参数方程在圆锥曲线教学中的应用

【摘要】本文论述参数方程知识对解决圆锥曲线问题的积极意义，分析参数方程知识与圆锥曲线知识的结合点，并通过高考真题、高三年级模拟试题的分析，阐述利用参数方程解决坐标变换、椭圆的范围、两点间距离等问题的方法。

【关键词】参数方程 圆锥曲线 教学应用

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）11-0121-06

在高中阶段，平面解析几何包含直线与圆、圆锥曲线、坐标系与参数方程等内容。在高中数学教材中，直线与圆、圆锥曲线是平面解析几何的主要内容，参数方程则是选讲内容。虽然这几部分内容同属于平面解析几何知识，但在教材中的分布比较分散，且在高考中对参数方程知识的考查通常是通过选做题考查，这导致不少学生将参数方程知识与平面几何知识割裂开来，尤其是在学习圆锥曲线知识时，不少学生不懂运用参数方程知识解决圆锥曲线的问题，致使学习效率低。因此，笔者认为，在圆锥曲线知识教学中，教师应向学生详细讲解参数方程知识，从而促进学生数学联想能力和解题能力的全面发展。

一、参数方程知识对解决圆锥曲线问题的积极意义

（一）参数方程在解决坐标变换问题中的作用

坐标变换问题是学习圆锥曲线知识的难点问题，解决这一问题的常规方法是相关点法，采用这个方法的难点如下：一为是设所求点为（x，y），还是设已知点为（x，y）；二为是用已知点的坐标表示所求点的坐标，还是用所求点的坐标表示已知点的坐标；三为容易与函数平移“左加右减，上加下减”的知识点混淆。

参数方程有一个区别于普通方程的重要特征：已知曲线参数方程的形式，可以得到曲线上点的坐标的形式，即若曲线的参数方程为[x=f（t）y=g（t）]，则曲线上任意一点均可表示为（f（t），g（t））。也就是说，要确定曲线上某点的坐标，只要确定这个点所对应的参数值即可。因此，我们可以利用参数方程的这个重要特征解决坐标变换问题，得出所求点的参数方程，再消去参数得到普通方程，这让解题变得更为直观且不易出错。

（二）参数方程在解决两个变量问题中的作用

圆和椭圆是圆锥曲线中常见的图形，也是高考考查的热点。圆的参数方程和椭圆的参数方程都可以利用平方关系“sin2[α]+cos2[α]=1”进行三角换元得到，因此用参数方程设出圆或椭圆上的点相较于用常规方法设点更为容易。

二、参数方程知识与圆锥曲线知识的结合点

在解决圆锥曲线问题时，采用常规方法会涉及两个变量，这对学生来说无疑会增加解题难度。而参数方程只有一个变量，学生不用考虑多种不确定情形，就能有效减少出错的情况。为了使学生更清楚参数方程与圆锥曲线的关系，笔者归纳出参数方程知识与圆锥曲线知识的四个结合点。

由以上四点可以看出，在一些与曲线参数方程的形式或几何意义有关的问题中，使用参数方程设点，具有使问题变得直观明了、减少运算量、提高正答率的作用。

三、运用参数方程知识解决圆锥曲线问题的策略

（一）利用参数方程解决坐标变换的问题

由此可见，用参数方程解决坐标变换问题，可大大降低错误率，并且在解题过程中不必考虑参数是否具有几何意义。另外，我们还需要掌握常见的曲线方程化为参数方程的方法有三种：一是在圆、椭圆、双曲线中利用平方关系进行三角换元；二是在直线方程中可令其中一个元为t，代入方程求解出另一个元；三是在抛物线的标准方程中，可令二次项为2pt，代入方程求解一次项，这样可避免开方带来的正负问题。

（二）利用参数方程解决椭圆的范围问题

解决这道例题的常规方法是代入、消元，然后将问题转化为二次函数求值域问题，其难点是消元，易错点是忽略[x0]的范围。直接用椭圆的参数方程设点，然后将问题转化为二次函数求值域问题，并且在换元过程中不容易忽略范围，从而避免了失误。

（三）利用椭圆的参数方程和圆的参数方程解决两点间距离的问题

由椭圆的参数方程和圆的参数方程的形式可知，椭圆或圆上任意一点都可以用只含有[α]的三角函数来表示，因此在解决两点间距离的问题时，善用圆或椭圆的参数方程设点可减小运算量。教学操作要点如下：①根据题意用圆或者椭圆的参数方程设点；②代入两点间距离公式。

由以上例子可见，由于椭圆和圆的参数方程都只有一个变量，用于设点解题可减少变量个数，从而减少运算量，提高解题正确率。在平时的教学中，教师要有意识地将椭圆或圆的参数方程和圆锥曲线联系起来，拓宽学生的解题思路。

（四）利用直线的参数方程解决“有一个公共端点且共线的两线段的长之和或积”的问题

以上三道例题的共同特点是：已知一条直线与圆锥曲线交于不同的两点，所求为与两线段的长之和或积相关，其中这两条线段的一个共同端点为直线上一点（可已知可未知），另一个端点为直线与圆锥曲线的交点，有这个特征就可以用直线参数方程中参数的几何意义解题。解答过程中要求学生数形结合，注意直线所过定点是在圆锥曲线内部还是外部，是否要求判别式大于0。

解析几何是指用代数的方法研究几何图形的性质，教师在教学过程中要帮助学生构建完整的解析几何的知识体系，学生在学习过程中也不能将选修4-4与整个解析几何体系割裂开来。通过这样的教学，可以使学生对参数方程及其中参数的几何意义有充分的理解，加深学生对参数方程的理解，从而能够充分发挥参数方程的解题优势，学会从参数方程的角度去審视问题，不断增强思维的综合性和灵活性，从而不断提高解题的准确率。

参考文献

［1］课程教材研究所、中学数学课程教材研究中心编著.坐标系与参数方程［M］.北京：人民教育出版社，2005.

［2］李仕魁.一道极坐标、参数方程视角下的椭圆高考题［J］.数理化解题研究，2022（1）.

作者简介：张薇（1986— ），广西合浦人，一级教师，主要研究方向为高中数学解题思想方法及教学策略。

（责编 蒙秀溪）