李喜春
平面向量最值问题具有较强的综合性,侧重于考查向量的线性运算、向量的基本定理、两个向量的位置关系、向量的数量积公式等.这类问题的难度通常较大,需灵活运用数形结合思想、函数思想、转化思想来辅助解题.本文主要谈一谈下列三类平面向量最值问题的解法,
一、求参数的最值
有些平面向量最值问题中含有参数,要求参数的最值或取值范围,需根据题意建立关于参数的关系式,将问题转化为求代数式的最值问题,利用基本不等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加减法的几何意义:三角形法则和平行四边形法则,画出相应的几何图形,此时需认真观察图形中点、线的位置关系,合理添加辅助线,寻找参数取得最值的临界情形,再运用数形结合思想求得参数的最值.
由BM=xBA+yBD联想到平面向量的共线定理,而M为圆上的动点,于是添加辅助线DE;再设BM=λ丽,由M的运动轨迹求出λ的范围;最后运用平面向量的共线定理来解题.
二、求向量的模的最值
一般地,若a=(X,Y),则|a|=x2+y2,|a|表示向量a的模,即向量a所在线段的长,可以利用向量的线性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式,再求该表达式的最值,即可求得向量的模的最值.还可以根据向量的几何意义构造出几何图形,将所求向量的模看作三角形、四边形的一条边长,确定向量的模取最值的情形,根据三角形、四边形的性质来求得向量的模的最值.
例3.已知直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ADC=90°,AD=2, BC=1,P是DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为_______.
我们根据直角梯形的特征建立平面直角坐标系,设出动点P的坐标并求得各个点的坐标、各条线段的方向向量,即可求得|PA+ 3PB|的表达式,最后运用基本不等式求得向量的模的最值.
于n是 e1、e2表示的,所以需重点研究元的取值范围.恒成立,进而根据二次方程的根的判别式得出|n|的取值范围,最后根據余弦函数的定义求e1、e2的最小值,解答这类问题,同学们需熟记并灵活运用两个向量的夹角公式和余弦定理.
可见求解平面向量最值问题,需注意以下几个问题:
第一、熟练运用平面向量的运算法则、几何意义、共线定理及向量的基本定理;
第二、将向量最值问题与函数、方程、不等式、解三角形知识关联起来,灵活运用数形结合思想、转化与化归思想,函数思想等辅助解题;
第三、研究一些常见的、典型的题目,总结这类题目的通性通法,积累解题经验.