弹性薄壳动力学比拟的曲面论基础*

薛 纭, 陈立群

(1.上海应用技术大学 机械工程学院, 上海 201418;2.哈尔滨工业大学(深圳)理学院 力学系, 广东 深圳 518055)

0 引 言

随着近代科学技术的发展,超细长一维弹性体和超薄大幅的二维弹性体力学受到研究者们的关注.其变形特征是弹性小应变在细长或宽幅方向累积成大位移,同时伴随着有限运动.前者如脱氧核糖核酸(DNA),后者如航天器大型太阳帆板等[1-2].这给力学建模提出新的问题,成为弹性杆和弹性板壳力学近代发展的方向之一.弹性细杆力学的基础是1859年Kirchhoff等建立的弹性细杆静力学理论[3],其核心是根据平衡微分方程与刚体动力学方程在数学形式上的相似性提出的Kirchhoff动力学比拟方法.刚体动力学的概念和方法得到了全新的应用.在平截面假设下,以中心线的弧坐标为自变量,截面的姿态坐标和“角速度”概念用以描述弹性细杆的位形和变形,后者称为弯扭度[4].为连续的弹性细杆提供了一个新的离散化方法,其平衡位形成为一个3自由度力学系统,方便处理小应变大位移问题,已成为描述弹性细杆复杂位形的有力工具[5].分析力学的概念和方法[6]、非完整力学[7-8]、对称性和守恒量理论[9]、Lyapunov稳定性[10-11],甚至混沌[12]等动力学概念和方法都可移植或应用到弹性细杆静力学,并赋予新的含义.姿态坐标和弯扭度使曲线微分几何的基本概念有了新的表达,并成为Kirchhoff动力学比拟方法的数学基础.

鉴于Kirchhoff动力学比拟方法在弹性细杆力学建模和分析中的优势,以及弹性薄壳中面可认为是弹性细杆中心线的二维扩展,自然希望将此方法推广到弹性薄壳,形成广义的Kirchhoff动力学比拟方法.这就需要经典的曲面论作为其数学基础.经典曲面论的第一和第二类基本量是用点的矢径及其偏导数表达,作为可变形物体,曲面位形在运动学意义上是无穷维的[13].引入刚体动力学方法,将弹性薄壳离散化无疑具有理论和实际意义.

研究表明,弹性薄壳的位形、变形和平衡条件都与刚体运动“等同”[14].在直法线假设下,以变形前中面的坐标为自变量,用刚性正交轴系的姿态坐标及其弯扭度,以及Lamé系数描述变形后中面的位形,弹性薄壳力学的基本概念都可以得到很好表达.这种表达方法对变形和运动具有连贯性和统一性.弹性薄壳转化为有限维力学系统,为大幅弹性薄壳的卷揉变形和运动描述提供了新方法和思路.

基于广义Kirchhoff动力学比拟方法,考虑变形后的曲面,针对非正交网格,建立两个刚性正交轴系,引入刚体的姿态坐标,用弯扭度和Lamé系数描述曲面的位形和基本概念,包括曲面的第一、第二基本二次型,法曲率及其主方向和主曲率等[15].

约定指标取值为i,j=1,2;k=1,2,3.

1 曲面上的正交轴系

(1)

(2)

(a)曲面上点的矢径 (b)两个正交轴系的相对位置

(3)

对曲面上任意的曲线qi=qi(q),沿q坐标线的弧长微分记为dS.切矢量Tq、Lamé系数Tq和弧长微分dS依次为

(4)

(5)

将式(3)的第1式代入式(5),化作

(6)

由此得到其弧长的微分关系为

(7)

或

(8)

(9)

2 曲面的弯扭度

(10)

(11)

(12)

弯扭度的分量形式记为

(13)

两轴系的弯扭度分量有如下关系:

(14)

由矢径对q1,q2偏导次序的可交换性得到对弯扭度和Lamé系数的约束方程:

(15)

此约束是运算和变形规则导致,称之为内约束.

3 轴系姿态的Euler角和曲面偏微分方程

建立惯性参照系Oξηζ,轴系(ei1,ei2,ei3)相对惯性参照系(eξ,eη,eζ)的姿态有多种表达方法,如Euler四元数、李群李代数等[17-20],本文用大家熟知的Euler角,见图2.

图2 轴系(ei1, ei2, ei3)姿态的Euler角

基的变换关系用矩阵表示为[4,14,18]

Q2=ΦQ1,

(16)

(17)

Euler角存在奇点θ=nπ,n=0,1,…,此时,z轴和ζ轴重合导致角ψ和φ不能区分.

由刚体动力学知,用Euler角表达的弯扭度ωij在基(ei1,ei2,ei3)下的矩阵式为[4,14,18]

(18)

在惯性参照系Oξηζ中,曲面上一点P的直角坐标为

ξ=ξ(q1,q2),η=η(q1,q2),ζ=ζ(q1,q2).

(19)

式(1)给出曲面的偏微分方程的矢量形式[14]:

(20)

(21)

可见,轴系的姿态是由以q1,q2为自变量的姿态坐标ψ,θ,φi确定.再加上Lamé系数和边界条件就能够确定曲面形态.

4 曲面的基本二次型和弯扭度表达

曲面第一基本二次型I1为[15]

I1=(dS)2=(Tqdq)2=E(dq1)2+2Fdq1dq2+G(dq2)2,

(22)

式中E=T1·T1=(T1)2,F=T1·T2=T1T2cosφ,G=T2·T2=(T2)2为曲面的第一类基本量.曲面第二基本二次型为

(23)

(24)

用角α和Tqdq表达中面的第二基本二次型I2.将式(8)代入式(23),得到

(25)

5 曲面的法曲率及其主曲率和主方向

曲面的法曲率κn用第一和第二基本二次型表示为[15]

(26)

由式(22)和式(25),化作法曲率的弯扭度表达式:

(27)

式中

(28)

对曲面上给定的点和方向,弯扭度和Lamé系数都是确定的,不同方向的法曲率是α的函数.令

(29)

导出关于法曲率的驻值方程,即主方向方程

acos(2α)+bsin(2α)=0.

(30)

解得

(31)

得到的两个根代表互相垂直的两个主方向:

(32)

将这两个根依次代入式(27),得到两个主曲率,记为κn1,κn2:

(33)

可以证明,这两个主曲率一个为极大,另一个为极小.

在曲面微分几何中,主曲率和主方向用第一和第二类基本量表示为[15]

(34)

对应的主方向为

(35)

其中由式(8)得

(36)

将第一和第二基本量代入式(34)和式(35),结果是一致的.

6 沿主方向的弯扭度及其在主方向的投影

(37)

(38)

(39)

其中参数a,b由式(28)定义,用到了关系式(37).将主方向表达式(31)代入式(39),并注意到约束方程式(15)的第3式,得到

(40)

这是主方向的弯扭度特征.同理可得到

(41)

这个结论与坐标线为曲率线的条件[15]

F=0,M=0

(42)

(43)

同理,有

(44)

结果与式(33)一致.这也进一步明确了弯扭度的几何意义.

7 算 例

讨论半径为R的半球面.球面用球坐标(q1,q2,R)表示,其中广义弧坐标q1和q2分别为球面的经度和纬度坐标,如图3所示.曲面上点的矢径为

R=Rcosq2(eξcosq1+eηsinq1)+Reζsinq2.

(45)

(46)

式中er=eξcosq1+eηsinq1.Lamé系数Ti和坐标线的弧长微分dSi分别为

T1=Rcosq2,T2=R, dS1=Rcosq2dq1, dS2=Rdq2.

(47)

ω11=ω21=eζ,ω12=ω22=eξsinq1-eηcosq1,

(48)

或

(49)

(50)

解得

(51)

由式(47)知,球面的Lamé系数和弯扭度满足约束方程(50).但是反之不然.亦即,对于球面的弯扭度,满足约束方程的Lamé系数,未必是球面的.显然,本例中对应球面的Lamé系数是T2=R.

(52)

将式(35)代入式(20),得到曲面微分方程

(53)

(54)

T1由式(51)确定.不同的T2值对应不同半径的球面,取T2=R时就回到式(45).

球面的第一和第二类基本量为

E=R2cos2q2,F=0,G=R2,

(55)

(56)

将式(47)、(49)和式(52)中的相关量代入式(28),得到

(57)

式(27)给出法曲率为常值κn=-1/R.显然球面大圆弧的曲率为1/R,表明I2<0.

8 结 语

本文用正交轴系的姿态坐标和弯扭度表达了曲面微分方程、第一和第二基本二次型、法曲率及其主曲率和主方向.表明了这一方法对描述曲面局部形态的可行性和正确性.可以断言,这一方法同样可以用来表达曲面的Rodrigues方程、Weingarten公式和Gauss公式以及曲面论的基本方程[15].从而为弹性薄壳广义Kirchhoff动力学比拟方法奠定曲面理论基础.

本方法的优势还将体现在对曲面随时间变形和运动的描述上,使正交轴系随空间的运动和随时间的运动在数学形式上等同.