浅谈操作学具帮助学生理解竖式算理的策略

高雅

【摘 要】“不仅要掌握算法，还要理解算理”已成为教师计算课教学的共识，但学具操作帮助学生理解算理的实践有效性还有待增强，教学中教师可以从“厘清算法算理是什么”“设计合适的导学问题”“聚焦关键动作”几个方面入手，凸显直观操作与抽象算理之间的联结，从而帮助学生掌握算法、理解算理。

【关键词】算法 算理 操作

笔者连续听了三节北师大版数学一年级下册第六单元加与减（三）的第四课时“阅览室（两位数减一位数的退位减法）”的常态教研课。三位教师课前都做了充分的准备，尤其是在教具和学具的准备上下足了功夫：从“阅览室”情境中抽象出“30-7”的算式后，他们给每个学生准备了计数器和小棒，让学生用计数器拨一拨，用小棒摆一摆，然后再组织学生展示分享自己是怎么拨、怎么摆的。课后交流时，三位执教的教师都不约而同地反思道：花了大量的时间让学生去操作、演示，学生动手操作和上台分享占用了课堂太多的时间，有的学生说得又不是很清楚，导致算法没有时间去强化练习，而学生对算理的理解似乎并不是很深刻。笔者听出教师的弦外之音其实是想问：已经有很多学生能够口算出30-7=23，课堂上还有没有必要让学生动手操作？直接教计算方法是不是省事而且有效得多？面对教师的困惑，笔者先后追问了两个问题：①课堂上为什么要让学生摆一摆、拨一拨呢？②两位数减一位数的退位减法的算法和算理到底是什么？对于问题①教师们几乎不假思索地脱口而出：因为不仅要让学生掌握算法，还要通过操作让学生理解算理。但问题②，教师们有些惊诧，竟然一时语塞，陷入短暂的静思中……

可见，教师对“计算课不仅要掌握算法，更重要的是要让学生理解算理”“要通过对小棒、计数器等实物的操作帮助学生探索计算方法、理解算理”这样的理念和目标已经耳熟能详并且在实际教学中努力地为这样的目标实践，但实践效果并不理想，有的时候甚至让教师产生“这样的课堂教学效率并不高”的挫败感。那么，教师将学具操作运用于教学实践时到底走入了什么误区？计算教学时应如何帮助学生掌握算法、理解算理？

一、研读文本，厘清核心问题“算理、算法到底是什么”

“算法、算理到底是什么？”这是计算课教学的核心问题。这个问题会让教师一时语塞，究其原因它在教学经验里是一个“不是问题的问题”，连教师用书上都只是强调“掌握算法、理解算理”，而并未清楚地阐述算法和算理到底是什么。因此，教师有必要在研读文本时弄清这个核心问题的本质。

算法就是计算的方法，是“怎么算”的问题；算理就是计算的道理，也就是“为什么这么算”的问题。我们首先追溯到不退位减法的算法和算理：比如57-42，怎么算？个位7减2等于5，十位5减4等于1，所以结果是15。因此，不退位减法的常用计算方法是个位上的数减个位上的数，十位上的数减十位上的数，也就是相同数位上的数相减。那么，这样算的道理是什么呢？道理就是只有相同计数单位的数才能直接相加减。

从不退位减法到退位减法，学生会产生怎样的思维冲突呢？比如30-7，用原有的计算方法“个位上的数减个位上的数”会遇到“新问题”，因为个位的0减7不够减，那怎么办呢？办法就是退1当10再减。为什么是“退1当10”呢？因为1个十就是10个一，“退1当10”实际就是“十”与“一”这两个计数单位间的等量转换。简而言之：两位数减一位数的退位减法的算法就是在原有的“相同数位上的数分别相减”的基础上“退1当10再减”，算理就是“1个十相当于10个一”。那么，与此相对应的进位加法的算法就是“满10进1”，算理就是“10个一是1个十”。后续学习三位数加减法和多位数加减法时，学生可以以此为经验，进一步深化理解“满十进一”和“退一当十”的道理并由此发展多样化的算法。

又如学习除法竖式时，“理解除法竖式中每一步的含义”也是学习中的难点，教师往往也是通过分物过程来解释竖式每一步所表示的意思，从而帮助学生理解除法竖式的算理。那么，除法竖式的算理到底是什么呢？以68÷2为例（见下表）：

教学时要结合现实的分物过程解释竖式每一步的意思，让学生体会，竖式是分物过程的一种记录方式，从而让学生把分物操作内化成其数学思维过程。

二、设计合适的导学问题，引领学生带着问题动手操作

问题的指向性是否明确也是影响教学效果的重要因素之一。在教学“30-7”时，在学生动手操作前，教师提出了比较常見的导学问题：30减7得多少或者30减7怎么算？请你用小棒和计数器算一算。这个导学问题有两个弊端：一是学生没有操作小棒和计数器的需求，只是按照教师的要求进行“假操作”，因为他早就算出了30-7=23；二是学生误认为用小棒计算、用计数器计算、用竖式计算是三种不同的计算方法。其实在这里，小棒、计数器、竖式是三种不同的计算工具，而小棒和计数器能直观地演示出竖式计算中“在十位上打个小圆点，个位就变成10减7”的道理，即小棒和计数器的演示是为了直观理解算理，这也是小棒和计数器操作的必要性和重要性所在。设计怎样的导学问题，才能让学生产生用小棒和计数器操作的需求并帮助学生理解“退一当十”的道理呢？

“0减7不够减，怎么办呢？”“要从3捆里减去7根，怎么办呢？”“个位一个珠子也没有，要减去7个，怎么办呢？”这类问题是引领学生动手操作的重要导学问题。“怎么办？”指向学生需要动脑筋想办法解决问题，从而产生操作的需求并在操作时关注解决问题的方法，而不仅仅是关注计算的结果。从小棒的操作来看，需要拆散一捆，变成10根，从10根里减去7根。从计数器的操作来看，需要从十位退掉1颗珠子换成个位的10颗珠子，再从个位的10颗珠子里减去7。这些操作动作都是在直观地解释竖式中“在十位打个小圆点就在个位当10来减”的原因，竖式则是在简洁地记录“退1当10”的过程。

相对于“怎么算？得多少？”，“不够减怎么办？”是更贴近一年级学生认知水平的导学问题，能有效地帮助学生建立直观操作与抽象数算之间的对应关系，从而达到通过直观操作理解算理的目的。因此，在实践教学中，教师需要将核心素养的目标具体化，并依据具体化的目标设计最能引发学生学习需求和思考的导学问题。

三、聚焦关键动作，帮助学生建立联结，澄清思维

学生在导学问题的引领下，运用小棒和计数器进行独立操作之后，教师会组织学生展示分享他们解决问题的过程和方法。独立操作后的集体展示分享是课堂教学中非常重要的一种教学方式，在一定程度上保证了学生学习思考的时间和空间。如果说独立操作是个体自主学习的过程，那么展示分享就是一个集体共享共进的过程。而最让教师苦恼的是学生的“共享”往往不得要领，“共进”也有点停滞不前。怎么办？郑毓信教授指出，学生的自主学习不能忽视教师的指导和帮助。在展示分享环节，教师如何指导和帮助学生想得更深入、更全面、更清晰呢？“聚焦关键动作，建立直观操作与抽象算理之间的联结 ”是教师需要建立的重要思维方式。

就退位减法这节课而言，操作的关键是“把1捆拆开”或者“十位1颗珠子换成个位十颗珠子”，而学生的展示分享往往是流水账式的，即把“拆开一捆、从10根里去掉7根、还剩23根”的全过程一点不差地演示出来，甚至在减7根的时候还是一根一根减的，导致演示过程很长，学生注意力分散。因此，教师要帮助学生养成操作后思考的习惯，即回顾反思，想想是怎么解决问题的，解决问题的关键是什么；然后在思考的基础上聚焦到关键动作是“散开一捆变成10根”或者“将十位的一颗珠子换成个位的10颗珠子”，从而理解“退一当十”。

这样的算法和算理教学不仅适用于两位数减一位数的退位减法，也适用于多位数的退位减法。从这个意义来说，两位数的退位减法又是整个退位减法教学的起始课，而退位减法的计算方法又蕴含着转化的思想，即“个位不够减”这个新问题如何转化成已经解决的旧问题，只要“借1当10”就实现了新问题向旧问题的转化，新问题就能迎刃而解。

关于算法和算理的教学贯穿整个小学阶段的四则运算，对“什么是算法和算理”的追问又应该统领运算教学的全过程，这样相关教学就不仅是给操作与分享提供时间和空间，而更重要的是指导学生在操作和分享中实现从经验认知到数学认知的超越。