“直线与方程”单元复习课教学设计

朱明明

摘  要：单元复习中，通过揭示单元内容之间的本质关联，完善整体认知结构，有利于发展学生的核心素养. 在“直线与方程”单元复习课中，通过重构知识体系，感悟“数”和“形”的和谐统一，引导学生形成单元复习观念，积累单元复习经验.

关键詞：单元复习；整体认知；数形结合；直线与方程

一、教学内容解析

本节课的内容选自苏教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”）第一章“直线与方程”.

从教材内容的角度：作为解析几何大单元的开篇内容，本章主要研究了平面直角坐标系中直线的有关知识，用代数方法研究与直线有关的问题. 坐标法是研究解析几何的核心方法，“直线与方程”的学习经验可以迁移到其他几何对象的研究中，为后续“圆与方程”等章节的学习作铺垫. 坐标法通过建立平面直角坐标系实现了点与坐标、直线与方程的对应，架起了几何与代数之间的桥梁.

从单元复习的角度：单元教学的基本路径是“总—分—总”. 第一个“总”相当于“登山地图”，是对单元内容初步的整体感知；“分”相当于“登山过程”，是在总体感知的基础上聚焦局部内容，进行深度学习；章节复习课便是单元教学路径中的第二个“总”，相当于“居高回望”，作为单元复习课，要揭示单元内容之间的本质关联，建构学习单元的整体认知，彰显数学学科的育人价值.

根据以上分析，确定本节课的教学重点：重构本章知识体系；综合运用本章知识；理解与应用坐标法.

二、教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）通过对直线与方程相关知识的整合和应用，发现知识内部的联系.

（2）经历知识再建构的过程，体会数形结合、转化与化归等数学思想，形成单元复习观，积累单元复习经验.

本节课的教学是为了帮助学生系统了解研究解析几何的思维过程，掌握用坐标法解决几何问题的基本流程，提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在单元教学高观点引领、思想性驾驭、结构化关联的基本要求指引下，依托“直线与方程”单元复习这一载体，用数学文化、理性思维和实践应用育人，努力实现数学学科育人的目标．

三、学生学情分析

1. 学生已有的认知基础

本节课的授课对象是江苏省四星级高中高二年级的学生，他们已经初步掌握了本章的基础知识，有了研究直线的直接经验，初步具备结合图形直观获得解题思路的能力，有一定的探究推理能力和逻辑思维能力．

2. 达成目标所需的认知基础

单元复习需要全面构建整章的知识框架，对整章内容的掌握具有系统性和连贯性. 这些是学生缺乏的，也是学生所需要的．

3. 教学难点

根据以上分析，确定本节课的教学难点：感悟“数”和“形”的对立与统一；探索解析几何研究的一般路径；建立单元复习的一般模式.

四、教学策略分析

本节课是复习课，为了促进学生形成完整的知识体系，发现知识内部的联系，发展学生的数学核心素养，在教学过程中将教师的“教”和学生的“学”一体化，确定具体教学策略如下.

（1）站在大单元的高度组织复习内容. 通过精心设计的问题串，引导学生回顾直线与方程的研究过程和研究方法，从“数”和“形”两个角度进行分析，抓住坐标法这一核心方法，帮助学生形成完整的认知结构.

（2）基于学习力的视角组织教学活动. 根据现阶段学生的实际学习能力和学生的思维特点及认知基础，运用引导发现和讲练结合的方法提出问题，让学生分析、思考和交流，在巩固知识的同时培养学生自主建构新知识的能力．

（3）通过变式训练，让学生体会数形结合的双向转化过程，深化数学思维.

五、教学过程设计

环节1：单元教学，方法引领.

以华罗庚先生的名言引领单元复习课的教学，在揭示单元复习课的价值、提升学生对单元复习认识的基础上，进行学法指导．

引导语：华罗庚曾经说过，读书的真功夫在于既能把薄的书读成厚的，又能把厚的书读成薄的. 熟书生温，似乎是在温熟书，但把新东西讲进去了，就能找另一条线索把旧东西重新贯穿起来．

【设计意图】通过华罗庚先生的话引出本节课的教学任务：通过“用一条线索把散落于各节的旧知识像珍珠一样串起来”实现知识体系结构化、思想方法一贯化，最终能有一种“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉.

环节2：学材重构，双线贯穿.

通过对本节课学习资料和教材内容的重新整合，以知识重构为明线，以数形结合思想渗透为暗线，双线贯穿，感悟“数”和“形”的对立与统一，探索解析几何研究的一般路径，建立单元复习的一般范式，促进学生单元理念的形成、思想方法的领悟和核心素养的提升.

问题1：通过本章内容的学习，你对标题“直线与方程”有怎样的认识？

师生活动：学生提出“平面内的直线可以用二元一次方程来表示，反之，二元一次方程表示的图形是直线，它们之间有着完美的对应关系”. 教师提炼直线是“形”，而方程是“数”，体现了数形结合的重要数学思想.

问题2：直线的方程有哪几种形式？

问题3：有人说“直线的方程的其他形式都是点斜式方程的‘推论”，你怎么理解？

学生活动：学生总结将直线的点斜式方程特殊化得到直线的斜截式方程，将直线的两点式方程特殊化得到直线的截距式方程，确定直线上的两个点等价于确定了直线的方向，所以直线的两点式方程也可以由直线的点斜式方程得到. 这几种形式的直线方程最终都可以化成直线的一般式方程.

教师总结：“点和方向”或者“两个点”是确定直线的几何元素，而方程则是直线的代数表示. 任意一条直线都可以用二元一次方程表示. 反之，任意一个二元一次方程都对应着平面上的一条直线. 这体现了几何对象和代数表示之间的对应关系，也就是我们平时所说的“数形结合”．我们可以得到直线与方程的知识框图，如图1所示．

【设计意图】通过问题串，引导学生回顾直线的方程的表示形式，感受不同形式直线的方程之间的内在联系，并从“形”和“数”两个角度重新认识直线与方程，建立统一的观点.

例1  写出图2中各条直线的方程．

师生活动：学生口答直线的方程并总结“求直线方程时，要根据题目所给条件合理地选择方程的形式”. 教师追问这些直线的共同特征，引出变式1.

【设计意图】通过例题及变式，利用所复习的知识解决问题，加深学生对方程的理解与运用. 由“形”定“数”，以“数”研“形”，难度层次分明，思维逐步提升，培养学生运用数形结合思想解决问题的意识．

【设计意图】通过对两条直线的位置关系的复习，建构本知识模块的框图，利用结构化的视图引导学生整体感知两条直线的位置关系的分类及判定，也为后续的直线与圆的位置关系的学习作铺垫．结构化视图的再构建帮助学生形成辩证统一的观点．

探究：类比两条直线的位置关系的复习，尝试结合知识和思想方法设计“平面上的距离”知识框图．

师生互动：学生通过小组讨论总结出“平面上的距离主要有两点间的距离、点到直线的距离和两条平行直线之间的距离”，并写出了相应的距离公式. 在教师的逐步引导下，学生结合公式的推导过程体会到了蕴含其中的数形结合思想. 而新授课时之所以能从两点间的距离出发一步步将平面上的距离这个体系进行完善，是因为两条平行线间的距离可以化归为点到直线的距离，而点到直线的距离又可以化归为两点间的距离. 因此，平面上的距离这个体系中还蕴含了转化与化归思想，如图5所示.

【设计意图】通过前面的学习，学生已经对知识框图有了初步认识. 让学生自己动手设计知识框图，可以加深对概念的理解，形成科学的学习方法. 一方面，让学生回顾已有知识，帮助学生建立整体观念，形成单元复习观念；另一方面，对学生进行学法指导，引导学生结合图形的性质和公式的证明过程，发现知识之间的联系．

环节3：实践应用，形数融通.

本环节精选例题，一题多变，在几何问题与代数问题灵活转化的过程中，形数融通，悟透通法，促使学生进一步感悟解析几何研究的一般路径．

【设计意图】该题以学生熟悉的图形为载体，研究两条直线的垂直关系. 思维入口宽，解题方法多. 设计该题的目的是让学生再次认识到坐标法是研究解析几何问题的核心方法. 坐标法是基于点与坐标、直线与方程的对应，通过代数运算研究几何图形的性质．

【设计意图】该题和例2基于同一个背景，是对例2的继承与发展. 但与例2相比，该题的图形中的几何要素有所增加，解题难度有所提升，可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力，同时引导学生用运动的观点观察问题．

【设计意图】该题以矩形为载体，借助反射问题，考查了图形的对称变换，有利于培養学生的看图、识图、用图和解图能力，发展学生的直观想象素养，提高学生分析问题的能力．

【设计意图】该题以函数的最值问题为背景，培养学生将代数问题转化为几何问题求解的能力，促使学生进一步体会数形结合的双向应用，也体现了解析几何在函数领域的应用．

【设计意图】从知识、方法、思想等多维度进行反思提炼. 既总结收获、积累经验，又站在单元的视角明晰后续解析几何研究的方向，鼓励学生自主探究、提升素养，为后续圆、椭圆等知识的学习奠定基础．

师生互动：欧拉线是瑞士数学家欧拉1765年在其著作《三角形的几何学》中提出来的，教师与学生一起了解，并让学生课后查阅相关资料，了解相关数学史和数学文化，解决课后作业2.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］章飞，顾继玲. 单元教学的核心思想与基本路径［J］. 数学通报，2019，58（10）：23-28.