了讨论,给出了股价的模糊区间;并在验证了期权模糊价格是关于股票模糊初始价格的单调递增函数后,得出了期权价格截集;运用控制变量法研究了不同因素对浮动敲定价格下欧式回望期权价格截集的影响,并给出了经济学解释.

1 预备知识

1.1 二叉树无套利定价模型[21]

p·(Su-S0)+q(Sd-S0)=(1+r)·S0

(1)

其中:u为上升因子,d为下降因子,S0为原资产价格,r为无风险利率,p为上升风险中性概率,q为下降风险中性概率.

对式(1)进行化简得

(2)

1.2 浮动敲定价格的欧式回望期权[22]

(3)

其相对应的收益为V(T)=Y(T)-S(T).

给定t∈[0,t],在时刻t,欧式回望期权的风险中性价格为

(4)

引理1.1 布莱克-斯科尔斯-默顿方程:假定在S(t)=x,Y(t)=y的条件下,设V(t,x,y)为浮动敲定价格回望期权在时刻t的价格,则有

(0≤t

(5)

其中:

(6)

1.3 三角直觉模糊数[23]

(7)

(8)

其非隶属度定义为:

(9)

图1 三角直觉模糊数Figure 1 Trigonometric intuitional fuzzy numbers

2 欧式回望期权的三角直觉模糊价格

以下分别推导出固定敲定价格和浮动敲定价格欧式回望期权的三角直觉模糊价格,并得出浮动敲定价格欧式回望期权的价格截集.

2.1 固定敲定价格的欧式回望期权的三角直觉模糊价格

在本节中,采用风险中性定价方法计算欧式回望期权价格,为此需要计算出股票价格变化的风险中性概率.假定金融市场需要满足如下条件[24]:

a.股票可细分成不同份额来买卖;

b.投资和借贷的利率相同;

c.股票的买卖价格一致(即买入和卖出的价差为0);

d.任何时刻,股票价格在下一时刻只有两个可能值.

于是可将式(2)写成

(10)

对式(10)取〈α,β〉截集有

(11)

其中:

(12)

(13)

将上式左、右端点分别展开有:

对于左端:

整理得:

p=

(14)

同理对右端展开有:

p=

(15)

以上得出的两个数值应当相等;

由式(14)可得:

q=1-p=

(16)

同理由式(15)也可得到q的表达式.

由风险中性定价公式可得期权的模糊价格为:

(17)

其中:q如式(16)所示.

当α=1时,以上即退化为固定敲定价格的欧式回望期权的二叉树模型,此时有

(18)

期权价格公式同样如式(17)所示.

固定敲定价格的欧式回望期权是将上升、下降因子设为模糊变量,并最终得到期权的模糊价格.下文则是将股票的初始价格设为模糊变量,在验证期权价格关于股票的初始价格为单调递增后,结合股票价格截集的定义,推导出了浮动敲定价格下欧式回望期权的模糊价格截集.

2.2 浮动敲定价格下欧式回望期权的三角直觉模糊价格截集

(19)

其中:

(20)

以下引出模糊截集的概念:

(21)

其中:

(22)

(23)

定理2.2 股票价格的三角直觉模糊价格可用区间分别表示为

(24)

且

(25)

推论2.1 同理,可以得出截止时刻t资产价格最大值的模糊截集:

(26)

在给出期权的价格截集之前,应当验证期权价格关于选中的模糊变量是否为单调的.

定理2.4 浮动敲定价格下,欧式回望期权的模糊价格是关于股票模糊初始价格的单调递增函数.

证明:欧式回望期权在到期时刻T支付的模糊截集为

(27)

且该支付非负;给定t∈[0,T],在时刻t,欧式回望期权的风险中性价格为:

(28)

对式(28)求导后有:

故命题得证.

在验证了单调性后,为了简便地得到期权价格的模糊截集,可选取任意时刻t,则此时股价St为已知量,取S1=St-cSt,S2=St+cSt;此外,可使选取的时间片段较小,并假设在这段时间内股价的历史最高值保持不变,即由常值函数代替该单调不减函数.于是可以得出欧式回望期权价格的模糊截集.

定理2.5 期权价格的模糊截集:

a.当Δ>0时,有

0

(29)

0

(30)

其中:

(31)

b.当Δ≤0时,有

0

(32)

0

(33)

其中:

(34)

证明:在已知期权的模糊价格是关于股票模糊初始价格的单调递增函数后,定理2.5可由定理2.1与定理2.2得到.

3 数值实验

接下来通过控制变量法来分析各个因素对期权价格截集的影响.由于固定敲定价格的欧式回望期权的数值分析可采取与浮动敲定价格的欧式回望期权相似的方法来研究,所以只给出了后者的数值分析结果.

3.1 基准模型的参数数据

3.2 稳健性分析

在已有结论的基础上,通过控制变量法对模型的稳健性进行研究,即分别对期权价格曲线的增减性、凹凸性、上下期权价格的相对差以及在金融市场中的意义等进行分析(由于Δ>0和Δ≤0时所得图形类似,本节主要给出Δ>0时各个变量对期权价格的影响;以下各图虚线均为V1,实线均为V2).

图2、3说明:随着无风险利率或波动率的增大,其各自相对应的期权上、下限价格均增加.在凹凸性上,随着无风险利率的增加,期权上下限价格均为上凸函数;而随着波动率的增大,期权价格均为下凸函数.两图期权价格的相对差均变化不大,即定价区间变化不明显.对应实际意义则说明,当利率和波动率很小时,期权价格也接近0;同时由于行权人不会在期权价格大于Yt-St时行权,则当利率和波动率很大时,期权价格也为0.

图2 无风险利率对期权价格的影响Figure 2 Influence of risk-free rate on option price

图3 波动率对期权价格的影响Figure 3 Influence of volatility rate on option price

图4表明,随着初始价格的增大,期权的上下限价格均呈线性增长.注意到在该模型假设下,股价的初始价格不宜过小,不然会出现期权上下限价格颠倒的情况,这与选取的最高价格为常数变量有关,但是当初始价格较高时没有这种情况发生.

图4 股价的初始价格对期权价格的影响Figure 4 Influence of initial price on option price

而图5所反映的期权价格与最高价格的对应关系和直觉所认为的不同,随着最高价格的增加,期权的上下限价格会呈线性降低.同时最高价格不应过大,否则会出现期权价格为负数的情况,而这是没有实际意义的.

图5 期权价格与最高价格的对应关系Figure 5 Influence of peak price on option price

图6表明,与欧式期权不同,浮动敲定价格的欧式回望期权的价格随时间的变化并不大.在某一时间内,期权价格会随着时间的增加而变大,但一旦达到该时间之后,期权价格将保持不变,此时类似于固定敲定价格的欧式回望期权.图7说明:随着其值的变大,期权的上限价格线性增加,下限价格线性降低,这说明随着模糊指标的增加,定价区间也在变大,期权的价格也更具模糊性.

图6 行权时间对期权价格的影响Figure 6 Influence of expiration on option price

图7 模糊指标对期权价格的影响Figure 7 Influence of fuzzy indicator on option price

图8表明,随着α的增加,期权的上限价格在线性减小,而对应的下限价格在线性增大,定价区间逐步减小.但是与实际相联系后可知,α不应过大,否则会出现下限价格大于上限价格的情况,另一方面过小的α意味着定价区间过大,不利于对期权价格进行估计.图9说明,正好α-与截集相反的单调性和定价区间变化,即不应取β值过小.总之,这三个因素都应当选取适当的取值范围,才能更好地符合经济学的解释.

图8 α-截集对期权价格的影响Figure 8 Influence of feasibility α on option price

图9 β=截集对期权价格的影响Figure 9 Influence of feasibility β on option price

图10、11表明,随着最大隶属度的增大,期权的上限价格减小,为下凸函数;期权的下限价格增大,为上凸函数.从而定价区间也会减小,故可适当增加最大隶属度,进而使估算的价格更为准确.最小非隶属度所对应的期权上下限价格函数的单调性和凹凸性则相反,定价区间也会随着最小非隶属度的增大而变大,故可适当选取较小的最小非隶属度,获得更精确的期权价格.上述说明两者对投资者犹豫程度的影响相反,符合理论分析结果.

图10 最大隶属度对期权价格的影响Figure 10 Influence of maximum membership on option price

图11 最小非隶属度对期权价格的影响Figure 11 Influence of minimum non-membership on option price

4 结 语

本文将三角直觉模糊数的概念引入到固定敲定价格的欧式回望期权中,运用风险中性定价方法和三角直觉模糊数的截集运算法则,得到了期权的模糊价格解析式.重点研究了浮动敲定价格的欧式回望期权,通过引入判别式Δ,并在论证了期权的模糊价格是关于股票模糊初始价格的单调递增函数后,推导出了浮动敲定价格下欧式回望期权价格的模糊截集.在给出基准数据的基础上,运用控制变量法分析了各个变量对期权上下限价格的影响.通过数值分析发现,相比于直接给出期权价格的解析解,引入三角直觉模糊数将更有利于投资者在面对投资时做出判断,投资者可以根据自身的投资需求和对风险的承受能力,合理地选择行权区间,因此具有较好的经济学意义.