一类非线性椭圆问题解的正则性

黄苗苗,赵雪漪,冯贺平

(1.汉江师范学院 数学与计算机科学学院,湖北 十堰 442000;2.湖北大学 应用数学湖北省重点实验室,湖北 武汉 430062;3.河北软件职业技术学院 智能工程系,河北 保定 071002)

设Ω为Rn(n≥2)中的有界开子集.考虑椭圆型方程的边值问题

(1)

其中,a(x,s,ξ):Ω×R×Rn→Rn和f(x,s,ξ):Ω×R×Rn→R为Carathéodory函数,对几乎所有的x∈R和所有的(s,ξ)∈R×Rn,有

a(x,s,ξ)·ξ≥α|ξ|p-k1(x)-γ1|s|θp,

(2)

|a(x,s,ξ)|≤β|ξ|p-1+k2(x)+γ2|s|n(p-1)/(n-p),

(3)

|f(x,s,ξ)|≤γ3|ξ|p-1+k3(x)+γ4|s|θ(p-1),

(4)

其中,1

k1(x)∈LT(Ω),k2(x)∈Lp′(Ω),k3(x)∈Lm(Ω),m>(p*)′,

T=[1-(1-(p*)′/m)p′/(p*)′]-1,(p*)′=(np/(n-p))′=np/(np-n+p).

(5)

为了得到椭圆型边值问题(1)在条件(2)、(3)、(4)下解的正则性,需要Marcinkiewicz空间Mγ(Ω)(也称弱Lebesgue空间)的定义,它是调和分析中的一个重要的空间,在偏微分方程解的正则性理论中应用广泛.Marcinkiewicz空间Mγ(Ω)的性质见文献[1].

定义1设γ>0,Marcinkiewicz空间Mγ(Ω)由所有满足下列条件的可测函数g:Ω→R组成:存在常数c1>0使得

g*(t)=meas{|g|>t}≤c1/tγ,∀t>0.

(6)

g∈Mγ(Ω)的范数定义为

显然,当γ>1,0<ε≤γ-1时,有

Lγ(Ω)⊂Mγ(Ω)⊂Lγ-ε(Ω).

(7)

注意到,在条件(3)和(4)下,式(7)中的积分是有限的.

非线性椭圆型方程解的正则性问题已经得到了广泛的研究,见文献[2-12],但多数考虑的椭圆型问题(1)的右端函数f只与x有关.本文考虑更复杂的一种情况,椭圆型问题(1)的右端函数f不仅与x有关,还与u(x)及Du(x)有关[13].在这种情况下,经典的Stampacchia引理[14-16]不能再使用,为了克服这个困难,需要使用推广的Stampacchia引理[17],Gao等[18]给出了稍微不同的结果,形式更为简单.

引理1设c2,α,β,k0为正常数,0≤θ<1.设函数φ:[k0,+∞)→[0,+∞)非增,且对任意k0≤k

φ(h)≤c2kθα[φ(k)]β/(h-k)α.

(8)

i) 若β>1,则存在k*>0,使得φ(k*)=0;

ii) 若β=1,则对任意k≥k0,有φ(k)≤φ(k0)exp{1-[(k-k0)/τ]1-θ},其中τ=max{k0,c2e2θα(1-θ)α};

iii)若0<β<1,则对任意k≥k0,有

下面给出本文的主要结果.

i) 若m>n/p,则u∈L∞(Ω);

ii) 若m=n/p,则存在正常数λ,使得eλ|u|1-θ∈L1(Ω);

iii) 若(p*)′

(9)

其中,Ak={x∈Ω:|u(x)|>k}.

对于式(9)的左边,由式(2)得

(10)

对于式(9)的右边,由式(4)得

(11)

综合式(10)、(11)得

(12)

下面计算I1、I2、I3.

和Young不等式ab≤εap+c(ε)bp′,a,b≥0,p-1+(p′)-1=1,可得

(13)

利用Hölder不等式、Sobolev不等式和Young不等式,以及式(5)中T的定义可得

(14)

下面估计|I3|,由Young不等式,Sobolev不等式和Young不等式,可得

(15)

将式(13)、(14)、(15)代入式(12)可得

(16)

由式(16)移项可得

(17)

其中,c3是个常数,与n,p,α,γ1,γ3,γ4,‖k1(x)‖LT(Ω),‖k2(x)‖Lm(Ω)有关.

取k0

(18)

将式(18)代入式(17)可得

|Ah|≤c4/[(h-k)p*][|Ak|(1/(p*)′-1/m)np′/(n-p)+kθp*|Ak|n/(n-p)],

(19)

|Ah|≤c4kθp*|Ak|β/(h-k)p*,

(20)

其中,β=min{(1/(p*)′-1/m)np′/(n-p),n/(n-p)}.

于是式(8)对φ(k)=|Ak|,α=p*,c2=c4成立.利用引理1可得:

1)若m>n/p,此时β>1,则存在一个常数k*使得φ(k*)=|Ak*|=0,即|u(x)|≤k*在Ω上几乎处处成立,此即u(x)有界.

2)若m=n/p,此时β=1,则对任意的k≥k0(k0为正常数), 有

|{|u|>k}|≤|{|u|>k0}|exp{1-[(k-k0)/τ](1-θ)}≤

|Ω|exp{1+(k0/τ)(1-θ)}exp{-(k/τ)(1-θ)}=c5e-2λk(1-θ),

(21)

|{eλ|u|1-θ>eλk1-θ}|≤|{|u|>k}|≤c5e-2λk1-θ.

3)若m