单元教学指导下高三数学校本课程开发与实践

赵玲燕 李晓琴

【摘要】利用好选修课程教学对高中数学内容进行重构，以单元教学的方式整体提高学生的数学核心素养。

【关键词】校本课程；单元教学；集合

2021年12月31日，教育部印发了《普通高中学校办学质量评价指南》和《普通高中学校办学质量评价指标》，要求“不存在随意增减课时、改变难度、调整进度等问题，严禁高三上学期结束前结课备考”，实际上明确了从高二下学期期中到高三上学期结束的一个半学期时间应该组织高中数学选修课程的教学要求。《普通高中数学课程标准》给出了A、B、C、D、E五类高中数学选修课程的教学建议，其核心是为不同的学生提供有针对性的进一步的数学学习内容，特别是针对特长生和需要参加自主招生的学业水平较高的学生，由于绝大多数高中学生是通过参加高考进入高校，而且目前尚没有质量较高的通用选修课程教科书，因此需要通过这一个半学期以选修课程的方式针对这部分学生群体开设选修课程，完成以往“一轮备考复习”的目标，而且这一个半学期是落实单元教学、帮助学生深化知识结构、整体把握数学内容、提高数学学科核心素养的最佳时机。

一、单元视角下的高中数学选修课程规划

1.课程定位

本课程是在高中数学必修课程、选择性必修课程的基础上，为进一步满足以参加高考为主要升学渠道的学生的成长需要、由学校根据实际学情而设置的课程。

2.课程基本理念

本课程的课程基本理念与《课程标准》中描述的课程基本理念一致。

3.课程目标

本课程的课程目标包括《课程标准》中描述的高中数学课程的全部内容。通过本课程的学习，学生能够进一步从整体上把握高中数学知识，形成更加良好的认知结构，数学学科核心素养达到进一步发展。

4.学分设置

本课程为6学分，每学分20个课时，共120课时（根据《課程标准》中每学分18课时，每课时45分钟折算）。

5.课程内容

本课程分为预备知识、函数、几何与代数、概率与统计四个主题，将数学建模活动与数学探究活动、数学文化融入课程内容，每个主题包括高中数学必修课程和选择性必修课程的全部内容。本课程是对高中数学必修课程和选择性必修课程内容的优化与重组，以单元教学的形式开设。表1给出了本课程的课时分配建议，每个单元的课时分配根据该单元内容占整个高中数学必修课程和选择性必修课程总课时的比例进行设置（表1见文后）。

6.教学与评价建议

（1）基于诊断，促进数学学科核心素养的进一步发展。

（2）夯实基础，提高数学关键能力。

（3）科学训练，有效提高数学解题能力。

（4）目标导向，关注学生的学习过程。

二、高中数学选修课程集合单元教学设计案例

1.单元内容

集合的概念与表示、集合的基本关系和集合的基本运算。

2.单元内容解析

集合是高中数学的基础，是准确表达数学内容的语言。通过学习集合，能够不断提高学生对数学研究对象本质的认识，体会不同数学知识之间的关联，运用特殊与一般、数形结合等数学思想方法，重点发展数学抽象核心素养。

3.单元学习目标

（1）目标。①进一步落实《课程标准》必修课程中关于集合的单元学习目标；②能通过对集合内容的知识梳理，形成集合内容的单元知识结构图，形成对集合内容的结构性认识；③能运用集合语言准确表达高中数学各个主题的研究对象，体会不同知识之间的关联，提高应用集合语言解决问题的能力；④通过解题活动，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力。

（2）目标分析。根据本课程“教学与评价建议”，本课程的每一个单元“基于诊断”的要求就是要落实《课程标准》中关于单元内容的学习目标；素养导向就是要通过本课程的学习进一步加深学生对知识的整体性认识，形成结构；夯实基础与科学训练就是要通过解题活动提高学生的数学关键能力，特别是数学解题能力。由此得到上述目标。

4.课时安排

本单元教学需要用3个课时。

5.内容安排与教学设计建议

第1课时

1.课时目标

梳理集合的概念、性质和运算等有关知识，整体认识高中阶段集合内容的重要性、蕴含的数学思想方法、前后知识的关联，形成认知结构。

2.教学设计建议

（1）课前自学。要求学生根据下表中的问题，通过阅读教科书完成知识梳理的过程。

（2）课堂教学建议。①展示完成课前梳理任务较好的学生的学习成果；

②由教师进一步讲解、梳理集合知识的来龙去脉，对相应的问题要有更“统摄性”的讲解。如对问题9，要指出理解数学概念要特别关注概念的构成要素或概念的内涵，就集合而言，元素是构成集合的要素，因此两个集合相等就是两个集合的元素完全相同，这与判断函数相等、向量相等等问题是一致的，另外，明确一个数学研究对象的概念可以根据概念构成要素的特殊情况定义相应的特例，如单元素集、空集，再如向量概念里的零向量、单位向量等；对问题12，引导学生体会：明确问题所研究的全体对象的范围往往是基本的，对于这个范围中的一部分元素构成的一个子集，很多时候我们需要表达不在这个子集但在研究范围内的元素构成的集合，这时我们就需要用到全集和补集的运算。

下面重点说明问题10和问题14。对于问题10，一方面从乘法原理的角度可以得到：含有n个元素的集合A的子集有2n个，一方面从分类讨论的角度，有C0n+C1n+…Cnn+=2n个，另一方面，可以从递推思想出发，设含有n个元素的集合A的子集有An个，在集合A中增加一个元素m得到集合B，设集合B的子集为An+1，不难得到An+1=2An，A1=2，所以An=2n，这里又体现了数列的递推思想。

对于问题14，可以从以下几个方面进行探讨：其一，为了表示研究对象构成的集合，我们需要抽象出研究对象的共性特征，比如全体奇数集，我们用x=2K−1（k∈Z）的形式来表示任意一个奇数，这与用2kπ<x<2kπ+（k∈Z）的形式表示第一象限角是一致的；其二，我们按照“概念（内涵）—性质—关系（结构）—运算—运算性质—应用”的路径研究集合，这实际上也是很多其他数学对象的研究路径；其三，学习集合，可以提高分类与讨论方法的能力；其四，集合语言在函数、三角函数、向量空间、样本空间等内容都有广泛的应用，可以举很多的例子。

③师生共同作出质量较高的知识结构图，布置课堂练习和作业。

第2课时

1.课时目标：梳理集合内容的常见问题，聚焦集合间的关系和基本运算，会解常见的不等式。

2.教学设计建议

（1）课前自学。梳理集合的常见问题，选择经典的题目作为课堂讲解的例题要求学生在课前思考，出于篇幅考虑不再列举。

（2）课堂教学建议。①对课前自学的每一个例题要设计1～2个有梯度的变式题目，形成一个题组，例题、变式题要有难度梯度，在课堂讲解完例题后由学生独立思考完成变式题目。下面是一个题组的案例：

[例题]满足{1}A∈{1，2，3}的集合A的个数是（ ）。

A.2      B.3      C.4      D.8

②教师要通过积极地巡视、提问诊断学生对例题的知识、方法、技能所掌握的情况。

（3）目标检测。通过课后作业有针对性地为学生提供自我诊断的机会，巩固学生所学知识。

第3课时

1.課时目标：根据上一课时目标检测存在的问题进行补偿学习，在此基础上通过进一步的练习训练提高学生的数学阅读和解题能力。

2.教学建议：根据学情进行教学补偿，在此基础上提供一些有一定难度、有助于培养学生创新思维的练习，下面给出几个题目样例。

[练习1]（多选题，考查对集合语言的理解）下面表示同一个集合的是（    ）。

A．P={（2，5）}，Q={（5，2）}

B．P={2，5}，Q={5，2}

C．P={x|x=2m+1，m∈Z}，Q={x|x=2m−1，m∈Z}

D．P={x|x=6m，m∈Z}，Q={x|x=2m且x=3n，

m∈Z，n∈Z}

高考数学试题有意加强基础性，突出对能够普适性解决学科问题的本原性方法考查，深化创新性考查，通过考查内容、考查要求与情境设计的有机融合减少“死记硬背”和“机械刷题”的收益作用。利用选修课程的教学机会以单元教学的方式对高中数学内容进行重构，对提高学生数学解题能力、发展学生数学核心素养有更好的效果。

（基金项目：本文系海南省教育科学规划课题“单元教学指导下高三数学校本课程开发与实践”阶段性研究成果，课题编号：QIY20221034）