一类二项指数和的四次幂均值

袁仁杰,王婷婷

(西北农林科技大学 理学院,陕西 杨凌 712100)

设q是一个正整数,m、n是任意整数,则二项指数和定义为

其中:r>s>0是整数;e(y)=e2πiy,i2=-1。

指数和的估计与许多数论问题密切相关,如华林问题、素数分布问题等,在解析数论的发展中起着非常重要的作用。各种形式的指数和C(m,n,r,s;q)在不同参数下的高次均值计算问题也一直吸引了许多学者的兴趣,近年来有许多这方面的研究。例如,Zhang H等[1]证明了当p为奇素数时,有恒等式

式中,n表示整数且满足(n,p)=1。

Chen L等[3]研究了一种新的形式C(m,1,4,1;p)的四次均值,当p是奇素数时,得到了恒等式

和

事实上,对于常数α=α(p)也是有来源的。文献[4]中的定理4-11表明,如果p是一个素数且p≡1 mod 4,则有

p=α2+β2=α(p)+β(p)。

-1。

近期工作中,Zhang W P等[5]对C(m,n,3,1;p) 的六次均值做了研究,证明了对任意的奇素数p和满足 (n,p)=1 的整数n,有恒等式

其中:4p=d2+27·b2;d是由d≡1 mod 3唯一确定的。

此外,文献[6-14]中也对二项指数和的诸多性质进行了研究,此处不再赘述。

上述文献中只对s=1情况下C(m,n,r,s;p)的均值问题做了一些研究,而对于s≥2的情况到目前为止还未看到相关研究。这是因为随着s的增大,C(m,n,r,s;p)的均值计算难度会越来越大,对于原来的一些方法可能就不再适用。基于此,本文将尝试考虑参数为r=4,s=2下,这种二项指数和的2k次幂均值的计算问题,即

(1)

其中,k≥2是一个整数。

当s=2时,如果a通过模p的简化剩余系时,而a2不完全通过模p的简化剩余系,那么,这部分内容无法直接使用高斯和或者三角恒等式的性质来研究。这无疑对C(m,1,4,2;p)的均值计算增加了难度,研究起来会很复杂。本文借助初等和解析方法,利用模p特征的正交和奇偶的性质将问题进行转化,再结合模p的特征和的性质给出式(1)在k=2和p≡3 mod 4情况下的一个简洁的计算公式,即定理1。

定理1令p≡3 mod 4是一个素数。则有恒等式

p·(7p2-14p-5)。

注1在定理1中,只考虑了p≡3 mod 4这种情况。如果p≡1 mod 4并且k=2时,此情况下的问题研究非常复杂,使用本文的方法无法对其进行研究,故对其确切的计算公式目前还无法给出。

对于素数p≡3 mod 4和整数k≥3的情况下,式(1)是否存在一个精确的计算公式?这是一个公开的问题,有待于进一步的研究。

1 若干引理

要证明定理1,需要用到以下5个引理。其中,引理的证明需要用到初等或者解析数论中的一些知识,详见文献[4,15-16],这里不再一一列举。

引理1令p≡3 mod 4 是奇素数。若χ为任意模p的非实偶特性,那么有

若χ为模p的任意非实奇特征,那么有

式中,χ2表示模p的勒让德符号。

证明利用模p的简化剩余系以及经典Gauss和的相关性质将上述均值展开,得到

(2)

如果χ是任一模p的偶特征,那么χ(-1)=1。又χ2(-1)=-1,则有

(3)

如果χ是任一模p的奇特征,那么,χ(-1)=-1,则有

(4)

引理2令p≡3 mod 4 是一个素数,则有恒等式

和

2(1+χ2(2))·p。

证明首先,利用三角和的性质,有

2p(p-1)-(p+1)=2p2-3p-1

(5)

以上过程中借助了恒等式

注意到τ2(χ2)=-p,类似地,又有

2(1+χ2(2))·p

(6)

由式(5)和式(6),引理2得证。

引理3令p≡3mod 4 是一个奇素数,有恒等式

2(p-1)(p-3)

和

2(p-1)(p-3)。

证明根据模p特征的相关性质,则有

(7)

2(p-1)(p-3)

(8)

根据特征的性质,与式(7)类似的,又有

(9)

运用式(9),则有

(p-1)(p-3)-

(p-1)(p-3)-

2(p-1)(p-3)

(10)

那么,由式(8)和式(10),引理3得证。

引理4令p≡3 mod 4,有恒等式

(p-1)(5p3-9p2-7p-1)。

证明设χ0为模p的主特征,根据引理1～3的结果,容易得到

(2p2-3p-1)2-

2p2(p-1)(p-3)+(2p2-3p-1)2-

p2(p-3)2=

(p-1)(5p3-9p2-7p-1)。

引理4得证。

引理5令p≡3 mod 4,有恒等式

2p2(p-1)(p-3)。

证明结合引理 1～3的结果,可推出

4p2·(1+χ2(2))2=

2p2(p-1)(p-3)+

4p2·(1+χ2(2))2-

4p2·(1+χ2(2))2=

2p2(p-1)(p-3)。

引理5得证。

2 定理1的证明

首先,由模p特征的正交性,有

(11)

其次,由引理4和引理5,可以得到

(p-1)(5p3-9p2-7p-1)+

2p2(p-1)(p-3)=

(p-1)(7p3-15p2-7p-1)

(12)

最后,结合式(11)和式(12),得

7p3-15p2-7p-1

(13)

如果p≡3 mod 4,注意到恒等式

(p+1)2

(14)

由式(13)和式(14),可以推导出恒等式

7p3-14p2-5p

(15)

综合以上结果,定理1得证。

3 结语

本文的主要研究成果是给出了二项指数和C(m,1,4,2;p)的四次幂均值,即对任意素数p满足p≡3 mod 4,有恒等式

p·(7p2-14p-5)。

同时,也提出了几个关于这类二项指数和的 2k次幂均值(k≥2)的有趣的公开问题。