浅谈高中数学课提升反思性思维案例之《数列》单元教学设计

崔丽辉

反思是一项基本的学习能力，但经常被学生忽略，他们很多时候都是按照正向的顺序学习，很少主动“回头看”，即对学习的过程、学习的方法以及学习的成效进行反思总结，这不利于学生学习能力的提升。本文基于高中数学《数列》单元教学设计及实践案例，以培养学生的反思性思维为目的，展开现状调查研究和反思性教学实践方法的探索。

一直以来，学校都在倡导让教师及时对教学过程进行反思，从而发现问题并及时改正，便于更好地针对问题进一步优化教学方案，为学生提供更有针对性的服务。但是忽视了引导学生进行自我反思，这会减缓学生的进步速度。为此，对于高中数学教师来说，应该在自己反思的同时，加强对学生反思性思维的培养，使其对学习行为和学习过程进行批判性反思，重新认识数学，努力改善学习效果，从而真正发展数学核心素养。

一、高中数学数列单元的学情调研分析

数列是高中数学的重要单元，是继函数学习之后的又一重点内容。本单元是湘教版高二数学选择性必修一第一册第一章的内容，主要包括数列的概念、等差数列和等比数列。通过对本校高二年级学生的调查，初步掌握了他们在本单元的学习情况，梳理了学习中存在的一些问题。

笔者主要从如下几个方面设计问题，旨在充分了解学生在学习数列过程中的学习习惯、学习方法、反思积极性以及对教师教学方法的满意度，从而在实践环节更好地针对问题引导学生展开反思性学习。

第一，数列的难易程度。调查发现，高二学生认为数列概念相关的知识比较简单，但是与函数结合的综合性题目有不小的难度。

第二，教师讲解与数列有关的生活问题和数学史的频率情况。超过一半的学生表示自己希望能够听到教师多讲些与数列有关的生活史，说明他们更渴望了解教材知识以外的东西，数学史相关内容的讲解更有助于他们理解数列的相关概念。学生普遍认为数学课堂教学节奏较快，教师所讲内容基本都是重点或高考的常考点，很少给他们讲数学故事。

第三，数列的学习方法及学完后的掌握情况。调查发现，笔者所带班级有近一半的学生表示数列单元知识的学习并没有明显地提高他们的数学思维能力。他们认为教师的教学方法单一、枯燥，数列的学习缺乏趣味，经常会忘记公式，或者没有真正了解等差数列和等比数列通项及求和公式的来源，导致在解题时无法正确运用公式，认为自己对本单元的学习效果不好，不够深入。他们认为，教师所讲的内容都是课本上有的，自己通过预习就会了，但是遇到稍微综合性的数列相关题目，直接套用公式就做不出来，学习的方法比较死板，对自己思维能力的提升没有益处，这从侧面反映出数学教师在进行数列单元教学设计的时候没有充分了解学生的数学基础和认知规律，没有增强学生反思学习方法和学習过程的意识，导致学生只会死记硬背数列公式和埋头刷题，而不会灵活运用知识，不懂正向迁移。

第四，教师开展自主合作探究性学习数列的频率。通过调查了解到，高二的学生非常喜欢互动式的课堂教学模式，对小组合作学习更感兴趣。但是部分数学教师在数列单元的教学设计方案中留给学生自主思考、合作探究的学习时间并不多，更多的是教师在“灌输”式的讲题，学生的主观能动性得不到充分地发挥，数列知识的学习也处于被动地位，缺乏对知识的深层次探讨和理解。

第五，数列单元学习过程中及学后的反思情况。学生的数学反思能力较低，这与教师平时不注重反思性教学有很大关系。通过对本校学生的调查发现，他们在数列单元的学习中和学习后的环节都缺乏反思意识，反思性思维不足。通过与数学基础较弱的部分学生面对面交流发现，他们认为自己数学理解力差，不管怎么努力就是学不好，缺乏自信，因而也不会主动反思，将自己不会的题目归因脑子笨，也不尝试思考，缺乏解题反思思维，直接放弃了那些自己可能通过进一步反思就能做出来的题目。

二、数列单元教学中反思性思维培养的意义

首先，有助于引导学生矫正错误行为。在数列单元学习的过程中，很多学生记错公式是常有之事，在做题的时候粗心大意看错题、概念理解不深入、思考不全面等问题层出不穷，这与学生的不良心理有关，在作业上表现得最为明显，他们将作业视为负担，只管做作业，而不管检查作业的对错，在教师讲解后改正完返还给老师，也没有及时反思自己出错的原因，这样只能是治标不治本，学生无法掌握到数列知识学习的本质。基于此，笔者认为，在高中数列单元教学中要注重对学生反思性思维的培养，让他们意识到自己数列学习中的问题，纠正自己错误的学习习惯，增强反思意识。

其次，有助于增强学生的自主学习能力。相关研究调查表明，高中生在学习过程中如果能积极反思、善于总结经验和不足，他们会比埋头做题有更大收获。新时期的高中生要学会学习，而不是按部就班跟着教师的节奏走，应该有自己的学习规划，通过及时检查、分析学习过程，提升反思意识，从而提高高中数学学习能力。

三、基于反思性思维培养的高中数学数列单元教学设计案例

（一）单元目标的确定

目标是我们无论做任何事都需要的方向和路灯。同样，高中数列单元教学也应该先确定单元整体的目标。基于反思性思维培养的数列单元教学目标设置，需要教师统筹规划整个单元的知识，关注学科核心素养的达成。单元目标设置如下：第一，了解数列的概念和简单表示方法，知道数列是一种特殊函数。第二，通过实例理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式；能在实际问题情境中发现数列的等差或等比关系，体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

（二）课时目标的分解

第一，了解数列的概念和本质，掌握数列的通项公式递推公式。第二，掌握等差数列的公式和前n项和公式，理解等差数列的性质。第三，掌握等比数列的公式和前n项和公式，理解等比数列的性质。

（三）单元任务的布置

以等差数列第一课时为例，教学内容主要包括等差数列的概念及其通项公式。首先，在设计单元教学任务时，教师从特殊到一般，引导学生发现数字之间的规律，推导出等差数列的公式，让学生经历发现等差关系、写出等差数列的过程，然后通过总结归纳出等差数列的本质特征，理解其概念。

其次，教师要求学生尝试说出实际生活中的等差数列，让他们尝试数学建模，引导学生以小组合作的形式探究通项公式的推导过程，感受其中蕴含的数学思想，如不完全归纳法、累加法、迭代法等。并结合应用案例，让学生尝试用等差数列知识解决问题，体会等差数列在生活中的应用。最后，引导学生尝试从函数角度处理等差数列问题，将数形结合的思想渗透到学生头脑中。

（四）单元学习的评价

教师对学生的评价是教师自我反思的一种形式，教师要关注学生的差异性，采用量性和质性评价相结合的方法对学生数列学习的效果进行评价，包括学生课堂上的表现、独立思考、小组内积极讨论、清晰表达自己思路、倾听他人想法、主动完成作业等情况。了解这些情况，能够帮助教师更好地把控今后的课堂，发现问题，加以改进，促进自身专业水平不断提高。

（五）学后总结与反思

学生应该在教师的带领下，全面地总结自己在本堂课上所学的知识点，将知识体系通过思维导图不断填充分支，完善自己的知识结构；同时，学生对做过的练习题也要进行反思，重构自己的解题思路，掌握数列的本质，不断提升学生的数学思维品质；学生还要针对他人的想法进行反思，观察其他同学做题的过程，了解其思路，与自己的思路进行对比，从而发现自身的不足，拓宽自己的思维宽度。

四、基于反思性思维培养的高中数学数列单元教学实践策略

（一）聚焦数列考查点，反思教学固着点

数列是高考数学的必考内容，在平时的教学过程中，教师可以结合历年高考真题中考查的知识点进行教学，引导学生反思自己在本单元学习中的缺失，寻找数学教与学的固着点，从而更好地把握未来高考数列的考试趋势，增强数列单元知识学习的针对性。

以下面这道真题为例：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=3an+1。问题一是证明（an+１/2）是等比数列，并求通项公式。问题二是证明1/a1+1/a2+…+1/an＜3/2。笔者带领学生分析后发现，该题主要考查学生通过构造新数列求通项公式的知识点，要求学生对等比数列的定义及放缩法证明不等式等知识熟练掌握，提高自身的计算求解能力、推理论证能力，掌握数学化归思想。

在了解题目考查的主要知识点后，笔者先让学生自己解答上述两个问题。笔者在分析学生的解题思路时，发现不少学生犯了一种隐性错误，即不验证首项不为零的情况，这时候教师需要引导学生反思自己的解题过程，检查证明过程是否有遗漏，并总结出通过递推关系式求通项的关键是通过变形构建新数列，化归等比数列模型，使学生更牢固地掌握了化归思想，也提高了数学推理能力。这样，学生今后再遇到类似的综合性数列问题时就能做到沉着应对、出其不意，突破解题瓶颈。

（二）全面反思数列学习内容

数列单元学习内容是函数内容的子集，也是函数学习地再继续，又是后续极限的前提。因此，本单元起着承前启后的作用，其学习的重要性不言而喻。为此，在学习本单元内容后，教师应该引导学生对所学内容进行全面的反思，及时弥补自己的不足，为深度学习数列单元知识提供有力支持，并在此基础上借助数学史进一步了解数列的地位和作用，并充分体会数列与现实生活的紧密关系，体会数学的应用性与数学的真与美。

在反思学习内容的基础上，教师还要引导学生反思自己的解题方法，整理自己的错题，总结归纳试题的变式结构，引导学会从多个角度分析数列问题，掌握多样化的解题方法，训练学生的发散性思维，完善他们的数学认知结构。借助解题反思掌握数列题型的变式结构，有助于推动学生深度思考，升华数学思维，提高数列相关题型的解题效率。

（三）拓展数列学习反思途径

反思性思维可以在教学的各个环节中培养，高中数学教师应该积极拓展能够引领学生愿意反思的可行途径，使他们及时发现自己学习过程中的不足，并及时纠正，也可以总结可取之处，在同学之间交流经验，共同成长。

第一，教师可以在数列单元的教學之前进行反思。首先，教师对本单元教学内容进行反思，基于新课标准确把握教学重难点，并合理分配单元教学设计的各项知识点的时间。其次，教师还要反思学生，了解学情，掌握学生学习数列前的知识储备情况，从而更好地在教学过程中兼顾差异，呈现最佳的教学效果。最后，教师要对课前的导入设计进行反思，精准地找到新旧知识的连接点，通过设计有价值的问题引发学生认知结构的冲突，使其对原有知识经验产生疑问，有疑则思，进而产生强烈的求知欲，激发其进一步学习的内驱力。

第二，教师重点要在课堂教学过程中引导学生及时反思。在数列学习过程中，教师要及时捕捉教学灵感，针对学生提出的问题和发生的争议，引导他们展开反思，并收集学生的反馈信息，从而促使教师反思自己，及时调整后面的教学计划。

第三，教师还可以在教学后引导学生进行反思。比如，教师在完成基本的数列单元的教学任务后，根据学生思维的实际情况，结合练习题设计辨析活动，让学生在辨析的过程进行反思，从而深刻领悟数列概念，进而养成有效的反思习惯。

以下面这道习题为例：已知｛an｝是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比数列。笔者要求学生开动脑筋，根据给定条件，反思上述结论是否成立，并给出论证的理由。学生们在思考了一段时间后，纷纷表达自己的意见，他们的答案分成了两种情况，一种认为结论正确，另一种则认为结论不正确。为了进一步引导学生自己反思论证的过程，笔者将学生分成若干小组，通过辨析找出两种结论论证过程中存在的不足，从而判断是否成等比数列。经过一番激烈的讨论和分析，学生们最终得出了一致的结论：当公比不等于-1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列；当公比等于-1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列。由此，学生们通过反思，充分考虑公比的两种情况，意识到自己最初论证思路的缺陷，加深对等比数列前n项和公式及规律的认识，增强了他们数学思维的严谨性。

五、结语

现代认知心理学认为，数学学习过程中离不开反思，反思行为应该贯穿到学生整个数学知识的学习过程中。新时期，核心素养目标导向下，高中数学教师应该在教学过程中有意识地引导学生养成良好的反思习惯，形成严密的反思性数学思维，从而使其克服自身的学习缺点，丰富学习方式，提升数列单元的自主学习能力，实现从浅层学习到深度学习的转变。

注：本文系甘肃省教育科学十四五规划2021年度一般课题“高中数学深度学习与高阶思维研究——反思性思维为例”（项目编号：GS[2021]GHB1973）的研究成果。