立足整式本质 拓展数学思维

周强

［摘  要］ 《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出了“代数式的推理”的要求，强调要让学生形成推理意识，了解代数推理. 代数式的推理是中学数学教学的重点内容，也是重庆市中考数学的难点之一. 代数的推理往往需要抓住内容本质，从内容的本质出发，去分析、归纳、总结、提炼. 文章以2022年重庆市中考数学第12题为例，从不同的角度进行分析，寻求突破口，在实现一题多解的同时拓展学生的思维.

［关键词］ 一题多解；数学思维；核心素养

试题呈现

试题  （2022年重庆中考数学第12题）在多项式x－y－z－m－n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”. 例如：（x-y）－（z-m-n）=x－y－z+m+n，x－y－（z-m）－n=x－y－z+m－n. 有下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同的运算结果. 其中正确说法的个数是（     ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

解法探析

本题是2022年重庆中考选择题的压轴题，以整式的加减运算、去括号法则为测评背景，巧妙设问，逐步深入，旨在让学生理解“加算操作”的含义，并验证题目中不同的说法正确与否. 本题围绕“加算操作”依次展开，其中主要的创新点体现在：（1）作为一种新型材料阅读题，不仅考查学生对“加算操作”定义的理解，还考查学生对“至少存在一种”“不存在任何”等关键词的理解. 如对于第②种说法，不少学生会钻牛角尖，将y值人为地设定成x值的相反数，认为第②种说法是错误的，导致最终选错选项. （2）对于第③种说法，大多数学生会选择枚举法，这就要求学生要做到面面俱到，要滴水不漏地考虑各种情况，同时做到全面且有序. 学生在考场多少会出现焦虑、粗心等情况，因此对于此类需要分类讨论的试题，他们常常考虑得不够全面，会出现漏算、错算，最终因错选丢分.

1. 判断第①种说法正确与否

要证明第①种说法正确，举例一种“加算操作”，其运算结果与原多项式相等即可. 不难发现单项式x前面的符号是正号，于是把前括号加到x前面，就不会改变原多项式的运算结果. 举例如下：（x-y）－z－m－n=x－y－z－m－n，（x－y－z）－m－n=x－y－z－m－n. 所以第①种说法正确.

2. 判断第②种说法正确与否

对原多项式进行“加算操作”，可以观察到运算结果始终为x-y…，即运算结果的前两项与原多项式的前两项保持一致，所以“加算操作”的结果与原多项式的和为2x-2y…. 因此，不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0. 第②种说法正确.

3. 判断第③种说法正确与否

（1）解法1：枚举法

问所有可能的“加算操作”的运算结果有几种，可通过枚举法，写出原多项式的所有“加算操作”存在的情况，最后汇总.

当添加一个括号时，有7种不同的结果，如：（x-y）－z－m－n=x－y－z－m－n；x－（y-z）－m－n=x－y+z－m－n；x－（y－z－m）－n=x－y+z+m－n；x－（y－z－m－n）=x－y+z+m+n；x－y－（z-m）－n=x－y－z+m－n；x－y－z－m－n=x－y－z+m+n；x－y－z－（m-n）=x－y－z－m+n.

当添加两个括号时，有1种不同的结果：x－（y-z）－（m-n）=x－y+z－m+n.

通過枚举法我们发现，对原多项式添加一个括号或两个括号后，得到的多项式的不同运算结果共有8种.

（2）解法2：排列组合法

原多项式x－y－z－m－n中单项式前面的运算符号为负号的有四项，通过“加算操作”可以改变运算符号的有三项. 对这三项进行“加算操作”，每一项可能出现的运算符号为两种：保持负号或者进行“加算操作”后得到正号. 因此可运用排列组合的方法，得到多项式经过“加算操作”后运算结果有2×2×2=8（种）不同的结果.

解法探析

1. 把握数学要求，立足整式本质

本题是在整式背景下的加减运算问题，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）对整式提出了概念，合并同类项和去括号法则，四则运算三个方面的要求，旨在让学生在学习过程中理解和掌握整式的本质，让教师在教学过程中凸显整式的本质，让试题在命制过程中回归整式的本质. 纵观近几年各地中考数学试卷，对整式内容的考查，要么过于简单，试题中规中矩、缺乏区分度，要么一味地求偏求难，计算过程复杂，并不能很好地体现整式应有的考查价值. 诸如此类的试题不但没有提升初中数学学科教育质量和作业设计水平，还与《课标（2022年版）》的要求背道而驰，徒增了学生的学业负担.

上面的试题立足于整式的去括号法则、加减运算等基础知识，可从多个角度思考，考查了学生对数学核心知识和基本技能的掌握，以及逻辑推理、数学运算、符号意识等素养.

2. 巧设数学问题，体现人文关怀

上面的试题对教材中整式的加减运算进行变式，构思巧妙，题目简洁明了，子问题的设定遵循了“由易到难，由特殊到一般”的原则，做到了层层递进，环环相扣，前一个问题的解决为后一个问题的解决提供了一定的思路和铺垫，凸显了问题设置的连贯性和有效性，体现了试题的区分度、信度和效度.

3. 聚焦数学思想，提升核心素养

（1）特殊与一般的思想. 对于某些一般性数学问题，可以先考虑其特殊情况，也就是从研究对象的全体转变为研究全体对象中的一个对象或部分对象，然后把解决特殊情况的方法或结论推广到一般问题上，从而得到一般性问题的结论. 为了判断本题的第①种说法和第②种说法是否正确，我们可以从特殊的、具体的多项式入手，进而证明一般性结论. 通过引导，学生能对特殊情况进行举例、猜想，进而验证一般性结论，得到想要的结论.

（2）分类讨论思想. 对于一些特定的数学问题，需要合理地分类，分门别类地进行研究，最后综合各类研究结果得到整体问题的结果. 如本题的第③种说法，要得到所有可能的“加算操作”的不同运算结果，就要依次讨论加一个括号、加两个括号的运算结果，然后从前往后依次添加括号进行讨论. 分类讨论有几个原则：一是分类的总域是确定的；二是分类必须完整，要做到不重不漏；三是分类的标准要统一；四是需要多次分类时，应逐级进行. 教师讲解试题时，通过对分类思想的渗透，能让学生所学的知识更加系统、有条理，能让学生的思维更加严谨［1］.

教学启思

1. 减量提质，让学生做好题

2021年，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，“双减”政策正式出台. 针对初中数学，“双减”政策落到实处的总要求是：落实“立德树人”根本任务，充分发挥数学学科的育人功能，立足初中数学课堂和学生实际，减少初中数学学科作业总量，提高初中数学作业设计质量，让学生在校内学会、学足、学好. 量减下来了，质如何提上去，怎样让学生“做好题”，值得教师深究. 一道好题，应该符合初中生的兴趣爱好和心理特征，题目体现的形式新颖多样，内容紧扣学习重点却不失趣味性，能让学生在做题时乐于思考，感受作业的乐趣. 例如，对于“整式”一章的作业布置，教师可以让学生结合实际，解决生活问题，如计算近日的温差、阶梯电价下的最优选择，并对一些枯燥乏味的数据赋予趣味的、生活的意义，从而激发学生对数学学习的兴趣.

本题既很好地考查了整式的去括号法则、加减运算等基础知识，又创设性地提出了一种新的运算操作，避免了“雷同”常规题，不失为一道好题. 所以教师在布置作业时，应避免布置单一的、機械化的作业，尽量选择符合初中生认知发展规律、结合时代发展的优质作业，真正实现精准练习、分层作业. 要让学生在作业中领悟数学思想方法，提高研究能力，增强运用知识解决实际问题的能力.

2. 环环相扣，让教师教好课

在数学教学过程中，教师可结合学情选择“环环相扣”的习题作为例题，引导学生根据题目的已知条件、结论，挖掘潜在条件，一步一步地去求解问题，并通过题目的引导逐步解决每一个问题. 实际上，学习数学的过程本身就是一个环环相扣、由浅入深、由简到繁的过程. 纵观初中数学内容的编排，七年级的数学重基本概念，内容比较简单；八年级的数学逐渐变得综合，知识之间的联系变强；九年级的数学综合性最强，与前两个年级的数学知识联系紧密，内容的深度、难度都提高不少. 所以，教师应带领学生思考、积累、总结，应引导学生感悟数学学习的连贯性和系统性，让他们切身体会学习数学的奥妙.

3. 深思精想，让师生共同进步

数学思想是数学活动的科学依据，它为数学活动把握了方向，对构建数学模型具有一定的指导作用，在学生用所学知识解决实际问题中具有定向功能［2］. 初中数学常见的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、特殊与一般思想、整体思想、化归思想、极限思想等，本题就体现了分类讨论思想和特殊与一般思想. 离开数学思想，数学知识是浅显的；离开数学知识，数学思想是空洞的. 所以教师要在教学过程中不断地渗透数学思想，要让学生在解决数学问题时不断地分析、挖掘，找到蕴含其中的思想方法，进而养成精准有效的解题思维. 不仅学生要学好数学思想，教师更要学好数学思想，唯有如此，教师才能做好数学思想的引导者、组织者和传授者. 教师应多看、多思、多写，即多研读数学教材及练习册等，多思考蕴含其中的数学思想，多撰写科学合理的教案，最终形成一套科学完备的数学思想教学方法体系. 教学是教师教和学生学的双边过程，唯有师生都具备深化数学思想的意识，才能共同进步.

参考文献：

［1］张璐璐. 数学思想方法在初中数学教学中的体现与渗透［D］. 山西大学，2021.

［2］沈文选. 中学数学思想方法［M］. 长沙：湖南师范大学出版社，1999.